DES TABLE
moyens proportionnels (qui soit le même pour chaque couple)> mais un nombre assez grand pour qu'on soit assuré que 2,3, 4M..9I II» 12, i3....9g I ioi| io2....99g, soientcompris parmi ces moyens proportionnels , ou du inoins , ne diffîèrent de quelques-uns d'entre eux que d'une quantité si petite qu'on puisse les substituer, sans erreur sensible, à ces moyens proportionnels.
G>nceYons ensuite qu'entre les termes o et i, i et 2, 2 et 3, 3 et 4 9 ••• de la progression par dififérence , on insère autant de moyens différentiels qu'on avait inséré de moyens proportionnels; il est clair, d'après ce qui a été dit précédemment, que les termes de la nouvelle progression par différence seront les logarithmes des termes de la nouvelle progression par quotient.
Actuellement, supposons que, dans le nombre immense des termes des deux progressions , on ne tienne compte que des
nombres entiers 1^2, 3,4 V* 99'o>ii>i2>' • • appartenant à la progression par quotient, ainsi que des logarithmes qui leur correspondent ; on obtiendra une table qui renfermera ,
D'une part, tous les nombres entiers consécutifs , qui, à la vérité^ ne feront plus entre eux une progression par quotient, mais n'en pourront pas moios être considérés comme des termes d'une progression de cette espèce ;
De Vautre part , leurs logarithmes, qui ne seront pas non plus en progression par différence , mais n'en seront pas moins des termes d'une progression de cette espèce, occupant respectivement les lùèmes rangs que ceux qu'occupent, dans la progression par quotient , les nombres de ces deux séries.
Ainsi, les propriétés relatives aux diverses opérations arithmétiques , sont applicables à tous les nombres de cette table et à leurs logari^imes.
JVl. j5. — Au premier abord , il peut paraître difficile de comprendre comment on est parvenu à insérer entre deux nombres donnés, i et 10 par exemple, un très grand nombre de moyens proportionnels , puisque , pour en insérer deux seulement , il
35o CONSTRUCTION ET USAGE
faudrait (n* 246), d'après la formule q = t /- qui donne Texpression de la raison , extraire avec un très grand degré d'approximation, la racine S'"*' de — , ou de 10, opération que
l'on sait être déjà assez laborieuse. Que serait-ce donc sll fallait en insérer lo oooooo, comme l'indiquent les traités d'Arithmétique? Mais notre objet était seulement de faire concevoir la possibilité de l'existence d'une table de logarithmes. C'est dans les parties plus élevées des Itfathématiqnes , qu'on trouve des méthodes de détermination beaucoup plus expéditives.
S59. Voici néanmoins une méthode élémentaire , qdi est peut-être plus aisée à comprendre , en ce qu*elle né suppose que des extractions successives de racines carrées.
Supposons qu'on veuille déteirminer le iogarithfne de 5 en particulier.
Gomme 5 est compris entre i et i o , insérons un seul fnùfà proportionnel entre i et to, puis un moyen dijffëi^eïitieleiitKO eti.
On a (n« 207) i : a? :: a? : lo;
d'où X = V/ 10= 3,16227766. ... ;
et(n«205) o,y : j-.i;
d'où j^ = - == 0,5.
Cela posé, -ou o,5 sera évidemment le logaiithme de ^10; résultat qui s'accorde d'ailleurs avec la propriété du n' ^i
puisque l'on a log. |/io = - log. 10 = -.
Actuellement, comme 5 est plus grand qUe 3,162... et plus petit que 1 , insérons un nouveau moyen proportionnel
entre 3,1622. . . et lo, puis un moyen différentiel tnXxt " et i;
DES TABLES. 35l
it 3;i6227766....:a: ::x: lo;
ar== V^3i,622776. . := 5,623...;
Qouveau moyen différentiel est d'ailleurs le logaritlime uveau moyen proportionnel.
nombre 5 se trouvant compris entre 3 , 162. ...;.. « et • . . . , nous sommes encore conduits à insérer un moyen rtionnel entre 3,162... et $62 3..., puis un moyen întiel entre o,5 et 0,75.
il est évident qu'en continuant cette série d,'inse)^tions Dyens proportionnels,, on parviendra à en déterminer (jui ne différeront l'un de l'autre que d'une quantité aussi
que l'on voudra , et qui comprendront le nombre 5» >urra donc , sans erreur sensible , substituer 5 à l'un de oyens proportionnels, et le moyen différentiel corresponau moyeu proportionnel , sera le logarithme demandé, ^tiendrait par des opérations analogues , les logarithmes I 3, 7. . ,
narquons d'ailleurs qu'il suffit, en calculant ainsi le ithme de chaque nombre entier , de déterminer direcit les logarithmes des nombres premiers ; quant aux Ithmes des nombres multiples, on les obtiendrait au n des logarithmes des nombres premiers, tn faisant
des propriétés des n°' 252 et 256 .
r exemple, on aurait log i5=log (5x3)=log5+loç 3 j 5 = log (2^ X 3*) = 2 log 2 + 2 log 3 ; et ainsi de suite.
Disposition et usage des Tables vulgaires,
0. On appelle logarithmes vulgaires, ceux dont la for- )n est fondée sur le système des deux progressions
