DEUXIÈME PARTIE

la. Jusqu'ici, nous avons supposé que les nombres donnés étaient exacts, et qne le résultat cherché devait être obtenu avec un degré d'approximation déterminé d^avance^ condition qu'il est toujours poisiblc de remplir. Actuellemeot, nous allons supposer qne les nombref donnés ne soient eux-mêmes qu'approximatifs; et dans cette hypothèie, il s'agit de déterminer à priori le maximum du degré d'approximalioo qu'on peut obtenir pour le résultat des opérations h effectuer.

La résolution de cette question, telle que nous venons de la poser, est indispensable dans beaucoup de cas, par exemple lorsqu'on a h opérer iv des logarithmes, ces sortes de nombres n'étant exacts, comme nom

SUR LES ÂPPROXIMÂ^OirS NUlliÊRIQUES. SgS

{'•▼oas ekplîqné dans lenr théorie , que {nsqa'à na certain ordre de àé» eimales dëtcrminé.

Commençons par Y addition et la soustraction^

Poar fixer les idées , supposons que, dans une opération analogue à celle de la page 36t , 2™^ exemple, on ait été conduit h ajouter entre eux a5 logarithmes ou complémens ,de logarithmes (n* a68 ) , et que le résultat de cette opération ait donné 6,94^68, logarithme auquel il s*agit maintenant de chercher le nombre correspondant.

Or, chacun des a5 logarithmes ajoniés, étant ou pouvant être en er« renr d'une quantité qai est susceptible de s'élever jusqn'à une demi" unité du dernier ordre, il s'ensuit qu'on peut avoir & craindre sur la somme totale, une erreur susceptible de s'élever jusqu'à 12 on i3 uni* tés du dernier ordre. Ainsi , non-seulement on ne doit avoir aucun égard à la différence qui existe entre le logarithme ci'dcssus et le logarithme immédiatement inférienr de la table (et cette conséquence aurait encore lien quand bien même la différence tabulaire serait plus grande que 10 » voyez le iV. B. du n* a66, page 358); mais en outre, comme on n'a ancnn moyen de décider quel est le véritable chifire des unités dn 4"** ordre du nombre cherché, on doit se contenter de dire que ce nombre est 8760000 à une dixaine de mille près.

L'exemple précédent suffit pour montrer ce qu'il y aurait à faire dans tout les cas semblables; et nous n'insisterons pas davantage sur ce point«

i3. Avant de passer aux autres opérations de l'arithmétique, noua ferons connaître sur la multiplication un nouveau principe dont nous aurons occasion de faire usage.

Soient^ en général, deux nombres entiers a et b composa Pnn de m chiffres, Fautre de n chiffres; appelons P leur produit, et proposons!nous de déterminer le nombre des chiffres de ce produit.

D'abord, puisqu'on a a < io« mais > ïo«-»

et 3 < 10» mais > 10»-», il en résulte { n» na) P, on ab < lo""*-» mais > io*-*-»->;

ce qui fait voir déjà que le nombre des chiffres dn produit P est an ^08 égal à m -H /Zy et au moins égal à m -f*n — i.

Il s'agît maintenant de savoir dans quel cas on aura m -f« n chifires, et dans quel cas on en aura m-f«/i.— i.

Pour y parvenir, considérons P comme un dividende , et a comme un diviseur; le nombre b qui, par hypothèse, renferme n chifiFircs, sera le quotient. Or, dans la division de P par a , il peut arriver deux cas : on les m premiers chiffres à gauche du produit P forment un nombre au moins égal à. a; on bien, ils forment un nombre plus petit que a.

Dans le premier, cas, comme le jpremier dividende partiel contient m

3g4 i^oTE

ebifirety et qne chaque nouveau chiffre abaissé aa diTidende, doit dotner un nouveau chiffre du quotient qui est composé de n chiffirti|il faut nécessairement qae le nombre des chiffres du dividende P sût »• -fi n — I.

Dans Je second , il sera m ^ i •h n^^if oam-f-n.

Remarquons d'ailleurs que ce qui vient d'être dit sur a y coondéié eomme diviseur, aurait également lien si Ton prenait b pour divisenr.

Concluons de là que, dans toute multiplication de deaz facteun,Pii de m chifiVcs, l'autre de n chiffres , le nombre total des chiffres du px>dait ejf m + n — i ,ou m + n, suivant que l'un quelconque desfaetam est ou n^est pas contenu dans la partie à gauche du produit, prise avee ai* tant de chiffres qu'il jr en a dans le facteur que l'on compare au prodùt»

i4* Cela posé , passons h la multiplication j et pour simplifier la question, considérons d'abord le cas oîi l'on aurait à multiplier l'un parrantie deux nombres exprimant des unités entières : il sera facile ensuite d*m déduire le cas de deux fractions décimales, puisque leur multiplication se ramène à celle de deux nombres entiers par une simple transposiiion de la virgule.

Prenons, pour plus de généralité, deux nombres entiers composa, l'un de m chiffres, l'antre de n chiffres (m étant > n], et tous les deox fautifs d'une demi-unité du premier ordre {en plus ou en moins) {*). Il est clair ,. d'après les règles ordinaires de la multiplication (**)f que le produit total peut être en erreur :

10. De la moitié de tout le multiplicande, et celte erreur est gônéralement exprimée par un nombre m de chiffres j -— a**, de la moitié de toat le multiplicateur, et cette erreur est représentée par an nombre n de

chiffres; — 3o. du produit - x —, ou j. (Les deux dernières erreurs peuvent être négligées relativement h la première, d'après Phjpo thèse m<Cn') D''oii l'on pent conclure que les m derniers chiffres h droite du produit sont ou peuvent être fautifs.

(*) Pour déterminer les chiffres du produit sur lesquels il ne peut j avoir d'incertitude , on pourrait multiplier les nombres proposés^ après les avoir successivement augmentés et diminués tVune demi-unité de l'ordre du dernier chiffre à droite, et prendre ensuite les chifres communs aux deux résultats. Mais cette manière d'opérer serait beaa' courp trop longue, et l'on arrive aussi sûrement au même but par une méthode plus simple que noas allons exposer.

(**) En appelant a et b les deux nombres donnés, =t: c, it^les dew erreurs commises; on a (no iia)

(a zte){b:tf)=zab:*i afdz he d: cf.

SUR LES APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. SgS

Ainsi j (2ii^5 toute multiplication de deux nombres entiers dont le fMemier chiffre h droite est en erreur d'une demi-unité f le produit t^eut avoir autant de chiffres fautif s a droite ^ que le nombre le plut ^rana contient de chiffres.

lo*"

L'errear commise esc moindre qac — si Ton a m }> n ; mais la li- É^îte dé ceite erreur est lo*» qnand on a m =± n.

t5. Loirsqiiè, des deux factears donnai, Tan est exact et l'autre est Aliiitif d*uné demirunité dn premier ordre, le nombre dès chiffres fau" Wtfi As produit est égal au nombre des chiffres du facteur exact; ptiisqae Vétreor conimise est, en gënëral, estimée par la nloitié de ce facteur.

i6. Faisons quelques applications, et soient, pour premier exemple, les deux nombres 87564^19 et 64^17.

JLi^erreur commise dans cette multiplication peut être ëyalne'e de la manière soivante :

' = 3ai63 i > =

nombre composé de huit chiffres. Ainsi, dans le produit total, les chiffres qui suivent les centaines de millions doivent être négligés comme étant généralement fautifs ; et la partie & gauche exprime alors le produit , à moins d'une demi^eentaîne de millions près.

On doit dpnc, dans cet exemple, se dispenser de faire la multiplicadoyi en entier , et se botner à évaluer (note n^ 3} le ptbdnit à une unît^ près de Tordre des centaines de millions.

Iê9 résultat 563a7 considéré comme représentant des millions , exprime la

3g6 NOTE

▼alear da prodoît cherche , à moins d'âne demirtcnUime dejmUUiuu prit f aînti qa*on peoc s'en assurer en effeccaant la mnldplvcatîon en oukr.

Soit, pour second exemple^ à mnJciplier Ziy^'^65163 ytx 8,7o3j5, cb* cnn de ces nombres étant fantif de moins d^une demû-unité de FonlR do dernier diiffice décimal.

On devrait d^abord (0*^89) faire abstraction de la Tirgole, pois, apiib avoir e£Eectué la mohiplication, séparer onze chiffres dédmanx tenk droite. Mais, en Tertn de ce qni a été dit, note n* 14, oa doit covdcrer comme fautifs les huit derniers chiffres da produit; ainsi, kiénilat ne sanrait éire exact qn'i moins de un demi-mUlièime pris. La qnoiin est donc ramenée à éralner le produit des deux fractioiis déciiaalq ii ■ millième près.

aSg 7644 22 7293

Le produit est 282,606 h un demi-millième près. Soit, pour troisième exemple, à multiplier

o, 0001083 par o,o5836.

D'abord, le produit doit (n® 89) renfermer 7 -4- 5, ou i a chiffres décimanJ» mais comme, en vertu du numéro précédent , les quatre derniers chino décimaux sont inexacts, il s'ensuit que ce produit pourra être cikok avec huit chiffres décimaux; et le dernier chiffre à droite ne sera m erreur que d*une demi-unité, ou tout au plus que d'une unité de ToiuK de ce chiffre.

On obtient ainsi par la méthode abrégée (note n« i) o, 00000679 po^ la valeur du produit demandé.

17. Remarque, Le principe établi (note n» i3) sur le nombre tôt» des chiffres d'un produit, donne lieu à un nouvel énoncé de la W relative à la multiplication de deux nombres approximatifs.

Puisque, dans un produit de deux facteurs, l'un de m chiffieS)!"' tre de n chiffres, le nombre total des chiffres est m + 1 — > » o<i ''^'^'' et que, dans Thypothèse où le dernier chiffre de chaque facteor nf" qu'approximatif, le nombre des chiffres du produit qui doivent étie cl' dus, comme étant généralement fautifs, est (notent i4) exprimée pV*

sua LES APPROXIMATIONS NUlliRIQUES. 897

«tant an moins ^gal an), il s'ensnit nécecsai rement qne le nombre t chiffres du produit sur lesquels on peut compter , est (n -~ 1} ou n vont que l'un quelconque des facteurs est ou n'est pas contenu ns la partie à gauche du produit ^ prise auec autant de chiffres *il f en a dans le facteur que l'on compare au produit. Lorsque, des deux facteurs donnes, celui de m chiffres est exact, et e Tautre est fautif d*une demi-unité de Tordre du dernier chiffre h oitey/e nombre des chiffres du produit sur lesquels on peut comp^ " est encore U-— i ou n, puisque celui des chiffres fautif s est (note,

i5} représenté par m.

^e nouvel énoncé ne peut, en général, servir à priori pour la mnltiplica • n; car, avant de prononcer si le nombre des chiffres dont on doit tenir Qptc dans le produit, est (n — i)oun, il faut connaître les premiers £fres k gauche de ce produit. Mais on conçoit qu^il nous sera d'un s grand secours dans la division où le produit est donné à priori si qne l'un des facteurs.

: 8. Dans la diuision des nombres approximatifs , on peut faire trois pothèses : Ou le dividende seul est approximatif, le diviseur étant 3»ct ; ou le diviseur seul est approximatifs le dividende étant exact | bien enfin, le dividende et le diviseur sont tous les deux approxi" Mtifs»

PasMiiaE HYPOTHÈSE. — Considérons d'abord denx nombres entiers nt le premier seul soit supposé en erreur d'une demi^unité de l'ordre des

ités simples j et concevons que le quotient de leur division ait été déloppé en nn nombre indéfini de chiffres décimaux, d'après le procédé una.

appelons m le nombre des chiffres du diviseur, n le nombre des iffres du quotient (à partir du premier chiffre significatif h gauche) r l'exactitude desquels on peut compter, en raison de l'erreur qui se ouve an dividende, et p le nombre total des chiffres du dividende qui ^t été employés & la détermination des n chiffres du quotient. Ce nombre

peut être décomposé en deux parties p', p**, dont la première est le ^nibre des chifi^res du dividende primitif, et la seconde, celui des zéros i^^on a été obligé d'écrire à la droite de ce dividende primitif) en sorte ne Ton a

Cela posé , si , du dividende dont le nombre des chiffres est p , l'on •tranche le reste correspondant au /!'"■« chiffre du quotient (lequel reste ^peut avoir qne m chiffres an plus), la différence, composée également ^ p chiffres, est égale an produit des m chiffres du diviseur, par les n ^î^res da quotient; et l'on a, en vertn du principe établi , noie n* iS,

pî-f-p*5Si» + /» — I, ou p^ + p'^nf^^n^

3g8 iTOTE

soÎTamt que les ut diiffret dn diTÎseor sont on ne tout pis contemi diBi les m premiers chiffres il ganche da dÎTidende.

Or, poisque le dÎTÎsearest suppose' un facteur exact, il s^enait (n' iS) que le Dombre total des chiffres fantifs da produit dn dinsear pv k quotient, est exprime' par m. D^aiUenrs, il estanssi représenté par f'^i, puisque, par bypotbte , le dernier chiffre du di^ende primidf tA inexact, et que ks chiffres suivans, en nombre j/', sont eni-méaB inexactt^ On a donc m = f/' + i ; ce qui donne par la subsiitodoi et cette valeur de m dans les deux relations préeëdenies ,

bien

p^ ^= 1+11 — 1=11, d'où n:=f/, ^=1 + n, d'où nssp' — 1.

Çonclaons de là que le nombre des chiffres du ùuotient sur Uifà on peut compter j est égal au nombre des chiffres du dit^idendefror posé, ou a ce nombre hoirs un, suivant que le diviseur est odi'flt pas contenu dans les m premiers chiffres du dividende (h partir do pn* mier chiffre significatif à gauche).