DES FRACTIONS

égal à celui qui le suit, divisé par lo. Par conse'quent , si Von prolonge cette progression au-dessous du premier terme i , en divisant successivement i par les diverses puissances de lo, c'est-à-dire par lo, loo, iooo...« ce qui donne les fractions — , , • • . • on en déduit la nouvelle progression

•H . . . * 1 — i — î — î I ; lotioo : 1000 : loooo,...

loooo 1000 100 10 '

qu'on peut supposer commençant à une fraction — ^ aussi

petite que l'on veut.

D'un autre côté, reprenons la progression par différence

et observons que chaque terme étant égal à celui qui le précède, augmenté de i, réciproquement, chaque terme est égal à celui qui le suit j diminué de i . Cela posé , continuons cette progression à la gauche du premier terme o ( ou au-^ssous

de o) , en retranchant successivement 1,2,3^4 de ce

premier terme, ce qui donne les résultats— i ,— a,— 3, ^4*** * il en résulte la nouvelle progression par différence

qu'on peut supposer commençant à un terme quelconque — n , n étant un nombre entier aussi grand que l'on veut.

On obtient par ce moyen , le système des deux progressions

H. . . — ^ — : — t — : — : I : lo : loo : looo : loooo..,

lOOOO lOOO 100 lO "S-.,, —4- -^3, — 2. — I. o. 1. 2. 3. 4* * • 9

dont chacune se divise en deux parties, à compter des termes I et o.

La première partie , en allant de gauche à droite , dans les deux progressions , est composée de termes qui comprennent

370 LOGABITHIOSS

toui les nombres plus grands que Ptifuté ei leurs lùgmithki, (Ces logaritkmes août , comme nous l'ayons déjà £Bdt obienart totts ks nombres imaginables compris depuis o jusqu'à Fui*

La seconde partie , en allant de droite à gancbe, est composée de termes qùicoiAprennent tàû^ lés nombres pbu péû^ que l'unité , ainsi que leurs logarithmes, ceux-ci n'étant autre chose ^ue les logarithmes de la première partie, précédés dnégne*— , lequel signe sert alors à disiin^er les logàrii&mesd» nombres plus petits que l'unité , des logarithmes corresposdalftt aux nombres plus grànâs que rùnité.

275. En général , soit 7- une fraction proprement clite^ ce qui suppose a<^b.

Je dis que l'on a log r = — log -.

En effet, comme on A éyidemïnéirt r = i • ~~f

ît en résulte (n"» âl$i() log | == log i -^ Idg - • Donc, à cause de log i =s o (n^ Wff^ j

log | = — log* C.Q.F.D.

D^oji Pon voit que le logarithme dune fraction est égalw logarithme de la fraction renversée, pris avec le signe <— .

Ainsi , log 7 = — log I = — ( log 4 —log % );

ce qui fournit cette règle : Pour obtenir le logarithme dune Jraction , soustrayez le logarithme du numérateur de cébdw dénominateur, et prenez le résultat avec le signe — •

874, C«s notions établies , faisons quelques applications*

1». On demaruiej pài^ togéoPifliaiêé^, fo btleiif M froduH *>, 6 ^ Il

^ \7 12 i3/ ^ 3 X 5 X II

= log» + lag5+ iog li^Iog^^log là — log ià, mi ewployÀiit les tûmjfXémem ftiithliiéticiii6£r,

^loç 3 4- logS 4-log 1 1 -hc. kg 7 -|« oj km ïîl^i iiv. -c. ïog i3 — 3o.

Effectuant ropç'raiioQ indic^i^^ 0b rocoolBatt: if«e»«44.

Or, en appelant or le nombre correspondant à 0,82074, on

(n® 275) — 0,82074 = log «.

■ jt

Tout se i'dduit âdnc à détenniner x.

Mais on ttoiiyë , ct'après la règle établie n*" S6IS ,

0,82074 =3 log ë,6i8i} d'où x=6,6i8i« Par cotiséqaent| -^^ ^^ ^ nombre cherché, à pour vâleuir

N. B. Dans cet exémblé, oh n'est pas bien ^ut de l'exaçtudè dtt dërjbiei' diîflfrë décimal du nombre 6^ 6181 , en vertu e ce c^ùi a été dit n^ !^è6 ; mais oh Test de celui du nombre >l5ii {'OOf. la note placée à la fin de l'ouvrage, n"* SO).

RiGLÈ GÉNiÎRÀLË. — > Pour trouver à quel nombre correspond tt K>)^Htfamë affecté du signé -« , cherchez d'abord à quel tii^hrè appàrtiéht te logarithme , abstraction faite de son ^fèê-j puiê j dùifsez l'unité par le nombre ainsi obtenu ^ le Hotiei^t y évalué en décimales ^ est le nontbte dtmandé.

S'JH LOGàBITHMES

On peut encore avoir recours à l'artifice suivant : tneUa —0,82074 ^ous la forme 4— 0,82074"* 4» ^® «jui revient à augmenter et diminuer à la fois le logarithme proposé ^ à 4 unités; il vient. . . . — 0,82074= 3, 1 7926-^ 4*

Or, on a , d'après les tables, 3,i7g26=log i5i i;

d'où 3,17926— 4=log i5i I — log loooo (n* Ml);

1 01 1 et par conséquent, 0,82074 == log =log o,i5ii.

Ce dernier moyen est, en général, plus simple et sartoot

plus rigoureux que le premier, parce que, dans Fexpresâoû -^

obtenue par celui-ci , x est un diviseur inexact C^ ; tandis qae par la nature du second moyen , on n'a pas à craindre celte cause d'erreur.

Soit encore à déterminer le nombre correspondant au loga» rithme — 2,35478.

D'abord , ce logarithme étant compris entre — • 2 et — 3 , le

nombre correspondant est compris entre et . Mais,

pour en obtenir la valeur d'après le second moj'en , on met le logarithme sous la forme 6 — 2,35478 — 6=3,64522 — 6. Or, on a 3,64522= log 44^799 ;

donc,6— 2,35478 — 6, ou —2,35478= log -MllzSL

ou bien , — 2,35478 = log 0^0044 1 79*

Ces exemples suffisent pour faire voir que les nombres <pn correspondent à des logarithmes (affectés du signe — , peuvent souvent être obtenus avec un très grand degré d'approximation.

Le second moyen consiste évidemment à retrancher le logarithme proposé , d'autant d'unités, plus 4, que la caractéristi' que en reriferme; à déterminer le nombre correspondant fl« résultat ainsi obtenu; puis à diviser ce nombre par Vunité sui'

(*) yoyez la note placée à la fin de Tonvrage^ n^ ao.