DES FRACTIONS

we doutant de zéros qiion a été obligé de prendre durdtèt jfHmr effectuer la soustraction.

2®. On demande la ii'** puissance de la fraction ~. On a (..«« lo,(i|)" = - lo,(||)"=-(„ lo^lf)

Or, log ^ =o,o62i5; d'où, ii Xlog |^ = o,68365; et

(i3\" -sj = — o,68365 = log 0,2072.

Ainsi, 0,2072 est le nombre demande.

3". On demande la racine 7* de ^, On a

losy/|=-Iog^|=-,(ilog?).

Or, log - = 0,1 7609J d'où - log - = o,o25i5;

donc log i/ô = — o,025i5 = log 0,94374»

etpar conse'quent, t/~ =s 0,94374*

. 275. ScoLiE. -*- La recherche des logarithmes des fractions nous a conduit à une espèce particulière de nombres , appelés en Algèbre, nombres négatifs, par opposition aux nombres ordinaires qu'on appelle nombres positifs ou nombres absolus, La considération des nombres négatifs, dans la théorie des /ogarithmes , est aussi indispensable que celle des nombres positifs , puisque c'est par eux seuls qu'on peut exprimer les logarithmes des fractions. Gela est si vrai que , dans l'hypothèse (très admissible) où l'on aurait d'abord établi le système des deux progressions /

10 100 1000 lOOOO tO .!• 2« 3 • 4 '

3n4 AOTRE 9f4i«ià;Ei£ d'jbwisager

AWI%4 ^^ l^^f^ 1^ fractions auraient ea des loganiknef positif», et d'autant plus grands que les fracdons eius^téli^ plu9 petites y dan3 cçttç hjppth^çe^ dis-jç ^ )(çs l<^gaxit|bniesdes nombres de plus en plus grands que l'unité, savoir.... 1 , 10. 100 , looo. . . , et tous les nombres conipri$ enfff eqf, auraient été nécessairement représentés par la série desnoatbre$i?^^é^«^o,— I, — 2, — 3. . .,e|;de^u3les|iouil^|res€0fflpris.

Autre manière denvisager les Logarithmes.

976. Euler, dans ses Élémens d^ Algèbre , a étab)i entre les diverses opérations de l'Arithmétique , un rapprochement fort ingénieux que nous allons d'abord faire connaître , parce qu'il donne lieu à une nouvelle manière d'envisager les logarithmes.

Désignoris par a« 6 ,c, trois iiombreç qi^lponques , pt pic<qposons-nous cette quesdon générale : Deux quelconques de ces trois quantités étant données, déterminer la troisième m moyen de l'une dès opérations arithmétiques, (Reculée sur les deux quantités données. *

L'opération la plus simple sans contredit , et celle qui se présente la première à l'esprit , est taddition.

3oit do|iQ proposé de trouver c par l'addition des deux mnh bres a e< b.

Gettç relation entre les trois nombres a^b^Cj sera exprimée par réalité

qui donne en même temps a=:c — 6^on6=;c— a.

D'où l'on voit que si , au lieu de rechercher c , on clemandait la valeur de a ou de 6, la même égalité (i) donnerait la quantité inconnue par une soustraction.

Ainsi, V addition et la soustraction sont liées entre elles par la même égalité a -f- 6 = c.

N, B, — Si^ dans l'égalité a =c— 6 > on suppose c<é, la valeur de a sç ré4uit évidemment à un nombre négatif. Ces

Vga uooàMirnuMS. 376

^jt^çB de noiiibre» tirept donc leur origine de sous tractions ii^iquées et impossible^ à effectuer.

L'addition de plusieurs nombres égaux conduit à la multi-^

J^ppf^onç-ifous «lors diS trouver cpar la multiplication des cambres a et b.

Cett^ relation $era ipdiquéç p»r Végalité \

abz=zc...» (a);

d'où Ton déduit ^ = 79 ou ô = -.

Donc ù, au lieu de chercher c d'après l'égalité (2) , on de* mande la valeur de a ou de 6 ^ la division de c par b, ou de c par a , donnera la valeur du nombre inconnu.

4infii y la multiplication et la division sont liées entre elles par la même égalité. . . . ^^ =:s c.

N. ^••— Daps l'hypothèse de cK^by on de c non divisible exac-

tement par b, l'expression j est une fraction ou un ((^7tf6|ie

fractionnaire. Donc les fractions tirent leur origine de division9 q^ii ne peuvent s'effectuer exactement.

Epfin, la multiplication de plusieurs nombres égaux conduit à (^formation des puissances.

Supposons ^onc qu'on veuille obtenir c eu faisant le pro^ duit de b nombres égaux à a.

Cette relation s'exprimera par l'égalité o^sssc. • . (3)j

d'où 1-on déduit d'abord a = ^c^

ce qui prouve que , pour obtenir c , quand on connaît a^tb^

il faut effectuer une formation de puissance; et que , pour

obtenir a , qii^nd on connaît c et 6 > il faut effectuer une ea:-

traction de racine.

Mais actuellement y connaissait get c, comment trouverons^ nous b?

Avant de répondre à cette question, récapitulons ce qui vient l'etrç dit. : .

L'égalité a -{- 6 = c r^nit les 4^ux opi^r^tipps connuea «pua

376 AOTBE iCANlèRE d'EUVISAGER

le nom d'addition et de soustraction; la seconde de ces deox opérations pouvant d'ailleurs donner lieu aux nombrts négaiifi.

L'égalité ab = c réunit la multiplication et la dù^isitm} d'où nait ridée A*une fraction ou d'un nombre Jractionnain.

Remarquons en outre que dans chacune de ces deux ^alités a + bz:=c^ab=sc, le nombre a, ouïe nombre b, s'obtientpai le moyen de la même opération effectuée sur les deux qoantità connues (ce que Ton exprime en disant que a et 6 entrent d'une manière semblable ou symétrique dans ces égalità).

De mèmCi l'^alité 4i^=zc^ réunit la formation des puis' sances et T extraction des racines ; d'où naissent les ntmbm incommensurables.

Mais il y a cette différence entre cette ^alité et les deux précédentes, que , pour trouver a> une extraction de ncioe sttfit ; tandis que, pour trouver b , il faut une opération toute iMrticuUère , qui sera en quelque sorte une septième opération de l'Anthmétique.

Or, si l'on a{^lique à l'égalité 4^ z^c

lapropriété du numéro SS6, il vient. . . b. loga = logq

d'où l'on déduit bz=}2ll.

logfl'

c'est-à-dire que la valeur de b s'obtient par le moyen des logarithmes.

S77. Faisons quelques applications.

Supposons, dans réalité a^=:zc,a =3 et = 81; elle devient 3» ac 81 ; d'où b = î^i^.

Or, log 81 = 1 ,90849; log 3= 0^7712;

, i.go84q r , I Donc ^ = -^-^î^=4-|.- .

^^%^^^^ la fraction -7;-- — , qui est très petite et qui pro-

vi^rnt ici de ce que les logarithmes ne sont jamais exacts, on

trouve ^ = 4> ^ culeflfet, on a 3^= 81.