îio :: i : x
d'où oc-=z =^ = ~, C'est-à-dire que la ration de chaque indi- 35 7
yidu doit être réduite aux - de la ration ordinaire.
Autre solution. On peut parvenir à ce mên^e résultat , sans
le secours des proportions, et d'une manière plus simple.
Admettons pour le moment qu'il n'y ait plus qu'une seule
BE LA RECELE DE YROIS. C^q
ratîoik ordinaire , par chaque iadivido;- povtr teiûr>iani^ p^'^
dant 35 jours -, la ration ses trouvera alors réduite à ^^ nar ipur,
de la ration ordinaire;' mais Côinme, d'après renoncé > if y a aérations par chaque individu , il s'ensuit qUe ia fatroh â(dtneTl«
doit être ^ X ao, ou gg , ,p esl-Mjrc^ Içs 5 «^ J^.,r^fipp^f
dînaire,
aaa. Règl&de trois composée. Jusqu'ici nous n*avonâ résolu que des questions (Jont les énoncés ne renfern^aient qjjç^q^^j^re ;ionibres. En voici maintenant de plus compliquées.
Sixième EXEMPLE«:ao oupfien 'ont erhplcfyé 18 jours à faireSoo mètres d'un certain ouvrage; on demande en combien .de jours 76 4>uyriers feront laSô mètres du même oui/ragè, ''* »
Analyse. Cet énoncé donne lieu à considérer trois rapports savoir: le rapport des deux nomt)r^^ d!ouvriers , celui des dteux nombres de JQurs et le rapport des d^ux oy vragps. . M^\a\ ppur simplifier la question et la ranjenerj^u;^ qiî^stions prép^dente?' nous supposerons d abord (^ue î puv;rag.e à faire pa^ , Iç^ ç^eux troupes d'ouvriers, soit le même et égal au premier V5oQ,niàtrea. Alor^la question reviendra à celle-^i : ao ouvriers, ontemployé i& jours à fairi^ 5oo mètres tfun ceràain,ouyxag(ç;,,comfii€9> 76 ouvriers emploierontrils de jours^àjaire cejp4n\eçij^yfffgf>g!
Ici, il y a é^vijde Jument rc/aÉJçjri i^Arccte eù^rçilç^r^^^ux nombres d'ouvriers et les nombres de jours. Ains^^,jdéfignant par X , non pas le nombre de jours qui correspond au premier énoncé, mais celui quron dl^ërcfae 'd*kprè8 le ridu'vfel énoncé
on aura la pToportion* . : . . : . .t^S'T ao :: i:S'ïaH'. (i).
On pourrait^^rer de cette: propottioh' fa dateur de ir^'inaîs nous allons voir tliie cela est inutile. Il ^ûlfit 'seulémènV'de raisonner flur X , comme étant déjà Sconau â'apr'èà^ cette^ prô'feH'tion.
Observons maintemaritqile, x-étàht le nombrêdejokrs nécessaire aux 76 oyvrier?^ ppur faire les boo wi^^W^^Ue/s'^iî,p|na,qiie de savoir combien il leur faut de jours pour faire les i^^S mètres.
Or , le nombre d^s ouvriers étahtdenàéaie j^^tjy ilv ^ dJo». vrage, plus il faut de jours;, ainsi", il y âréiaiihn directe; et si
ag|Q AUTREa appucatioms
Top 4^S>I® p«r «^ ( op ^iine ) lo nombre çb .)oiin ckendié {c'est alors le nombre incpnnu du premier énoncé ) , on aura la nouvelle proportion 5oo ; ifl65 :: x l j/... (a); (5oo et a; formeat tm eiHréme et un moyen» puisque ta relation ett directe»)
Multiplions actuellement, terme 2r terme > les douxpi:oportions (i) et (a) I il en résultera (n** ai6)
76 x5oo : aox iaG5 ;; i8Xx:xXa/; on, supprimant le facteur x, commun aux deux derniers terme s,
76 X 5oo : ao X in65 :: 18 : x',
, aoXia65xi8 .187 . .
Dono y af =x ' ^k^t^ ' ^" "* * * ***'^» ^** ^^ )oot!p environ.
76XS
Passons à un eâcemple encore plus.compliqcé.
SEmÈME EXEAÏFLÇ. 5oo hommes travaillant 1 a heures par jour , ont employé 67 jours à creuser un canal de 1800 mètres de long sur 7 mètres de large et 3 de profondeur; on demande en combien de jours 860 hommes travaillant 10 heures par jtur, creuseront iin autre canal de aqoo mètres de long sur 1% mètres de large et 5 de prcfondeur^ dans un terrain Z fois ptti$ difficile que h premier ?
Voici le tableau des calculs , dont nons donneront ensuite l'MtpUcatioh.
• 5oo*»"' :t bji' :
yf^nt. 1
: la»^':: x
iSoo'*»»*
• sgoo»**' :: af'
: »»"'«• :: oT ;
8Dox'tex^ii>ox7xSl(i : Sooxiaxagoox 19x5x3 :: 57 : X; •
■ -^ 5o<!>x«aXfl9*>o><i2X5x3x57 p . 5i
DS LA RÂGLÇ DE TKQIS. ^91
An^sie. Qm dstingae dans Vénaxicé ci-4efl9^^ ^ux parties prîaoîpales^, la première comppeQd les nombres
et U seconde, 860 ,10 , X , agoo , la ,5 ,3.
(Puisque le tenraia est trois fois plps difficile à fouiller que lo pr^miçr, on peut représenter la dureté du premier terraii^ par I ^ et celle du second par 3 , comme ou le voit ici.)
On a désigné d'ailteui» par X le nombre de jours cherché.
Cela posé y admettons d*abord que l'ouvrage à faire par les deux troupes d'ouvriers soit le même, et de plus que Tune et Tautre troupes travaillent le même nombre d'heures par jour.
Commue, dans ce cas, plus il 7 a d'ouvriers pour faire cet ouvrage , moins il faut de jours y on a une relation indirecte entre les deux nombres d'ouvriers et les deux nombres do jours. Ainsi, désignant par x le nombre de jours nécessaire aux 8Gâ ouvriers pour creuser \b premier fo3sé > le temps de leur travail par jour étant d'ailleurs de la heures coQipia pour les 5oo ouvriers , on a la proportion (i), dans laquelle 860 et son correspondant x forment les deux extrêmes.
Actuellement , si ces 8G0 hommes ^ au lien de .travailler la heures , ne travaillent que .10 heures, ils devront nécessaire^ ment employer plus de jours à faire le même ouvrage. Ainsi , ayapt égard aux deux npmbres d'heures de travail par jour > comme moins il 7 a d'heures de travail , plus il faut de jours j. on a encore une relation indirecte entre les deux nombres ' la*', lo*', et les deux nombres de jours x y a/ ; ce qui donne la proportion (2) , dont 10 et son correspondant a/ forment les extrêmes.
On pourrait, fn multipliant les deux proportions (1) et (a^ Tune par l'autre, et observant que le terme x disparaîtrait comme facteur des deux derniers termes de la nouvelle proportion , on pourrait , dis-je , obtenir la valeur de a/ ,. qui exprimerait le nombre de jours nécessaire aux SGo ouvriers travaillant 10 lieures par Jour, pour creuser le premier fossé ; mais cela est inutile , et il suffit de regarder a/ comme déterminé. /
•aga autres applications *
Faisons maintenant varier la longueur du fossé , en lui éonsenrant la même largeur, la même profondeur et .la. même dureté de terrain.
Or, si le fosâé a plus de longueur, tontes choses égales d'ailleurs, il faut nécessairement plus de jours pour le creuser ; ainsi i il y a relation directe entre les deux nombres 1800 , 12900 et x\ x"; a;'' ( on x seconde ) désignant le nombre de jours correspondant à la longueur 22900 ; d*où résulte la proportion (3) , dont 22900 et x" forment un moyen et un extrême:
Répétant les mêmes raisonnemens , par rapport à la largeur et à la profondeur, on obtient les deux pi^oportions (4) et (5) , dans lesquelles x^ et x'^ (ou x tierce et x quarte ) expriment les nombres de jours qui correspondent aux variations de la largeur et de la profondeur.
- Enfin, si Ton a égard à la différence des duretés des deux terrains, il y aura évidemment relation directe, et Ton obtiendra la proportion (6) , dont le dernier terme x^ ou X ^ exprime le nombre de jours cherché.
Multipliant alors, terme à term^, les six proportions établies successivement, et observant que tous les termes x,x',x^, x", x*% disparaissent comme facteurs communs dans le second antécédent et le second conséquent de la nouvelle proportion, on obtient la proportion (7), d*oà Ton déduit la valeur deX, qui ,
toute simplification faite , se réduit à 549^* ^ — «
Ainsi, le nombre de jours demanda est de 549 jours environ. N. B. Rappelons-nous toutefois que , lorsqu'on est parvenu
al expression -^- 860X10X1800x7 X 3 ^i \ '* faut, avant d'effectuer toutes, les multiplications "indiquées ^ avoir soin de supprimer tous les facteurs coihmuns qui' sont en évidence , au numérateur et au dénominateur.
Ici, par exemple , après avoir opéré toutes ces suppressions, on
, . , Y 5x4XQqx5x57 '-' ' ^ \ . ' • obtient X = ' v^ ' v. ' — — ^i ou, etrectuant alors les
, , -^ i653oo « , 5i
calculs , X = —5 = ûAQ 5 — .
' 3oi ^^3oi
DE LA^ RÈGLE DE tROIS. 2^3
Cet exemple ; qui est l'iHides p\m cpmpliqaéâ qu'on ^puisse se proposée y. avlfit pour mettre tes oommençans ai| fait de la marche .qu il faut suivre dans tout autrç.
aaS. Remarque générale sur la règle de trois. L'opératic^ d'après laquelle on parvient à déternfîner le nombre inconnu , dans les deux questions précédentes , s'appelle règle de troh composée , parce qu*en effet , on parvient à une proportion dont le premier ]fap{)ort est formé par la multi|»licatio9 de tous les rapports compris dans renoncé, à l'exception de celui dont l'inconnue fait partie , et qui forme d'ailleurs le second rapporj: de là proportiom i
Autrefois , on -distinguait encore. les règles de trois , en r^gle de- trois simple et directe ^ règle de trois simple et inverse, règle de trois composée, directe et inverse tout d la fois ^ etc. ; mais on est généralement d'accord «pour rejeter toutes ces déy nominations, comme vicieuses , ou au moins, comme inutile^ pour la résolution de la question.
La seule attention qu'il faut avoir , en plaçant les,. unes au-» dessous des autres , les différentes proportions dont le produit doit donner lieu à la proportion qui a pour seul terme incoqnu le nombre demandé > c'est de s'assurer si les quatre nombre^ que l'on comparé,, pour chaque proportion, soi^t /dir^eptejmfent ou réciproquement proportionnels^ et d' écrite .celtfi pivoportio)^ en conséquence et d'après larèmanfue du n® âig. ^
Nous proposerons pour exercice les problèmes suivai^iy.
Huitième exemvle. \b ouvriers travaiilanti it^-hei^^par jour ^ ont etnploy,é 18 jours à faire J^ho mètres d'un certain ouvrage j, on demande combien ii faut d^ ouvriers, travaillant lA heures par jour, pour faire en 8 jours^, ^4^0 mètres dujnqmè ouvrage? .
f/l^p. Xî=3o hommes.]] * i^
ÎNeuvième exemple, lia fallu laoo mètres de drapa\'àe large ,. poi^r habiller 5oo hommes; on demande combien il faut
de mètres à l pour en habiller qGo .^
sg4 RàGLfi d^intArêt.
DfXiéMB nxtUfUE. Uh cowfwt nutrcktmi xi hmrêë pat jour, a faH une rouie de S^h àeaêÈ dant âo feurs de \tmps ; on demande combien il d&H iiiX^cker d'heures pur jour , pour fbire 4ob lieues dans iS jours?
DE LA aiCLE P'I«TÉRÊT.
2ia4* On appelle intérêt 4'ane aominè , U hèoiSçe résultut du p^êt que l'on fait da catte aomme pendant un certain temps; la aomitfe placée se nomme d'ailleUfs le cttpital.
L'intérêt d'une somme dépend de la quotité de ce capital » du tefftps pendant lâqnel il est placée et du taux dlntéiét^On appelle têtux , Fintérét ou te bénéfice de ibo francs pour un mL Ce *Uiux eït de pure convantion entre la personne qni prête et celle qui i^eçôit la sotuine. Cependant, il y a dans le coMmeroe ou dans la banque , des Kniites an^^delà desquelles le taux ne peut monter , sans être appelé u^ure. L'usurier est 'celui ^ ptéte sdn argent beancou]^ att-desbus du taux géttéraiement àdmié.
La réglée d*iiltélrêt n'est qu*un tan particoliier de la règle de trots , Comme nous aUons le voir dans les questions «oiraote».
FRÉMrEU EXEMPLE. On demande l'intérêt d'une ^somme dé 4^00 francs y pour a ans h mois y à raison de ^ /roftcspour | par an (pour S ^st'la manMra usitée dans le .cdmmerce , d'écrire pour 100).
Cet éndneé est re]ipt«ssi<^n abrégée -de tAùînA i
1 00 frànts tàpportatct 7 francs étintérêt par an , combiéh produira ,àpropoftion , Une somitie de 4^oc/, placée ou prêtée pendant n ans^ moisrT^
Analyse et solution. Appliquant à cette question les piii!i<cipes établis précédemment , nous Cirons : Les intérêts. de deux capitaux placés pendant le même temps , sont directement proportionnels à ces capitaux ; ainâî ^ en appelant oc l'intérêt du bapital J^ocf^ placé pendant un an , on aura cette première proportion 100 : 45ôo :: 7 : x../(i)\
ensuite , les intérêts d^un même capital sont difeelemeat pro-
portipBtt^ aoxf temps pencUiit Iciiçach il cet (ila^ $ domi», «i l'on déjUgoe par X l'intérêt A^ jfioc/ ponr o an3 5 mois., ou Tintérêt âemàndé , on aura oetté nouvelle proportion :
i«« ; :j«w5«oii .. ^ ; X...(a);
d'où, multipliant terme à terme lés proportions (i) et (a), '
. ^oq : 4500 X A*~ 5'î««^ :: 7 s x-,
Efiactimit l'opéfaU^ iiiasqoé» p^v... » 3)^ . , . .1
3i5 X a*»' 5"*, d'après les règles connues ' f)^*" 5?f ^^ . .*
et coaqpie ^ je ftoiti cl à côté ^ on trouve 63o . , . :
poifr résultat^ 761 francs a5 centimes. 4'"***^^^ Aiâsî, FmAfrét demandé montte 47^1 fr. 1 ... aG^aS"^ ' •'': ' sS centimes. 76^ ^a5 .
Sôity en général » ûtî capital à placd penâmf un le)/hps exprimé paft^àt€»ison.4»\jf^%oi^pfi^4mé , ;^. r
Eii^raisonnant comme* ci-de^sQ3 9 on sera conduit aux deux
proportioiu.., { ^ . ^ .. ,,. x }..î
d'où l'on èmsx .......'.;:.;.■ 1 68 : "a ><f « icî F; x,i
et par conséquent , X=; ' = — . '
Cette ji^rmule X= , comprend' sous une* fortûe^iPaHlfiâ^
retsenk^ httoamèi^ de déteipn^fr ri»léi;4t4fut»e.5f]^|^ opscpirspiso&eiptodMli un «oevtaiAteoipsy-Tfl^/dîfipi^SiW o^^stain. taux» , i > ■ \., -Il,:- c •. '
En langage ordinaire ^ elle signifie qu'il faut multiplier la somme proposée parle taux d'intérêt pour un^ an ^ piSs pat le temps pewSkini letjuèl la somrAe est placée , etài^isert^ résultat par loo. Cfis^t da^s cette opération^ que consiste la règfe d'Jjh' térêlsimplç, «;,'.. ,,,'" . /•,-)".-.,•
• aaB.^ ^utdlailleuEBiparTjeiiùri eéttelbiMnle^ avis le.ACi^jpuf^ éië ^«^pmtioiie, %t par m BK^en qu'il e^fam de {éatftommfiO^u Puisque 108 francs rapportent un nombre de firaaa» inMi^é
agS RiÔbfi R'kNTBRÊT.
par i^ éàn9 l'ttithé:de:tQibp8^ ou'dAiia un an:» ît est dairqu'as
séiil 'franc dqit rapporter . Donc iine somme duelîcronàue a.
rapportera )<«, ôû — =•, dans un an ; et Cett^ même somme,
au bout de t aniiéès ; dhvrâ rapporter -2L >< ^ on — .
^^ 100 * lOO
•''^l^jS;iàïi'âctîbn-::î:::7quié^^^ rîntérêt'ffùh frâûC pom:*
loo
un an > se p^ééente , dan^ certains caÉf'pàrticuliëri^VMftii ^\\4
tormç.tr^jimpie. ^ ^ '
Soit, par'esiémple, ^t^S'i'ce qtnreùt «té'^n^né-^
est placée à § p. loo paran.: ilen.risultç -717-^== -^ ^c= -r 1
^fiî^.r^.^F^rr^^'^'^ J'on voit que Tintérêt d'un capital placé à 5 p. joo par an > estégal'yiâ ^û^tiybié'diB ee^capîtol. > - '^'^
pojt encore e =; 1 o ; il en résulte — == = — . Donc
T-3^ï=4-TTic*çs^-à^ire que l'intérêt d'un capital. p]acé, à. 10
p. 100, est éealau diècième de cèidàpîtal. ^ ,
On dit, dans le prttoiier ca», que le capital est placé 'aii
4^»Wn?Q »rj8t»4^ps le 9«cpnd , au dénier 10. . , . ^
Enfin , dire qu une personne a placeuses tonds au denier 40 ,
ifkf M]^pb'é^i<'<|u^ëlk']^ètiVe'pat an', en* iniktè^^fXe^cfl^ de '^s:
e^tWP^'l;»! ;miil^àilfres'r«rriié^f que le ttaas dJi|itkôti|8l<^'fl«i>
p^ 100 par an; car on a ••;>
"'tw'diîommati^^^^^ da^ns le aoniirfe/cé.^ • ;'^ •^;\
asG. Quelquefois, le taux d'intérêt est donné, nôh.^'ôûi^'un
ail J^ais po^tfr />«mmi> ouiSa )oiu».vDi|n0tce ' oaà» i*jon ^teod- le
utôO^ tiour^uwiiti deiMb^ i'ingis •kiM«iaAi«rf td'opérrr<fafe'.^oiifj'
RÈGLE d'intérêt. Û^J
SsaoUD EXEMPLE. On demande t intérêt de Booo francs pour 3i5 jours, ou xomois i5 jours , à raison de ^ p. loo pat mois? ' . i
Fanant dan/^ la formule . X = - — , <i = 5ôoo , < = lo"» ^
X^ 5ooo>Ooi><| ^5^^'«i ^î^ 3^
Ainsi « l'ii^térôt dexx^andé. est SjS francs 76 ceptime».
^[EOtSîÈMB 'EXiMPhEi. Une somme ddjBo/faancs:^ a /apporté. 7 1 9 fiancs s5 centimes j en intérêt^ au bout de a ans 6 moif ; on demande le taux d intérêt auquel la somme U été placée?
En raisonnant comme dans le premier exen^Ie , pa par-
. j j ^. f375o : loo :: 719,25 : x\
viendra aux ;dew proportions {^;„^ ^ . ^ ,. ^'l; X' j * d^'ôûron déduit 375ôXa i : io6-::7igia5 : X. ^
Donc X=2^^^-:r'=-^5-= 7.67» ï c«t-a-d.re
que le taux d'intérêt est J^fil^ p» ioo par:ani, a* t centime près. . , . r"^ *
On peut facilement vérifier ce résultat , en déterminant Tintérêf du capital 3760 francs, au bout de a ans 6 mois , à raison de 7'G7C p. loQ par an. Toutefois, il est nécessaire,, pour plus d'exactitude^ de pi^èndre pour le taux , 7,'673, tel qu^bn l*à^ obtenu ci-dessus.
La formule X= , est également propre à faire connaître
ce taux. En eifet, elle donne évidemment iooX = a X i-X t »
ay.t
Or, on'a ' a = 3760, ^t^ a ans 6 n^ois , X = 719,05: " '
Uonc i= ç-c-TT — r = ^-^c" > comme on i a qeia trouve,
fl07* En %éàiràl , cette fcraMile édntieat qnifere ^^wuitilés a^ ii t et X| dont chacune peut être supposée inconnue , les trois autres étant données ; et il sera toujours facile d*en déduire la quantité inconnue.
On peut ainsi se proposer quatre questions essentiellement différentes^ dont voici les énoncés ^aveô les résultats qui y sont relatifs.
1®. Déterminer Vintérêt d'un capital au bout d'un cettain
temps, à mison d'un certain taux d'intérêt ?
ait Soit X Vintérêt demandé, on a X= — .
lOO
(Les deux ptefniers exemples se rapporteiït à cette question).
Ji^^ Déterminer le iaux d'intérêt ahquel une' sonMedoit tire placée ^ pour rkpporter qu bout. d'un certain temps ^ une' aMre somme cennuel
La fornsule ést/danë ce cas . i= '—'.
^ at
{ Le )ronième exemple se Ta[]|)orte à cette question. )
S®. Déterminer le temps pendant lequel une ceptaine spmme
doit être placée , pour rapporter , à raison d'un certain taux
conmijUne autre somme aussi connue P
Lft fermuie estaiocs 4=±: -«-rr^. '
aXi
Cette valeur de t doit être d'ailleurs calculée en unités de même espèce que celle pour laquelle onad*abordfixé létaux^ c*est-à-dire. en années ou en mois.
4°' péterminfii te capital qu il faudrait placer pendant un temps connu , pourrapporter , à raison d'un certain taux (fonné^ une somme aussi connue ?
On a pour là formule , a== t-tt-t»
iX t
Voici de nouveaux exemples sur' lesquels on peut 8*éxefcer. Quatrième exemple. Un certain capital plhcé:pendtttlP
37 moiSi à raison de- p. 100 par mois, a rapporté iSia^QB* en intérêt ;on demande la valeur du capitail>
Cinquième exemple. Une somme de ^J^ocf arapporté pen* dant 27 mx>is 83af5oc; on demande combien une autre somme de ibocf doit rapporter^ au même taux d^ intérêt, pendant 4B mois^ et quel est le taux d'intérêt ?
[ Rép> 1 Sgî^Bc , €t 5 p. 1 00 par an. ]
