NOMBRE QUI LUI CORRESPOND

Lorsque , pour effectuer certaines opération^ arithme'tiques , on emploie le secours des logarithmes , on parvient ordinairement à un résultat qui exprime le logarithme du nombre cher^ ché; et il faut y au moyen de la table, déterminer à quel nombre correspond ce logarithme.

i^. Considérons le cas où la caractéristique est 3, ou la plus forte de celles qui se trouvent dans les petites tables.

Soit à trouver le nombre correspondant au logarithme 3,45936?

On commence par chercher ce logarithme parmi ceux des nombres de quatre chiffres ; et Ton trouve quHl est compris entre 8,45924 et 3^4^^9 V^^ ^^^ ^^^ logarithmes de 2879 et a88o ; donc le nombre' cherché est égal à 2^8'jgplus une certaine fraction. ^

Pour obtenir cette fraction , on prend la différence tabulaire 1 5, et la différence 12 entre le logarithme donné et celui de 2879 ; puis on établit la proportion :

Sif pour i5 CENT-MiLiLièMEs de dijfférence entre logaSHo et log^S'jg, on a une unité de différence entre ces nombres, combien j pour 12 cent-millièmes de différence entre le lo^ garithme donné et celui de 2879, doit^on avoir de différence

entre les nombres correspoT\dans?

Ou bien. i5 : i :: 12 : x; d'oiix=:-==io,8.

Ajoutant ce 4"*' terme à 2879 , on obtient 2879,8 pour le nombre demandé.

Voici le tableau des calculs :

Appelant N le nombre cherché, on a logN = 3,4^936. On trouve dans la table log 2879 = 3 94^9^4

Diff'' la

DiffUab'*....i5

donc ' N = 2879,8.

aOG. N. B. — La valeur obtenue pour N dans Texemple précédent , a été trouvée , avant la réduction en décimales , ^ale

1 2 à 2879 H — ^(à un 1 5^ près), en supposant la proportion exacte,

liypotbèse qui peut et doit êlre admise ici ( n^ S64), puisque l'on reconnaît à Tinspection de la table de logaritlimes que des accroissemens constans et égaux à 1 , faits sur les nombres, correspondent (pour cette portion de la table) à des accroissemens constans et égaux à i5 unités (de Tordre des cent-millicmes ) , faits sur les logarithmes correspondans , ou bien , ce qui revient au même , qu'une unité ( de Tordre des ceni^milUhmcs) d'augmentation sur les logarithmes, correspond \ -= d'augmentation sur les nombres.

Maintenant , au lieu de laisser au 4' terme de la proportion

r ou à la fraction -pj, celte forme, sous laquelle il s'était

naturellement présenté, nous l'avons réduit en décimales, comme cela se fait ordinairement pour la commodité des calculs; et nous avons trouvé ainsi la fraction 0,8^ exactement

égale à -^. Or, il est important d'observer que si la réduction

ne s'était pas faite exactement en dixièmes, il n'en aurait pas moins fallu arrêter cette opération au premier chiffre décimal ; et nous allons eu donner la raison.

Chaque i5^ contenant autant de 100^ que le nombre 100 contient de fois le nombre i5, il s'ensuit que quand on sait combien un nombre contient de iS** (à un près ) on ne sait pas pour cela combien ce nombre contient de 100^^, de looo'^, de loooo*'; tandis qu'au contraire on peut bien conclure le

nombre de lo*' (à un près) de celui des i5*% puisque — étant

DES tJOtM. 35^

plus grand que -=, chaque i5* d'augmentation ne peut pas

faire croître le nombre de plusieurs lo^ à la fois.

De ce raisonnement généralisé résulte la règle suivante^ applicable à tous les cas où ^ cherchant un tiombre au mojrcn de sou logarithme ^ on est obligé d'employer la proportion pour le déterminer : le nombre de chiffres dêciniaux qu'il est permis de calculer pour le 4* terme , doit toujours être inférieur, au Thoins d^une unité, au nombre de chijffres qui composent la différence tabulaire , diminué d'une unité. Cette règle est générale , quelle qad soit la table que l'on emploie : ainsi la table de Callet donnera le chiffre des i oo*^^ toutes les fois que la différence tabulaire dépassera loo^ mais seulement celui des lo" dans tous les cas contraires ; et la table de Lalande ne donnera pas même avec certitude le cfiiffre «les lo**, touteties fois que là différence tabulaire sera moîiidre que 10. (Au reste , pour plus de détails , voyei VAlghbre, )

2®. Soit à déterminer le nofnbre correspondant au loga-^ rithme i,â6834«

On pourrait commencer par rechercher ce logarithme parmi ceux des nombres de deux chiffres; mais, comme il est probable qu'on ne l'y trouverait pas , il vaut mieux ajouter tout de suite 2 à la caractéristique , ce qui donne 3,56834- Cherchant , d'après la règle ci-dessus , le nombre correspondant k ce nouveau logarithme , où trouve 3 , 56834 = log 370 1 ', 2 . Or , puisqu'en ajoutant 2 unités à la caractéristique , on a (n^ S64] multiplié le nombre cherché par 100, il faut , pour obtenir celui-ci , diviser 3701 ,2 par 100 ; ce qui donne enfin 37,012 pour le nombre demandé ^ à 0,001 près.

Soit encore à trouver le nombre correspondant à 0,86784.

On a d'abord. . 3,86784 ==i log 7376,3 ; donc 0,86784 = log 7,3763, à 0,0001 près.

Soit enfin proposé de déterminer le nombre correspondant à 5,47659.

Retranchant d'abord deux Unités , on a

3,476ê^=i: log 2996,3;

36o APPLIGATIOHS

et comme , en Atant a unités de la caractëristiqae, on a rendu le nombre loo fois trop petit, il iaat multîpUer 3^ par 100 y ce qui donne 2gg63o pour le nombre demandé, à une dixaineprhs.

Les petites tables ne permettent pas d'obtenir un plus giand degré d'approximation. Si la caractéristique était plus grande que;5, le degré d'approximation serait encore moindre. Aussi doit-on employer les plus grandes tables possibles pour exécuter un calcul qui demande de l'exactitude.

^applications de la théorie des logarithmes^

Voyons maintenant les diverses applications que l'on peut faire des tables de logarithmes aux opérations de rArithmétique.

S67. RÈGLE DE TROIS. — • Déterminer, par Iqgariihmes, k 4"** terme de la proportion a l b l\ c \ x.

b ^ c On a d'abord (n"ÎM)6)a:=: ; d'où, en prenant les

logarithmes et appliquant les propriétés des n®' 232 et ltôi$,

loga: = log b + log c — log a.

Après asfoirjait la somnedes logarithmes des deux mq/enst retranchez-en le logarithme de V extrême connu; puis chercha à quel nombre correspond la différence : vous obtiendrez ainsi le nombre demandé. '

Soit, par exemple, la proportion 87 : 269 :; 497 l xjoni

log X z=z log 269 + log 497 — log 37 ,

log 259 = 2,41 33o log 497 = 2,69636

5,10966 log 37 = 1,56820

Donc log a: =3,54146

et par conséquent» x =: 3479,1 à o,i près.