SUR US APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES

rdinairement trop faible de plnsiears noile's. Cela tient à ce que la somme des unités de la colonne des cent-millièmes peut donner plusieurs unités de retenue. Toutefois , on peut regarder Terreur comme ne devant pas nfluer sur le chiffre des millièmes] car pour que cela fût, il faudrait que

l'on eût an moins lo: -, ou ao produits partiels.

Un nouvel exemple achèvera dV'claircir le procédé. Soit proposé d'obtenir le produit des deux nombres 763,05403678956 et a54,463o578 à....* Oyooooi près,

152610807357 millionihnes,

38i527oi83g 3 o 52 2 I 6 I 46 3 o52 2 I 6 I 4 45783241 2289162 38i52

Pnisqne Ton veut que les cinq premiers chiffres décimaux soient exacts, il faut tenir compte des millionièmes que peuvent donner les produits partiels.

Ainsi, après avoir renversé l'ordre des chiffres du multiplicateur , on le place au-dessous du multiplicande , de manière que le cbiffîre 4 de ses unités soit sous les millionièmes du multiplicande ^ les autres chiffres se placent alors d'eux-mêmes dans Tordre prescrit précédemment; et Ton effectue les multiplications en ayant égard, pour chaque chiffre du multiplicateur, à la retenue que donne le produit de la partie négligée au multiplicande, par ce cbifire.

Faisant ensuite l'addition de tous les produits obtenus , séparant six chif- I)re8 décimaux, et barrant le dernier chiffre, on obtient 194169,06346 pour le produit , à 0,00001 près.

9. Il peut arriver que le multiplicande n'ait pas assez de chiffres décimaux pour qu'on puisse faire correspondre les chiffres des unités, dixaines , cen- 'taines, etc , dn multiplicateur , aux chiffres sous lesquels la règle prescrit de les placer. Dans ce cas, on commence par écrire h la droite dn multiplicande un nombre convenable de zéros.

Soitf par exemple, a multiplier 1825,4037 par i^i']^\'3&, et ^apposons qa'on demande un produit exact jusqu'aux c7ûc-7ni//iéi7te5 inclusivement.

I 8s 5^4 ^3 7 aoo<y

36S080740000 eeni^fntlUhfÈèi.

Conone il £eiui que le chifirc des tinilës âii ntultiplicaténr corresponde m chiffre des cenùmilUèmes du mdlti^llcaàde, ^de tek dixainest cefir taineSf etc., correspondent aox miliiotiiiniëé , dbc^milUonième» f ^'^ on pose quatre zëros à la droite do mallîplici|ilde ; et il vient i8a5|4o370000. Do reste, ropération s'effectue comme précvdemment.

Kons engageons les commençans t. s^exerceir sur les exemples de nslii* * plication traités n*> io3 et suivans.

3. Enfin , la méthode précédente est ajiplicâble à la multiplication de deoi nombres entiers , composés Pun et Padtre d'nn assez gran4 nombre déchiffres, et dont on demanderait le produit ^ à une ttnité ptès d^bf|oeruin ordre.

Soient , par exemple , les deux nombres 379456 et 89764 > *^^^^ ^^ ''^^ npair le produit à ijjx mtuon près,

223564 centaines de rHille.

Pour avoir un produit exact jusqu'aux m/Z/tonj; înclnsiveinent , il estoé' cessaire do tenir compie.des centaines de m/Z/e que peuvent donner les prodoits partiels. Ainsi, Ton écrira d'abord le multiplicateur remmené, au-dessous du multiplicande , de manière que le chlffiré de ses unités soit placé sous le chiffre des centaines de mille, le chifiVë de ses dlxaines sous le chiffre des d/xai/ies de mille; et l'on effectuera l'opératiotk cothme pcécëdemment. On obtiendra par ce moyen a5o84 , ou plutôt a5o85 millions poail t prodoit d«ni«ndé, { F^oycit 1« if. B. pUc4 à la fia du n* los. )^

SUR LES APPROXlflltrbNS NUMÉRIQUES. 983

Méthode abrégée poiàr ià ditdsiok.

[I existe aussi , potir là âhrisioii Ûe dènà âbinbreft ooft^oids (S*hk gfaM ire dé chiffres, tin moyen pfns sîltipfe qm U ptacéàé àr&nnîtef A^ble qnotléùc âVeè un eUttiSà degr^ d'âppttHiniatîoiï. ns cùnÈidéteiirtiid^khotd le cftè dh le ^^idfëiicfê et lè cft^iAetir ^tant iëixk très entiers, on voudrait obtenir le quotient à moins d'uHé uHîiéprèè $èa • it ; Û tfera i^cilé enfsuite dî'eti déduire te cfis de âêtOL (iuciîol^ éici^ldes. métbadé ^dè notis alloito èxpoier est fondée sur ce qtie , d^âprès le de' ordinaire de la (tiyisioiiy la dëierminAtiôh de cbacuà des chlfifi^és lotient ne dépetâ le pfns sonVetft que âti deux ôd ftôfs pîetdîerÈ cHli- [u dividende, et du premier ou des deux préébièrs cbîtfre#da diV!â'oti U tëètAié qi^oti peut 6tt(!lii^ lès Vëfilàbfès chifires dû <ftthéent ôinployèt teè dernière cbitfré^ de diaç(ae dividende partiel. Cela ^sé, ed qù6i consiiEfté lè procéda iihiéf^è : ;

pprimez sur la droite dU ditHdtetide autant de éHiffrèà ûoiàà oÉvxy T Êi^ A Hjlvs tt DiTiHEumj J&i^^i ensuiie là dii>isiofi dé là partie à he,par te diviseur, comme à ^ordinaire, S^il À'j à t>oînt de ré^sCe, '.i à ià suite dii quQtieht autant de zéros que vdiis apéz supprime lifrèi dans te dividende. Mais' é*il y a mi reste , ainsi que cela arrive alement, diuisez ce reste, non pas par le même ^visèiir [te (^1 n'est possible ) j tnàîi par le diviseur dont i)ùùs aurez supprimé tè dèrtiier eh droite. Toutefois, datuT la muliipl^catîo'n Axi ttoutetfù diviseur jifAr ffiré obtenu àh qtiotîènt , ii^ez soin d'ajotiter là retenue gué dohnie te dt da chrfrè supprimé, par te chiffre du ifûotient. Divisez enàûite uveau reste par le diviseur préèédent, dont itoUs aiirèz èriàoràsup^ i le dentier chiffre h droite, ( Même obsenratîoù qne ront-l-rbéi^^ la multiplication du ifftoyean diviseur par f« chiffiré du quotient jf. e/htéz ainsi de diviser, eh supprlhiant, h chaque divisidn, un éhtffre a droite du diviseur ; et arrêtez P opération quand il ne reste plus viseur qu'un chiffre Hàn barré. Barrant Û6ts\t dernier chiffre obtenu lotient, vous oétehèM poUr le quotient deinandé, la partie à gauche iiffre barré,

ar nous rendre compte de ce proce'de' , nons alkma prendre un exemple simple , et le traiter d'abord par le pro<À;dë ordinaire , ensuite d'après qui vient d*étre énoncé.

it à diviser 430456896 par 5683.

43o4566lg6

3B4 iwn

LftdiviikmàgiiielM «t&il» d*apcè«la'piOQWoidiBaire» etUeitîntae di t^ «n4l«r s ooGBpooi-iioiw cpokmeiit de k MQonde*

GottfoNMfaMttt à la t^ ff on lépare dieux ehiffwt rar la drçitt dadmd«id« 9 p«iiqa^ J en a qumire dans le dmaewr { et l'on dîriie .la yuàitï gtocbe , 4io4568 par 5683 eonune à Vofdînaîre» eo^ ^"f^ poor^iaéeit '^ ^ et pour zeete 9537.

Gela poe^» od topprioM le dernier chiffra 3 du dinsanr ^ et FondniieiA par 568, ce qni donne 4 ponr quoUenu On mnltipHe 568 pap' 4 «LMoalPt an produit Vunité de retenœ ^ae foomit le prodnit la da clnfio MVP''^ par 4 9 et l'on retranche le rëniltat 2273 de cette BinltiplîciatioB, dt ^li^\ U. Tient podr reste a64.

Soppriinant le èhiffire 8 dans le dernier diTiaènr^ et dmaant 964 parSi^ on obâcnt 4 ponr Retient. Mnltipfiant 56 par 4f et ajoutant an pndakls 3 «nitës qui proTÎenneni de la multiplication dndbiffre supprima , patd on tronve 997, qui , teiranchë de 264 y donne ponr reatie ^7.

tHvisant enfin 3? par 5» on a ponr quotient 7 ^ ce chiJBBre est ûop fort^oi en mettant 7 , on serait conduit à retrancher & X 7-f- 4 f ^^ 39 de Sj. Oi ëcrit donc le chîfllw 6. Barrant alors ce dernier chiffSrè , on tronve, iiM ' wiUéprès , 75744 poor le quotient demande, (Noos parierons tooM^-Pheiii do chiffre barré. )

En comparant les denz opérations ci-dessosy on reconnaît qne les deB on trois premiers chiffres sont les mêmes dans chaqoe dmaion partîe&itf par conséquent, que les chiffires du quotient dotrent ébe les mènes ihn Tune et Tautre; mais il faut avoir bien soin de reporter les unités de retcoM provenant de la mnltiplication du chiffre supprimé, par le quotient obtenaj autrement , on parviendrait à des restes trop forts, qui donnerateat ai quotient des chiffres plus grands qne les véritables.

Soit y pour second exemple, à divùer^ 540347056789045 par vflUfi^

5403470567I89046 v^XH^ii

«9^»8tt97*

:26i7oii5

25oo5

Après avoir séparé cinq chiffres sur la^idroiie da ditidende ( c^eit-A'dit