CHAPITRE PHEMIËR

Opérations sur les nombres entiers.

DE L'ADBinOlf.

10, Ajouter ou additionner plusieurs nonUrre^ efi$rjp fl^lV c'e4t réunir tous ces nombres en un seul; ou bien» c'e^t fermer un nombre gui contienne à lui seul autant f unités qu'il f* en a dans ces divers nombres considérés séparément, ]Le résultat de cette opération s'appelle somme ou tat^L 'Uaddition des nombres d'un seul cbiffre n'offre aucui|« difficulté; les jeunes gens , dès Tâge le plus tendre, apprennent I iairs e^s additions au moyen de leurs doigts , et finissant par t'en graver les résultats dans la mémoire.

Ainsi, soit à ajouter les nombres 5, 7, 4» 8 et 6| On dit : 5 et 7 font la i*)^ et 4 font 16, et 8 fout 24, et 6 font 3o ; donc 3o est la somme demandée*

On trouverait de même , que 4^ est 1^ somme des nombres

Soient maintenant les nombres ^^SZ et i534 9^^^ se pre^ pose d additionner.

Après avoir écrit les deux nombres comme on le 74^

voit ici, et avoir souligné le tout, 6n dit, en com- i534

mençant par les unités simples : 3 et 4 font 7 qu'on 8987 place sous les unités. ^

»■ " ■ ...■■ -«Il . i I i,ii.,ii II • I ■ I ■■■ ■

(*) L^emplbi des doigts pour panrfnir à ce nombre 19^ énppose des iiddltioiiB soeccssives d*ant nniié. Ainsi l'on dit 5 et i font 6 et t f<»t 7 «I i font )(.,., ainsi de saite jusqu'à ce qu'on ait ajoaté à 5 toutes les uniti^s du nombre 7.

En général, U est difficile d'etablîr |;»ar quelles opeirâtions de Te^prit oU dft' lleat les rësoltaté de ces additions élààentâirieè; et Toti fient flirei jnéqtt^à eu eertaîa poMC,qtieehaeliii ainiê fMaiWplat oa itidss liinple d'y parmnif.

^ DE L'AimiTIOir.

Passant aux dixaines , 5 et 3 font 8, qu'on écrit au rang des dixaines.

Puis 4 et 5 font 9 y qu'on écrit au-dessous des centaines.

Enfin , 7 et I fout 8, qu'on écrit au rang des mille.

Le nombre 8987, trouvé par cette opération, est la somme des deux nombres proposés , puisqu'il en renferme les unités, dixaines , centaines , et mille , que Ton a rassemblés successivement. ^

Soit^ encore proposé d ajouter les quatre nombres 5o47 » 859, 3507, 846.

On les écrit comme ci-contre , et l'on dit , en com- 5o47 mençant par les unités : 7 et 9 font 16, et 7 font 23 , et 869 6 font 29 ; on place les 9 unités simples sous la pre— 35o7 mière colonne, et l'on retient les deux dixaines pour les 846 joindre aux cLiffres de la colonne suivante, qui ex- 10269 priment aussi des dixaines.

Passant à cette colonne, on dit : 2 de retenue et 4 font 6, et 5 font 1 1 , et o font 1 1 , et 4 font 1 5 ; on écrit 5 au rang des dixaines, et Ton retient i centaine qu'on reporte à la colonne des centaines.

Opérant sur cette colonne comme sur les précédentes , on trouve 22 centaines , ou 2 centaines , qu'on écrit sous les centaines , et 2 mille qu'on retient pour les reporter à la colonne des mille.

£nfin, 2 de retenue et 5 font 7^ et 3 font 10 ; on place le chiffre o sous les mille, et le cbiffre 1 sous les dixaines de mille ; ce qui donne 10269 pour la somme demandée.

- Règle geicébale. — Pour ajouter plusieurs nombres entre eux, commencez par écrire les nombres les uns au-dessous des au^ ires, de manière que les unités d'un même ordre soient sur une même colonne verticale , et soulignez le tout, jé joutez ensuite successivement les chiffres qui composent chacune des colonnes, en commenqaritparla colonne des unités simples et passant suo^ cessivement aux colonnes qui sont à gauche j écrivez au^essous de la barre la somme des chiffres de chaque colonne^ si cette •êomme est exprimée par un seul chi/Jfre; mais si elle surpasse 9

DE LA SODSTRACTIOir. 1^

(auquel cas elle est exprimée par plusieurs chiffres dontleder-» nier à droite représente des unités de cette colonne, et les autres à gauche des dixaines du même ordre), écrivez seulement le chiffre des unités au-dessous de la colonne . et retenez tes dixaines pour les ajouter aux chiffres de la colonne immédiat tentent à gauche. Aprhs avoir opéré de cette manière sur toutes les colonnes, vous aurez obtenu au-dessous de la barre la SOMME DEMANDÉE, puisquc cc résultat provient de la réunion des unités, dixaines, centaines, etc., qui entrent dans les nom^ bres proposés»

li. Remarque, -— Si la somme des chiffres contenus danf chaque colonne deyait être tout au plus égale à g, il serait indifférent de commencer l'opération par Taddition des unités simples , ou bien par celle des unités de la plus haute espèce. Mais comme il arrive le plus souvent que plusieurs de ces sommes surpassent 9 , si Ton commençait par la gauche , on serait souvent obligé de revenir sur ses pas, pour rectifier un chiffre qu'on aurait écrit , et l'augmenter d'autant d'unités que l'on aurait obtenu de dixaines d'unités de la colonne suivante , en opérant sur cette colonne. Voilà pourquoi il convient dans tous les cas , de commencer par la droite plutôt que par la gauche.

DE LA SOUSTBAGTION.

iS. La soustraction a pour but de chercher Vexces d!un nombre sur un plus petit. Cet excès s'appelle encore reste ou différence.

On peut aussi définir la soustraction une opération qui a pour but : Étant donnés la somme de deux nombres et tun deux , trouver Vautre nombre) et sous ce point de vue, la soustraction est l'inverse de l'addition.

Tant que les nombres proposés ne sont que d'un seul chiffre, la soustraction est facile. Ainsi , la différence de g à 6 est 3 ; ou bien , ôte^ 6 de g , il reste 3. De même : 5 de 7, il reste 2.

Il est encore aisé de soustraire un nombre d'un seul chiffre d'an autre, lorsque le reste ne doit aussi avoir qu'un seul

l8 DE 14 SOUSTRACTION.

cbi£Ere. Ainsi , àtez 7 de iS , il reste 6 , puiscpe 7 et 6 font i3 ; de même , 9 de 1 7, il reste 8, puisque 8 et g font 17.

Ces opérations, qui supposent seulement l'exercice de l^ mémoire sur l'addition des nombres d*un seul chiffre , vonl seryir de base à la soustraction des nombres de plusieurs chiffres.

Soit premièremcni à soustraire 5467 de 878g.

▲près aToir placé le plus petit nombre au-dessoss 8789 dn pUii gr^jEid «t souligné le tout , on dit, en eom- y4^ mençanl par les unités simples : 7 de 9 , il reste a , 332^ mà%n plM'e sous la colonne des unités ; passant aux i(ixaines, 6 de 8, il reste 2, que Ton écrit au rang des dixàines; opérant de même sur les centaines et sur les mille, 4 ^^ 7f ^ reste 3, et 5 de 8, il reste 3; ce qui donne enfin 333^apour le re^te demandé,

. £n effet , p^r la nature même des opérations qui Tiennent d'être faites , on yoit que le plus grand nombre contient de plus que le second, 2 unités simples, plus 2 dixaines, plus 3 centaines , plus 3 unités de mille , et , par conséquent^ surpasse le plus petit nombre de 3322.

Proposons-nous , pour second exemple , de trouver la diffé-' rence qui existe entre les deux nombres 83456 et 28784.

Ayan t disposé les deux nombres comme dans Texera- 83456 pie précédent, on dit d'abord : 4 de 6, il reste 2, qu'on 28784 écrit sous les unités. 54672

Mais lorsqu'on passe à la colonne des dixaines, il se présente une difficulté : le chiffre 8 de la ligne inférieure est plus fort que le chiffre 5 d^ la ligne supérieure et ne peut par conséquent en être soustrait. Pour lever cette difficulté , on emprunte par la pensée , sur le chiffre des centaines du nombre supérieur , I centaine, qui vaut 10 dixaines, et on l'ajoute aux 5 dixaines que Ton a déjà, ce qui donne i5; puis on dit : 8 de i5^ U reste 7, qu'on écrit au rang des dixaines.

Passant à la colonne des centaines , on observe que le chilQre 4 de la ligne supérieure doit être diminué de i , puisqu'on a

DE LA SOUSTBACTION. jg

emprunté cette unité dans la soustraction précédente ; alors ôû dit : 7 de 3, cela ne se petit ; mais en empruntant, comme tout à rheure, i mille, qui vaut lo centaines, ce qui donne i3 centaines , on ôte 7 de i3, et il reste 6 , que Ton écrit au |rang des centaines.

Passant aux mille : 8 de 2 , cela ne se peut; mais 8 de 12 , il reste 4 9 qu'on écrit au rang des mille.

Enfin, comme le chiffre 8 des dixaines de mille doit, à raison de ^empr^nt qu'on yient de faire , être remplacé par 7 , on dit: 2 de 7 , il reste 5.

Ainsi, le reste demandé, ou l'excès du plus grand nombrje sur le plus petit , est 5467 2 .

Poi^* bien comprendre comment , par ce moyen , on parvient au but que l'on s'est proposé , il suffit de remarquer que, d'à* près les artifices employés pour effectuer les soustractions pai>-> tielles, on peut disposer lés deux nombres de la manière suivante :

Dizaines de mille. Mille. Centaines. Dizaines. Unités.

i*' nombre... 7 12 i3 i5 6

2* nombre... 2 8 7 8 4

][)'où l'on voit que le nombre supérieur contient de plus que le nombre inférieur , 2 unités, 7 dixaines, 6 centaines, 4 niille, et 5 dixaines de mille, ou le surpasse de 54672 unités.

Soit, pour troisième exemple, à retrancher 1S8429 de 3oo4o5; 99 9

Comme 9 , chiffre des unités du nombre infé- 3oo4o5 rieur, est plus fort que 5, chiffre correspondant 168429 da nombre supérieur, on doit emprunter t dixaine 141076 sur le premier chiffre à gauche ; mais ce chiffre ^ \'

e'tant un o, il faut avoir recours au chiffre 4 des centaines, sur lequel on prend i, qui vaut 10 dixaines; et puisqu'on n'a besoin que d^une seule dixaine, on en laisse 9 au-dessus du o ; puis on djoute 1 dixaine à 5 , ce qui donne i5,^ et Von dit t 9 de ijSi il reste 6 , qu'on écrit sous les unités.

20 DE LA SOUSTBACTXOPr.

Passant aux dixaines , on dit : 2 de 9 , il reste 7.

Pour les centaines y comme le chiffre 4 de la ligue supérieure ne vaut plus que 3 ^ à raison de l'emprunt , et qu'on ne peut soustraire 4 ^^ ^ 9 on a recours au premier chiffre à gauche ; mais celui-ci et le chiffre qui est à sa gauche étant des zéros, on emprunte une unité sur le chiffre significatif 3 ; cette unité en vaut 10 de l'ordre suivant, 100 de l'ordre des mille ; et puisque l'on n'a besoin que d'une seule unité de cet ordre, on en laisse 99 qu'on reporte sur les deux zéros ; ajoutant i mille à 3 centaines, il vient i3 , et l'on dit : 4 de i3 , il reste 9 , qu'on place sous la colonne des centaines.

Dans les deux soustractions suivantes, chacun des zéros étant remplacé par un 9 , on dit : 8 de 9, il reste i ; et 5 de 9 , il reste 4*

Passant à la première colonne à gauche , on dit : i de 2 (car le chiffre 3 est diminué de i) , il reste i ; ainsi , l'on a pour le reste demandé, 1 41976.

En effet , si l'on refléchit sur la manière dont le nombre su* périeur a été décomposé , on peut disposer ainsi l'opération :

Cent, de mille. Dix. de mille. Mille. Centaines. Dixaines. Unit<fs.

ji*^ nombre.. 2 9 9 i3 91$

2* nombre. .1 5 8 4^9

Donc le nombre supérieur surpasse le nombre inférieur de 6 unités, 7 dixaines, 9 centaines, i mille , 4 dixaines de mille, r centaine de mille, ou de 141976.

Règle générale. — Pour soustraire if un nombre un autre nombre plus petit j placez le second au-dessous du premier, de manière que les unités dun même ordre soient sur une même colonne, puis tirez une barre; soustrajrez ensuite successive^ ment les unités du petit nombre des unités du grand, les dixaines des dixaines, les centaines des centaines, etc., et écrivez les restes partiels les uns à la suite des autres, en al'-' lant de la droite vers la gauche; le nombre exprimé par ren-i