SUR LES APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES

droite; et j'obtiens enfin 4^9 1^^ ponr le quotient demande. Ce résultat est en excès , mais ne difiïèrc du véritable que de moins d'un tUmi-miflièf^e»

Second exemple. — On veut auoir, à moins de Q,00QI prè$^ le quq^i^t de aag, 47o3568 dipisé par 7 , 35g4 ? ,

3ii|8o5jS'

Gomme il faudrait, en vertu de ce qui a été dit plus haut, e'crirc d'abord trois zéros h la droite du diviseur, puis quatre à la droite du dividende, tout se réduit à eii poser un seul h la droite de celui-ci , en suf^^mant la virgule de part et d'autre, c'est-à-dire à diviser 22947035660 par 73594*

On trouve ainsi pour premier résultat, 3 1 1806. Donc 3 1,1806 est le quotient demandé.

Méthode abrégée pour V extraction de la racine carrée.

8. Toutes les fois qu'on a obtenu plus de la moitié du nombre des chiffres que doit renfermer une racine carrée, on peut, au moyen d'une simple division , trouver tous les antres chiffres.

Désignons en effet par N le nombre dont on demande la racine carrée | et supposons que cette racine doive renfermer (in + i) chi£Prc8. Appelons a la valeur relative de la partie représentée par les (ji'hi) premiers chiffres à gauche de cette racine, et b la partie exprimée par les n chiffres suivans, partie qu'il s'agit de déterminer.

On a l'égalité Tf == (a -h &}• = a> -f- aad + &* 9

d'oii , retranchant a^ des deux membres^ N — a* = ^ah + b* ,

ou , divisant par sa,

3a aa

Cela posé, puisque, par bypothèse, b ne renferme que n chiffres , on a nécessairement b < lo», et par conséquent b^ ^lo*».

D'un antre c6té, le nombre exprimé par a se composant de (a/i 4* l) chiffres dont les n derniers à droite aont des zéros, il en résulte

a, et à plus forte raison, 2a ^ 10*".

b^ Donc — est nue fraction proprement dite ^ ainsi, d'après la dernière éga*-

lite ci-dessus , le quotient exprimé par ^ est en excès vat bf d'une qpan*

lit^ moindre qae l'anité. Qa est aiiMt coodaic ^ la règle swYante :

Après ayoir obtenu plas de la moiiië da nombre des chiffres de la raciiie carrée , iJ suffit , pour obtenir les autres chiffres , de d'wiser le restée ^d> auquel on est parvenu , par le double de la racine déjà troupée ^ considérée avec sa valeur relative.

Soit , pour premier exemple , à extraire la racine carrife de 4735678g56 a moins d'une unité près ?

Cherchons d^abord les trois premiers chiffres d'après le procède' ordinaire. ( Ployez le n® 179.)

ia.8

Il vient pour cette première partie de la racine, 688, et pour reste, 3138966 qu'il faut maintenant, en vertu de la règle ci -dessus, diviser par le double de 688 considéré avec sa valeur relative, c'est-à-dire par 137600.

La partie entière du quotient étant 16 , on en conclut que 68816 est la racine demandée , à moins d'une unité près,

£n effet, si Ton élève 68816 au carré, on obtient le produit 473564iS56, qui , retranché da nombre proposé , donne un reste , 87100, moindre que le double de 68816 augmenté d'une unité, (ployez n*> 177.)

[Comme ce reste est même plus petit que la racine obtenue, 68816, oo peut affirmer qu'elle est exacte à moins d'une demi-unité près,.

Car &i l'on fait, dans la formule {a -h hy = a» H- ^ab '^h*,b = -, il vi*»^

ce qni démontre que , pour qu'il y ait lieu à augmenter la racine d'ooe demi-unité , il faut et il suffit que le reste surpasse la racine déjà trouvée d'au moins une unité. ]

Le reste 87100 peut être obtenu plus promptcment que par l'élévation ^ 68816 au carré. En effet, comme, en retranchant le carré de 688 du nombf proposé, on a obtenu le reste 3288956, il suffit àe faire le double produit 9d 688 suivi de deux zéros, par 16, puis le carré de 16, et de retra^ cher la somme de ces deux parties , de 2288956.

9. Supposons actQcUem.e^t qu'on veuille évaluer en décimales la (^^'

SDR LES APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. SSo

tîon qui doit être ajoatee à 68816 j il faut, confornwfment à ce qui a été dit no i83, écrire à la suite da reste Syioo, deux fois autant de zéros que l'on reut avoir de chiflFres décimaux, et continuer l'opération comme à Tordinaire. Mais ^'est ici que la méthode abrégée peut recevoir une grande «xtension.

En effet, pour obtenir quatre chiffres décimaux (puisque la racine obtenue a déjà cinq chiffres), il suffit de diviser 37100 suivi de huit zéros par Je double de 68816, ou iSyeSa suivi de quatre zéros, ou ce qui revient an même, 871000000 par 137632} et comme on cherche ce quotient à une unité près, la règle delà division abrégée est même applicable.

On obtient ainsi pour quotient 2695. Ainsi, 68816,3695 exprime la racnne carrée du nombre proposé, à moins de 0,0001 près.

Une nouvelle division donnerait huit chiffres décimaux de plus j mais il faudrait d'abord obtenir la différence qui existe entre le nombre proposa, suivi de huit zéros, et le carré de 688163695. Or, comme on a déjà trouvé 37100 pour le reste précédent^ il suffirait de faire le double produit da 688160000 par 3695, puis le carré de 3695 , et de retrancher la somme de ces deux parties , deS'jioo suiui de huit zéros; ce qui serait beaucoup pins simple que si l'on élevait 688163595 au carré.

Cette soustraction est d^ailleurs indispensable pour la vérification des

calculs : car on a vu précédemment 1^. que ■ donne un quotient par

excès ; 30. que l'emploi du procédé abrégé de la division donne aussi un quotient par excès. Ainsi , pour cette double raison , il est possible que le dernier chiffre trouvé à la racine soit trop fort d'une ou de deux unités ; ce qu'on reconnaît à l'impossibilité de faire la soustraction. On sait d'ail-* leurs comment, le dernier chiffre étant reconnu trop fort, on peut le rame* ner à sa juste valeur.

10. ISons présenterons pour second exemple^ le tableau des calculs relatifs à V évaluation de v^3 en décimales^

1* application du procédé ordinaire.

HOTE OéternUnation des deux ehifres suiponspar ta dwiston*

ii()oo

La racine » à moins de OyOooi près , est i)4'4^ 30 Détermination du nouveau reste.

Produit de 28200 par 42 = 1 184400

carré de 4^ ±= 1 764

somme =: 1 186164

à retrancher de 1 190000

différence. . . = 3836

4^...... Détermination des quâtrb ehifres suiudns par la division

abrégée.

oool ^zX ^ 10076 I i356jr

La racine, à moins de o, 0000000 1 piès, est Iy4i4^i356. 5* Détermination du nouveau reste.

Produit de 282840000 par i356 = 38353 io4obo6

carré de i356 = 1838736

somme =383532878736

à retrancher de 3836oooooooo

différence... = 67 121 264

<>• Détermination th's huit chiffres suivans parla division abrégée, (On a •u[»primc sept icros au dividende, comme inutiles, )

SUR LES APPROXIMATIONS IfUMiSRIQUES» 3g f

671212640 I zXzX^ iz