FIN

NOTIE

Sur les approximations numériques.

Qette note est divisée en deux parties : dans ta première , on suppose que les nombres snr lesquels on a des opérations arittimëtianes à cxëcaier itoient donnas exactement, et Ton expose des méthodes plus expe'ditives que celles qui ont ëte présentas dans le corps de Tonvrage , ponir obtenir If» résultats des ope'ratîohs avec an degré d'approximation déterminé.

Dans la seconde partie , on opère sur des nombres qui ne sont doives eux-mêmes qn'approxîmativement ; et Ton se propose d'assigner le degré d'approximation que la nature des nombres donn^ et le système d'opérations pzéciuées sur ces nombres , sont susceptibles de fournir pour les résultats.

PREMIÈRE PARXp:.

,Qn est souvent conduit , dans les questions d^ Arithmétique (voyez la fia du 4^ chapitre] à effectuer des opérations dans lesquelles figure un assez grand nombre de chiffres décimaux , bien qu'il suffise pour l'objet qu'on se propose, d^obtenir le résultat avec un nombre de décimales beaucoup moindre que n'en comportent les nombres sur lesquels on opère. Il est donc utile de faire connaître des méthodes à l'aide desquelles on puisse , sans être obligé d'çxécuter les opérations en entier ,> obtenir les seuls chiffres déciman:| dpnt on a besoin.

Méthode abrégée pour la Multiplication*

I. Commençons par la multiplication, et prenons les deux nombres 349^53467 et 5,7637, en supposant qu'o/i veuille en obtenir le produit à 0,001 près.

L'artifice à employer consiste à ne tenir compte , dans les multiplications par les diffcrens chiffres du multiplicateur , que des millièmes, ou des unités d'ordres supérieurs, c'est-h-dire des centièmes, dixièmes, unités sim" pies , etc. Cependant, comme il suffit de 10 dix-millièmes pour faire i millième , il est encore nécessaire d'avoir égard aux dix-millièmes que peovent donner les produits partiels. )

D'après ces premières observations, voici commeut on doit opérer :

I 7 I 2 6 7 3 diX'-millièmes,

38o NOT£

On commence par écrite le chiffre àts nnités da mnltiplicateiir um le chiffre des millième» da malûplicaDde^ et Ton dispose les antres chifrak la snile y en renTersant Tordre ; de sorte que le chiffre des tUxièmes da ma tîpHcatenr est nécessairement place' sous le chiffre des millièmes dn miltiplicandc , le chiffre des centièmes sons le chiffîre des centièmêes , et aion^ soite. Quant aux chiffres des dixaines^ centaines, etc., du mnltipticateir, s'il en avait, ils seraient nécessairement plaça sons les chiffines des oeiil' millièmes, millionièmes , etc., dn moltiplicande. Ela nn mot, chaque d^ dn mnltiplicatear est, par cette disposition, placé aa<-deflsons da cbifiie do multiplicande, dont le produit par celui du multiplicateor , donne des ^miUièmes,

Cela posé , on mnltiplie d'^abord par le chiffre 5 da multiplicateur tons kt chiffres dn multiplicande, à partir du chiffre 4 qui correspond au diiffire 5, et en négligeant le produit de 67 par 5, à Texception des 3 nnitcsdcietenue que donne le produic de 6 par 5 , et qui expriment des dix-milliènusj puisque ce produit est 3o cent-millièmes. On obtient ainsi 1 7 12673 dixmillièmes , que Ton écrit au-dessous des deux facteurs, après avoir sonligoé ceux-ci.

Passant au chiffre 4 des dixaines du multiplicateur , on multiplie par ee chiffre tout le multiplicande, h partir du chiffre 3, et négligeant le produit de 4^ p*r 4 » ^ l'exception de Vunité de retenue que donne 4 foh 4> parce que celte unité exprime encore i dix-millième ; on obtient ùt» 1 3701 3 dix-millièmes f que Ton place au-dessous da premier produit, de manière que les derniers chifiEres se correspondent, comme escrimant tous deux des dix-mi/lièmes.

On opère de la même manière par rapport aux autres chiffres du molti' plicateur, ayant soin de commencer chaque multiplication partielle au chiffre da multiplicande qui est placé immédiatement au-dessus du ch^ multiplicateur que Pon considère , et ajoutant seulement au produùt la retenues fournies par le chiffre qui suit celui du multiplicande auquel commence la multiplication.

On obijenc ainsi les trois nouveaux produits 3o55i, 1037 9 ^^ ^^» T*' Ton place au-dessous des précédens , de manière que les derniers chiffres i droite se correspondent.

On fait ensuite la somme de tous ces produits , et il vient i87i5o3, nombre dont il faut séparer par une virgule quatre chiffres décimaux , pni^ qu'il doit exprimer des dix-millièmes.

Enfin, on barre le dernier chiffre, et l'on trouve 187, i5o ponr le produit demandé, h 0,001 près.

Il est facile de vérifier ce résultat en effectuant la multiplication toBi entière.

jy. B. On pourrait croire, d'après ce procédé, que, comme on a leno compte de tuus les dix-millièmes que renferment les produits partiels, 1<: chiffre des dix-millièmes est lui-même exact j mais on se tromperait, car ïifi^