S :x-, d'où x=384x

Toutes les fois que ces simplifications se présentent , on ne doit pas les négliger.

Second exemple. On a payé 743*" iB-^ 8^ pour 43'*' 5*^ 4» Ji/Ti certain ouvrage; on demande combien il faut payer pour 77T 3' 8? du même ouvrage. Il est évident qu'il y a encore proportion entre les deux nombres fractionnaires de toises , et le^ prix de ces deux nombres.

Soit donc x le prix demandé ; on aura la^roportion

43'r5P4P ijf^^fS^ :: 743^15^8»^ ; x.

On pourrait , d'après les règles établies pour le calcul des nombres <;omplexes, faire le produit des deux moyens, et diviser ce produit par l'extrême connu ; mais on abrégera considérablement les calculs, en réduisant les deux premiers termes qui expriment des unités de la même nature , en subdivisions de la plus petite espèce que ces deux nombres renferment , et par conséquent, en pouces. On obtient ainsi la nouvelle proportion

SiSoP :5588P :: 743*i5-^8'^v;:x,

ou , supprimant le facteur 4 commun aux d^ux premiers termes,

Par là-, on est conduit à effectuer une multiplication d'un nombre complexe par un nombre entier, et à diviser le produit qui en résulte, par un autre nombre entier; ce qui est beau^ coup plus simple.

DE LA RÉOLE I>E TROIS. s8S

D*abard, le produit de 743*' iS"'' 8^ par 1397, est égal à 1039065*- 6-^ 4»^.

Divisant ce produit par 790 , on obtient enfin ponr quotient ,

,3i5^5-^5^ 5^ou^.*

Cet exemple est le seal que nous nous proposerons sur les nombres complexes , parce que^ depuis rétablissement du nouveau système des poids et mesures , on n*a guère à considérer que des proportions entre des nombres entiers ou entre des nombres fractionnaires décimaux. Il suffira de se rappeler que dans des exemples de ce genre , il est généralement plus simple de réduire les deux premiers termes de la proportion (qui sont toujours des nombres de même nature) , en unités de la plus petite des subdivisions que renferment les deux nombres.

Troisième exemple. // a fallu ao jours à i35 hommes pour faire un certain om/rage; on demande combien il fauX de Jours à 3oo hommes , pour faire le même ouvrage,

Analyse* Si ua certain nombre d'hommes a employé 90 jours pour faire un certain ouvrage, il est clair qu'un nombre d'hommes , a , S , 4* • • fois plus grand , doit employer a, 3^ 4* • « fois moins de temps , toutes choses égales d'ailleurs; donc/ autant de fois le premier nombre d'hommes i35 , sera contenu dans le second Zoo y autant de fais le nombre de jours nécessaire au second nombre d'hommes , c'est-4-dire, le nombre cherché , X, sera contenu dans le nombre de jours nécessaire au premier nombre d'hommes.

Ainsi , l'on a la proportion

i35* : 3oo* :\ xi : 20/;

ou, mettant les moyens à la place des extrêmes, afin d'avoir x comme dernier terme ,

3oo : i35 :: ao : x\

d ou 1 on tire x = — —■ — = -^ — = o'""",

3co 3oo ^ '

mB4 des rapports directs ou inverses.

(On peut supprimer dans la proportion, i». le facteur 1 5,xommun aux deux premiers termes, a®, le facteur ao, commun aux deux antécédens, ce qui donne la proportion i :9 :: i t x; d*oùx=9). ^

ai g. Remarques sur les Rapports directs ou inverses.

Cest ici le lieu de fixer les idées des commençans sur le sens de certaines dénominations dont les mathématiciens se servent fréquemment.

£n généra), les questions qui dépendent d'une règle de trêh simple, r&nferment dans leur énoncé, quatre nombres dont deux d*une certaine espèce , et deux d'une autre espèce de laquelle le nombre inconnu fait partie ; de plus , chacun des termes de la seconde espèce est lié intimemjent par l'énoncé, à l'un des termes de la première espèce.

Ainsi, dans le premier exemple ci-dessus , deux«des quatre nombres expriment des poids , tandis que les deux autres expriment les prix respectifs de ces poids. Le prix du premier poids est donc lié avec ce poids, et peut, pour cette raison , être appelé le 'terme de la seconde espèce, correspondant au premier poids. Pareillement, le prix du second poids est le terme de la seconde espèce, correspondant au second poids. - Dans le. second exemple, deux des quatre nombres expri* ment des longueurs , et les deux autres sont encore les prix de ces longueurs. Chacun des deux prix est dit le terme de la seconde espèce, correspondant à la longueur estimée par ce prix.

Enfin, dans le troisième exemple, on considère deux nombres d'hommes, et les deux nombres de jours employés par ces nombres d'hommes , à faire un certain ouvrage. Le nombre de jours employé par le premier nombre d'hommes , est dit le cot" respondant de ce nombre d'hommes^ et le second nombre de jours est le correspondant du second nombre d'hommes.

Cela posé, on dit qu'il y a relation directe entre les deux nombres de la première espèce et les nombres de la seconde , ou bien , que les deux nombres de Id première espèce sont cKrectement proportionnels à leurs correspondans de la seconde ,

DES RAPPORTS DIRECTS OU INVERSES.' â85

lorsque l'un des nombres de la première espèce^ et son correspondant de la seconde espèce , doivent former les deux antécé" dens de la proportion; tandis que l'autre terme de la première espèce, et son correspondant de la seconde, doivent former les deux conséquens j c'est>à-dire , quand un terme de la première espèce , et son correspondant de la seconde , doivent former un extrême et un moyen ^ et que l'autre terme de la première espèce, et 50/1 correspondant, doivent former un moyen et un extrême.

Au contraire, il y a relation infecte entre les quatre nombres , ou bien, les deux nombres de la première espèce sont dits réciproquement ou inversement propoftionneU à leurs corres^ pondansy lorsqu'un des termes de la première espèce et son correspondant, doivent former les deux extrêmes, tandis que l'aiitre terme de la première espèce, et son correspondant, doivent former les deux moyens,

£n reprenant les proportions des trois exemples déjà traités , on voit aisément que , dans les deux premières , il y a relation directe entre les quatre nombres, c'est-à-dire que lés deux poids ou les deux longueurs sont directement proportionnels aux deux prix; mais que, dans la troisième , il y a relation indirecte, ou bien , que les deux nombres d'hommes sont réciproquement pro^ portionhels aux deux nombres de jours (^^).

Au reste , l'analyse d'un problème fait toujours reconnaître s'il y a relation directe ou indirecte. Il ne s'agit que de savoir si , une des grandeurs de la première^ espèce augmentant ou diminuant, sa correspondante doit augmenter ou diminuer, ou bien, 81 au contraire , une grandeur de la première espèce augmentant ou diminuant, sa correspondante doit diminuer ou au^ menter. Dans le premier cas, il y a relation directe, ou les deux nombres de la première espèce sont directement proportionnels à leurs correspondans ; dans le second, il y a relation indirecte, c'est-à-dire que les deux nombres de la première

(^) Les dénominations de relation directe et relation indirecte ont^te' proposées par Manduic^ l'an des meiJiears auteurs de Traités d'Arithmétiqae.

âSfi DES RAPPORTS DIRECTS OU INVERSES.

espèce sont réciproquement proportionnels à leurs correspond dans.

On dit encore , dans le premier cas, que cbaqne grandeur de la preoiière espèce est en raison directe de sa correspondante , et dans le second, qu'elle est en raison inuerseâe sa correspondante.

Par exemple , le prix d*une certaine marchandise est en raison directe du nombre d'unités de cette marciiandise , parce que plus il 7 a d'unités de cette marchandise , plus il faut payer pour ce nombre d'unités; au contraire, le nombre de jours nécessaire à un certain nombre d'hommes pour faire un ouyrage, est en raison inverse du nombre d'hommes , parce que plus il y a d'hommes pour feîre cet outrage, moins il faut de jours.

aao. Ces diverses locutions sont souvent employées en Mathématiques. Ainsi, en parlant de deux fractions qui ont même dénominateur, on dît qu'elles sont en raison directe de leurs nu-», mérateurs; et de deux fractions qui ont même numérateur, qu'elles sont en raison inverse de leurs dénominateurs.

Pour interpréter cqs deux expressions , considérons d'abord les deux fractions — , — qui ont même dénominateur.

On a évidemment la proportion -^ : — tt 7 î 11 ,

'^ ^ 12 ta ' '

puisque le second rapport n'est que le premier dont les deux

termes ont été multipliés par 1 â.

Or, la fraction — et le numérateur 7 qui lui correspond ,

forment les deux antécédens , tandis que la fraction — , et le

numérateur 1 1 qui lui correspond , forment les deux conséquens.

Ain^i, les deux fractions sont directement proportionnelles à

leurs numérateurs^ ou bien, elles sont en raison directe de leurs

numérateurs.

i5 i5 Soient maintenant les fractions -5 et ^r^^ qui ont même nu-»

mérateur.