DES PROPORTION^ PAR QUOTISKX
Dou 3X7X4o:8xi5X lat: iaxa8 X 5o :3a^e9><^i5^ ou, effectuant les calculs^ 840 : i44^ Il 16800 laSSoo , proporr tion dont il est facile de constater l'exactitude ; car, en divisant les deux derniers termes par ro et ensuite par a , on trouve
proportion évidente (qu'on appelle proportion identique),
N. B, Il est à remarquer que , d'après la nature des opérations qui viennent d'être efFectoéés, le rapport canstant de la
proportion précédente , savoir, ■ ^ , est égal au produit des
trois rapports constans des proportions données.
Ainsi, les trois rapports conbtans étant ^ comme il est facile
de le vérifier, ^, -^, -y, on a pour leur produit, =^, ou-, supprimant le facteur 3o commun aux deinc termes , -Z. , ré-
aultat auquel la fraction -—r- pei^t être réduite , par la <»ippr^â-
aion du facteur commun 120. '
Ce rapport — ^ qui provient de la multiplication de plu-
sieurs autf es rapports, est appelé par lesarithaiétictens, rap^ port composé.
L'opération qui fait d'ailleurs l'objet de ta propriété précédente, se désigne sous le nom de componendo.
sii6« Cos^sÉQUENCES DE CETTE PROPRIÉTÉ* 1^ Lorsque quatre nombres si^t en proportion^ les carrés , les cubes, et en général les puissances semblables de ces nombj^s, sont aussi ^n proportion. Pour le démontrer, il sniSt d'observer que, si la proportion était écrite au-dessous d'elle-même un certain jaomhre d9 fois, il en résulterait vne séri^ de proportipns qui^ BUiltipliées par ordre, doaneraâent lieu à des produits ^n proportipn^ d'^rès la. propriété précédente.
a**. Réctproqvement , lorsque quatre nombres sont en prapat^
a8o DES PROPORTIONS PAR QUOTIENT.
lion, les racines carrées , cubiques j quatrièmes, etc., de ces
nombres j sont en proportion.
a c Soit la proportion a : 6 :: c : c2, ou ?=;}•
a c Puisque les deux rapports r i ;« > sont égaux , les racinej carrées de ces rapports sont aussi égales, et Ton a \/ t = \/;/*
Maïs y pour extraire la racine carrée d une fraction , il faut (n® igo) extraire la racine carrée du numérateur et celle du dénominateur, ce qui donne
V b~\/b' V d—\/d' donc -î^ = ^, ou bien, ^a\\/bll \/c : \/d.
•Lfi raisonnement serait le même pour la racine cubique on pour une racine de degré quelconque , en partant de ce principe général que, pour extraire une racine de degré quelconque d^une fraction, il faut extraire la racine du numérateur et celle du dénominateur.
ùij. Remarque. Lorsque a, b, Cy d, sont des nombres non carrés parfaits , les quantités \/a, {/b, {/c^ \/dy sontd^s nombres irrationnels , et la proportion ci-dessus existe alors entre desnom'bres incommensurables; c'est-à-dire que Ton est conduit à considérer des rapports entre des nombres ircommensurables , rapports qui doivent être eux-mêmes , en général , regardés comme irrationnels; et il s'agirait de savoir si Ton peut appliquer à des proportions de cette espèce, touties les propriétés qui ont été établies précédemment.
La réponse est affirmative , si Ton se rappelle ce qui a été dît (n^ 190), qu'un nombre irrationnel peut toujours être remplacé, mentalement, par un nombre fractionnaire exact qui ne diffère du nombre proposé que d'une quantité tellement petite, qu'on ne doive avoir aucun égard à l'erreur que Von commet en négligeant cette quantité^ et c'est alors entre les nombres commensu"*
DE LA RÈGLE DE TROIS. â8l
rables substitnés aux grandeurs irrationnelles^ que les rapports 'ont censés établis.
Quant aux rapports entre des nombres fractionnaires exacts , il est aisé de reconnaître , d*après la règle de la division des fractions , quils peuvent toujours être remplacés par des rapports entre des nombres entiers.
Par exemple, le rapport de - à — , étant le quotient de la di-
vision de - par — , est égal {n? Sg) à -X-f-| ou à =^ , c'est- à-
dire^ au rapport de 33 à 55.
De même, le rapport de g à -s , est égal à ^ X -? > ou bien ,
au rapport de i6i à 120.
Ainsi-, toutes les propriétés des proportions sont vraies, quels que soient les nonoibres sur lesqtiels on raisonne.
5 II. De la Règle de Droîs et des Règles qui en dépendent,
