PAR

i363ooo6o

Après avoir multiplié 47 par 29 y d'après le procède' connu, on écrit 5 zéros à la droite du premier; et l'on obtient 1 363ooooo pour le produit demandé.

En effet y si Ton n'avait d'abord que 47000 à multiplier par 29 y il est clair qu'après avoir multiplié 47 par 29 , il faudrait &ire exprimer au produit, des mïUe, c'est-à-dire des unités de même espèce que le multiplicande; ainsi l'on devrait déjà écrire trois zéros. Actuellement , multiplier un nombre par 2900, revient (n® Si) à prendre 100 fois le produit par 29; donc , il faut poser deux nouveaux zéros. Le même raisonnement s'appliquerait à tous les cas semblables.

S4. Pour peu qu'on réfléchisse sur le procédé de la multiplication y on sent la nécessité de commencer l'opération par la droite , du moins dans les multiplications partielles par chacun des chiffres du miultiplicateur, à cause des retenues que l'on fait continuellement en multipliant un chiffre du multiplicande par un chiffre du multiplicateur. Mais rien n'empêcherait d'intervertir l'ordre des multiplications partielles par les différons chiffres du multiplicateur, comme on peut le voir dans l'exemple suivant.

On a commencé ici la multiplication par le 6704

chiffre des centaines du multiplicateur, et l'on a 4^7

placé les unités du produit sous les centaines du g g

multiplicateur; mais dans l'opération suivante, * ^563î> on a eu soin d'avancer le produit d'un rang vers o «

la droite, c'est-à-dire de le placer au-dessous du — ^

premier dé' manière que le dernier chiffre 2 fût 2777048 au-dessous des dixaines des deux facteurs. De même, le troisième produit est avancé d'an rang vers la droite , par

^AOPKlMs IMtoRTAirnES DE lÀ HOLTlPLICATIOir. 33

rappcnrt au précëdeut. Mais dans Tusage ordinaire on forme les produits en allant de droite à gauche , parce c[ue c^ est plus naturel et plus commode.

De quelques propriétés importantes de la ntûttipUçation.

On est souvent conduit , dans les applications y à multipUef successivement plusieurs nombres entre eux.

Soient , par exemple, les cinq nombres pris au hasard

Former le produit de ces nombres dans Tordre où ils sont écrits, c-est multiplier d'abord a3 par 35, puis multiplier ce premier produit (8o5) par 72 , puis multiplier ce second pro^ duit (57960} par 49 9 puis multiplier ce troisième produit (2840040) par 1 56 , ce qui donne enfin 44^046240 pour le produit demande.

Or, on pourrait , avec les mêmes facteurs , obtenir le même produit d^un très grand nombre d'autres manières : car on peut, sans Faltërer , intervertir à volonté Tordre des multiplications* successives ; et c'est ce qu'on exprime en disant que le produit de la multiplication de plusieurs nombres entre eux, est toujours lemémedms quelque ordre qu'on effectue les multiplications.

Htt. Pour- nous rendre compte de cette propriété , qui joue un très grand i*ôle dans la science des nombres, considérons d'abord le cas de deux facteurs , 45g et 237 , par exeniple.

Si Ton conçoit Tnnité écrite 459 i » 1 9 1 > 1 9 1 9 fois sur une même ligne horizon- i , i , i , i , i , taie , et qu'on forme 237 lignes pa- i , 1 , i , i , i , reilles , il est clair que la somme des i , i , i , 1 , i , unités contenues dans ce tableau, ....

est égale à autant de fois les 459 t • • • unités d'une ligne horizontale^ qu'il y a d'unités dans une colonne verticale, ou dans 237 ; c'est-à-dire que cette somme est égale au produit de 459 par 237. Mais on peut dire aussi que cette somme est égale à autant de fois les 237 unités

d'une colonne verticale, qu'il y a d'unités dans une ligne horizontale, ou dans 459; c'est-à-dire qu'elle est égale an produit de 237 par ^Sg. Donc, le produit de 4^9 multiplié par 23"), est égal au produit de ^37 multiplié par 459*

Ce raisonnement est d'ailleurs applicable à deux autres lirofnlïrcs entiers quelconques; donc , etc. • . . (^).

Poar faire connaître une première application de ce principe, supposions que la nature cTune question ait conduit II multiplier le nombre 75 par 564a. On fera de préférence ^e produit de 5641 par 75, parce qu'on n'aura ainsi que deux produits partiels à former, tandis que Ton en aurait quatre en multipliant 75 par 564a.

.. ^. Avant de passçr à la proposition générale, nous con^mençerous par déduire du cas particulier déjà démontre, une ;^utre propriété qui peut s'énoncer ainsi : Multiplier un nombre quelconque par un premier /acteur, puis le produit résultant par un second Jacteur, revient à multiplier le nombre proposé par le second facteur, puis le produit résultant par le premier Jacteur; fins f^énéralemenij dans toute multipU-^ cation déplus de deux nombres entre eux, on peut inter^ vertir l'ordre des deux derniers facteurs , sans que le produit ^oil changé.

Ainsi , par exemple , si l'on multiplie 48 p^r 1 5 tt le pro- 4uit résultant par 24 9 ^^ ^^^ avoir le même,r^ultat que si Kon multiplie 48 par 24 et le produit résultant, par 1 5.

En effet, il résulte d'abord de ce qui a été établi n^Stt, que le produH 36o résultant de k multiplication de 1 5 par s4 » s'obt^ud^ait égaleipent en multipliant 24 par.iS ; et si nous pojgiVQns faire voir que le produit de 48 par 36o est le même quç celui qu'on trouverait, soit en multipliant 48 par iS, puis le produit résultant par 24, soit en multipliant 48 par 24f

(^) On pourrait déduire cette proposition de la table même de Pttha- CMME en observont la manière dont les nombres y sont disposes (n^ >9) : îï lyaffij^t pour cela de< cgitoevoir cette- table prolongée aurdelîi . d^i^iie lin^kf coiy^enable, loooQ fois ^0000 piu: exemple, si i*on^ ne considérai t. ^ue dçnx facteurs an-d,essons de cette limite ; mais la démonstration ci-dessusnons paratt préférable sons le rapport de la simplicité.

pidè le ptodûit résultaiit par i5j la pro^oeiâoii $éra dé» montrée.

Ôr, pour formef le produit de /^8 par àSo, il suffit (n^ il).de poser les uns aU-dessoiis des Autres ièô nombres égatt^i à 48, et de faire Taddilion de toâs ces nombres. Mais ces 36o nombres ainsi disposés forment évidemment ^4 Coupes de i5 nombres égaux h f\8'f ôvl bien ÎS groupes de it4 uombres ^ux à 48 O* ^îÀsi l'on obtiendra la somtne de ces 36o nombres f ou en multipliant 48 par 24 et prenant i5 fois le produit rémiV tant, ou en multipliant 48 par i5 et prenant 24 fois le produit résultant; et ces deux manières 'd'opéréir conduisant évidemment au même résultat, on doit conclure que l'ordre des deux mul* tiplications successives par i5 et par 24 peut être interverti. :

S7. Remarque. — La denHonstratign précédente donne lieu a une nouvelle proposition qui nous sera également utile ^ar la suite.

On vient de voir que multiplier 48 p^r 36q , qui est lé jirodfiit de iâ par Î5, revient à multiplier 48 par 24 > piiis le résultat obtenu par i5. Mais 24 étant lùi-uiêmé é|g;àl au produit de 6 par 4 9. on peut dire encore que înultipliër 48 par 360 , revient à multiplier ajEJ)ord 48 par 6 , puis lé rësùUat obtenu par 4 1 et le nouveau résultat par i5^ où bien par S èC ensuite par 3 (puisque i5 est égal au produit de 5 par 3); Qonc enfin , multiplier un riombre par un produit de deux ou de plusieurs facteurs ,.rei^ient à multiplier ce nombre succès^ sis^ement par chacun des facteurs,

, 88. Passonjs actuellement |^ la démonstration de cepnnci général ciue /e produit de plusieurs nombres est toujours le même , dans quelque ordre qu on effectue leur multiplication..

Reprenons les cinq facteurs quelconques

n résulte du principe établi n^ S^, que, dans les multiplia

(^ Ce raisonnémefit est analogae à celui (^e nous a?on8 fdii n^-ai pbar rendre Qoûtpit de la-mahîpItCliUoii par les dixames^ cenuiaesy etc. , du mal*' tiplicateur.

me

36 DE LA DIYISION.

4!ation8 successives , on peut faire passer le facteur 1 56 à la place du facteur 49; naais on pourrait e'galement le faire passer à la place du facteur 72, puis à la place du facteur 35, puis enfin à la place du facteur 23. Par la même raison , le facteur 49 <iue Ton a déjà fait passer à la place de i56y peut passer à la gauche de 72, puis à la gauche de 35 , et ainsi de suite. On voit , en un mot, que chaque facteur peut occuper toutes les places possibles dans Tordre des multiplications successives, sans que le produit de tous ces facteurs cesse d'être le même. Ifonc, etc.

â9. Diviser un nombre par un autre, c'eist (n^ 9) trouver un

troisième nombre, qui, multiplié par le second, reproduise le

premier; ou bien ( n® 185 ) , c'est trouver un troisième nombre

tel, que le second multiplié par le troisième, reproduise le

premier.

Ainsi la division a pour but : étant donnés un produit de deux Jacteurs et Vun de ces facteurs, déterminer Vautre; cette . opération est donc l'inverse de la multiplication.

Comme , dans une multiplication de nombres entiers , le produit se compose d'autant de fois le multiplicande qu'il y a^ d'unités dans le multiplicateur, on peut encore dire que diviser un nombre entier par un autre , c'est chercher combien de fois le premier nombre, considéré comme produit, co/itient le second, considéré comme multiplicande ; ce nombre de fois est alors le multiplicateur. Enfin, on a encore vu (n** 9) que diviser un nomfere entier par un autre , c'est par^ iager le premier nombre en autant de parties égales qu^iljr a d*unilés dans le second. -'

Ces deux derniers points de vue, sous lesquels on envisage quelquefois la division , ne conviennent rigoureusement qu'aux nombres entiers , tandis que la première définition convient à tous les nombres possibles, tant entiers que fractionnaires. Toutefois , les dénoi^iinations données aux termes d'une division ont été tirées des deux derniers points de vue.

DE LA DIVISION, 3f]

Ainsi y le premier nombre s'appelle dMdende (nombre k diviser oa à partager) ; le second s'appelle diviseur; et le troi<ûème se nomme quotient, du mot latin quoties, parce qu'ilexprime combien 4e fois le^lividende contient le diviseur.

Il re'sulte évidemment de ces définitions^ ({ue , lorsqu'on aura obtenu le quotient, pour faire la preuve de l'opération, il suffira démultiplier le diviseur par le quotient , ou réciproquement; et, sir opération est exacte, on devra reproduire le dividende.

Réciproquement, dans la mi^tiplicalion , le produit peut être considéré comme un dividende, le multiplicande comme le diviseur ou le quotient, et le multiplicateur comme le quO". tient ou le diviseur; sàûsij Ton fera la preuve de la multiplication en divisant le produit par Vun des facteurs ; et, si Vopé" ration est exacte, on devra reproduire Vautre facteur.

Ces notions établies , passons à l'exposition du procédé de la division. *

50. De même que la multiplication peut s'exécuter par Vaddition de plusieurs nombres égaux entre eux , on pourrait aussi trouver le quotient d'une divisign par une suite de soustractions.

En effet , qu'il s'agisse, par exemple, de diviser 60 par 12 : autant de fois on pourra soustraire 1 2 de 60 , autant de fois 1 2 sera contenu dans 60 ; ainsi, le quotient est égal au nombre de soustractions qu'il faudra faire pour épuiser le dividende.

Dans cet exemple, comme on est obligé de faire 5 soustractions successives, il s'ensuit que le quotient est 5.

Mais cette manière d'obtenir le quotient serait trop longue dans la pratique , surtout si le dividende était très grand par rapport au diviseur. Ce qui

constitue la division proprement dite, c'est un procédé spécial et abréviatif pour arriver au résultat cherché.

1" reste.

51. Dès que l'on connait de luémoire tous les produits d» ienf, nombres d'un seul chiffi'e, ou la table de Pythagôrc Çû? 19) , on peut déterminer aisément le quotient de la divi^ êion if un nombre d'un ou de deux chijjres, par un nombre d'un seul chiffre, pourvu que ce quotient if ait lui-même qu'un seul chiffre.

Par exemple , 35 divise par 7 donne pour quotient 5 ; ou bien on dit : en 35 combien de fois 7? Il 7 est 5 fois (parce qu'on sait que 5 fois 7 donne 35) ; ou bien encore : le ^* de 35 est 5, parce que 7 fois 5 font 35.

Soit encore 68 û diviser f$fr g. Comme 7 fois g ou 63, et 8 fois 9 ou 72, comprennent 68 , il s'ensuit que 68 divisé j[>ar 9 donne le quotient 7 pour 63 avec un reste 5 ; c'est ce qu'oil exprime eri disant : le 9*de 68 est 7 pour 63 , et il reste 5.'

Pareillement, en 47 combien de fois 8? Il y est 5 foiS; ou le 8* de 47 est 5, et il reste 7. '

On verra plus loin ce qu^on doit faire du reste , .lorsque le diviseur n'est pas contenu exactement dans le dividende.

^2. Passons au cas où le dividende est composé de plus de deux chiffres, te diviseur vl ayant encore qu'un seul chiffre.

D'après la liaison intime qui existe entre la multiplicatioii et la division , il est naturel de chercher à déduire le procédé ^ âç cette dernière opération de celui qui a été suivi pour la mul*» t^plication.

Pour cela, reprenons le premier exemple traité n® i9.

Il résulte de tette multiplication , que le produit 8459

59213 se compose de 7 fois les uhités, 7 fois les 7

dixaines , 7 lois les centaines , 7 fois les mille du g « nombre 8459 ; ainsi ce produit est la somme des quatre produits partiels qui correspondent aux quatre chiffres du multiplicande. Donc réciproquement, étant donnés le produit 59213 et l'un de ses facteurs, 7, pour retrouver l'autre facteur, il faut tâcher, au- moins par la pensée, de décomposer 59213 dans les quatre produits partiels, des milles des cen^ taines, des dixaines, et des uniUs de ce Second facteur multi-

DE LA DIVISION. Sç

plie par le premier ; prenant alors le 'f de chacun de ces proi^ doits, et réunissant les quotiens partiels, on obtiendra lé ^uo*tient total ou le second facteur. . '

Voici comment on dispose Topëration :

On écrit le diviseur à la droite du dividende , on les sépare par un trait vertical, puis ojti tire une barre horizontale 'au^ dessous du diviseur. • ' '

€ela posé , on prend à la gauche du dividende les deux premiers chiffres for- ^ 7 . mant 5g mille, qu'on regarde comme le r4?9

premier produit partiel ; et l'on dit : en 5g 4 '

combien de fois 7, ou plutôt (pour se con- ^^

former à l'usage suivi , lorsque le diviseur ^

est d'un seul chiffre), le 7* de 5g est 8 pour 56 ; le quotient 8 ainsi obtenu exprime les mille du quotient tola) (^) e). s'écrH sous le diviseur, comme on le voit ci-dessus; on retrancha le produit 56 de 5g , ce qui donne pour reste 3 mifle,. qu'oii doit regarder comme provenant de Ja retenue faite dans la multiplication des centaines du quotient pa^7*

On abaisse à côté du 3 le chiffre 2 des centaines du dividende , ce qui donne 32 centaines^, qu'on regarde comme le second produit partiel; et l'on dit : le 7*^ de 32 est 4 pour 28; on écrit le chiffre 4 9 qui doit exprimer les centaines du qttO«tient, à la droite du diiffre 8 ; ensuite on retranche le produit 28 du dividende partiel 32, ce qui donne le reste 4 centaines, représentant les retenues faites dans la multiplication des dixaines du quotient par 7.

On abaisse à côté du nouveau reste 4» ^^ chiffre 1 des dizaines du dividende, ce qui donne 4i dixaines, et l'on dit'i

(^) On prouverait, si cela était nécessaire , que ce chiffre 8 est le Tëritable chiffre des mille du qaotierit, en faisant voir qu^il n^est ni trop fort ni tro|> faible. Or, il nVsi pas trop fort j puisque b produit de 7 par 8obo, oà 56060, peut être soustrait du dividende total \ et il n^est pas tiHpfaihlet €éi It prodait de 7 par gooo esr (0ooo , nombre plus grand que le dividende 1 4t ^m ne pentpar conse'quent en éjtre sonstiait.

4o DE LA DIVISION.

le 7* de 4 1 est 5 pour 35 ; on écrit le chiffre 5 à la droitis des deux précédens , comme exprimant les dixaines du quotient ; on retranche le produit 35 du dividende partiel 4^ ; 1^ 'este

6 exprime les dixaines provenant de la multiplication des uni' iés ïvL quotient par le diviseur.

Enfin, Ton abaisse à côté du chiffre 6 le chiffre 3 , et Ton dit : le 7* de 63 est 9 exactement; on écrit ce chiffre 9 à côté des trois précédens, comme exprimant les unités du quotient; on retranche le produit 63 du dividende partiel 63 ; et comme on obtient o pour reste , il s'ensuit que 8459 est le quotient demandé.

En effet, il résulte évidemment de toutes les opérations précédentes , qu'on a successivement retranché du dividende S9213 , 7 fois 8 mille , 7 fois 4 centaines , 7 fois 5 dixaines,

7 fois 9 unités; et puisque , après toutes ces opérations, il ne reste rien , il s'ensuit que 59213 est égal au produit de 8459 par 7, ou de 7 par 8459 ; ainsi , ce dernier nombre est bien le quotient cherchai

Soit, pour second exemple, à diviser 'jS^nGJ^par 8.

La première difficulté «|ui se présente ici , est de connaître la nature des plus hautes unités du quotient , et d'en déterminer le ^nombre. Pour y parvenir, observons que, si le premier chiffre à gauche du dividende était plus fort que le diviseur, ou lui était égal, le quotient total renfermerait alors des unités de même espèce que celles du chiffre que l'on considère dans le dividende; cela est évident. Mais comme, dans cet exemple, le premier chiffre 7 est plus faible que 8, on doit conclure que les plus hautes unités du quotient ne peuvent être que des unités de la nature du second chiffre à gauche dans le dividende. Alors, on prend les deux premiers chiffres formant 75 dixaines de mille, et l'on dit: le 8* de 75 est 9 pour 72; donc le quotient total renferme 9 dixaines de mille, puis* qu'on peut soustraire 8 fois 9 ou 72 dixaines de mille, du dividende^ on écrit alors 9 sous le diviseur; on retranche le pro»

^ DE LA DIVISIONi 4t

dait72 mille, du dividende partiel ^5; le reste 3 qa*on obtient^ provient des retenues de la multiplication des mille du quotient total par 8.

On abaisse à côté du reste 3 le chiffre suivant 4 du dividende, et Ton dit : le 8® de 34 rnille est 4 pour 32 , et l'on écrit 4 sous le diviseur et à droite du chiffre 9 ; retranchant le produit 4 fois 8, ou 32 de 34^ on a pour reste 2, à côté duquel on abaisse le chiffre 2 des centaines du dividende ; puis on opère surie nouveau dividende partiel 22; comme sur le précédent, et l'on continue ces opérations jusqu'à ce ^u'on ait abaissé le dernier chiffre 4 du dividende ; on obtient ainsi pour le quotient demandé , 94283.

Preuve,

Dans la pratique y toutes les fois que le diviseur n'est que d'un seul chiffre y on abrège l'opération ainsi qu'il suit :

Soit , pour troisième exemple, à diyiser 45237324 par 6.

Après avoir souligné le

dividende , on du : le G" de 2 i L*

45 est 7 que l'on écrit au- quotient. .. 7539554

dessous de 45, et il reste 3, 6 preuve .

qu OD réunit par là pensée 4^^37324

^Q chiffre suivant 2 , ce qui

donne 32; le 6* de 32 est 5 qu'on écrit à la droite.de 7, et

il reste 2 , qui réuni au chiffre 3, forme 23 ; le 6* de 23 est 3,

que l'on écrit à la droite des deux chiffres précédens, et il

'Wte 5, qui suivi du chiffre 7,. donne 57 ; le. 6* de 57 est 9

P^^ 54 , et il reste 3 , qui suivi du chiffre 3 , donne 33 ; le 6*

de 33 est 5 pour 3o, et il reste 3, qui suivi du chiffre 2, donne

^2 ; le 6* de 32 est 5 pour 3o ; enfin , le 6* de 24 est 4* Donc le

4a DB LÀ DITISIOir.

fUotieni cherché est 753g554* ^ eSety si Ton multiplie c^ 4çrDier nombre par 6, on trouva pour produit, 4^2? 7324*

/Pareillement, le 8^ du nombre 9726647 | 8 I î ■ ' ' est 1215705.. .7

et il reste 7.

Preuye par la multiplication. 8

jY. B. — Dans cet exemple, lorsqu'on ' — «ftT" estparvctnu au chiffre 7 deê centaines du "'- ^^

cfttotient, comme on n'obtient pas de 2.

Teste , et que le chiffre suivant , 4 9 ^^^ 97^^47 plus petit que 8 , cela indique qu'il n'y a pas de dixaines au quotient; alors on met un o pour en tenir Heù ; puis, faisant suivre le chiffre 4 du chiffre 7 des unite's , ce qui donne 47 9 on dit : le 8* de 4? est 5 y que l'on écrit à la droite du o , et il reste 7.

35. Venons au cas oU le dividende et le diviseur sont cont'" posés de plusieurs chiffres,

. Pour découvrir le procédé de l'opération , proposons-nous de multiplier les nombres 5g4 et 4^7 > dpi'ès quoi nous vérifierons le résultat au moyen de la division.

Il résulte de cette multiplication , que ^ /

le produit 269578 se compose des trois >1

^/Y7j£/i/^/7arf/e/^ du multiplicande 694 par les unités, les dixaines^ et les centaines du 4 ' ^^

multiplicateiif 487. Donc réciproquement, x 782

étant donnés le produit 269678 et l'un de 2876

ses facteurs 694 , pour trouver le second -*5û5n8

facteur, ou le quotient de la division du ^'jt'/

premier nombre par le second , il faut tâcher de inettre en évidence dans le produit 269678, les trois produits partiels dont il se compose. La choise ne parait pas facile, à causé dés réductions qui se sont oi[>érees entre lés chiffres dans l'addition des produits partiels ; cependant , on y parvient en raisonnant comme il suit :

le produit partiel de 594 par les ceu" taines du quotient ne pouvant donner *o^ ?

moins que des centaines, se trouve nëces- •*? 1^7

sairement compris dans les aSgS centaines • 21978 du dividende. Gela posç, je dis que, si l'on 1 ^82

c))ercbe le chiffre qui èx prime le plus grand — 7"Tq nombre de fois que Sgl est contenu dans ^

25^5, ce chiffre sera celui des centaines i^i^o

du quotient total. . 0000

D'abord, ce chiffre n est "pdisplus fort que le chiffre des centaines, puisque son produit par 594 9 donnant un nombre plus petit que sSgS centaines, le quotient total est au moins égal à autant de fois 100 qu'il y a d'unités dans ce chiffre. £n second lieu, ce chiffre n'est pas plus faible que le chiffre des centaines, puisque, si on Taugmentait seulement d'z/ne unité, le produit du nouveau chiffre par S94 donnerait au moins 2596 centaines , et ne pourrait par conséquent être soustrait du dividende zSgS'jS ; ainsi , ce chiffre doit être celui des centaines du quotietit.

La difficulté , pour déterminer le chiffre des centaines du quotient, consiste donc à chercher combien de fois 2595 contient 294*, ou, ce qui revient au même, à chercher le chiffre qui , multiplié par $94 9 donne le plus grand produit contenu dans 2595* On pourrait d'abord obtenir ce chiffre en soustrayant successivement et autant de fois que possible , 694 de 2695 ; mais on simplifiera cette recherche en observant, d'après la règle ( n® 19 ) de la multiplication d'un nombre de plusieurs chiffres par un nombre d'un seul , que 25 est , à quelques unités près provenant des réductions , le résultat delà multiplication du chiffre 5 de 594 1 par le chiffre cherché. Or, si Ton divise 25 par 5, on obtient pour quotient, 5 qui est évidemment un chiffre tr^ fort : car, dans la multiplication de 594 par 5 , le produit de 9 par 5 est 45 dixaines , ce qui donne 4 centaines à reporter sur le produit de 5 par 5 ou 25. Essayons donc 4 ; le produit de 594 par 4 est 2876, nombre qui est plus petit que aJ^S , et qu'on écrit alors au-dessous de ce demisr

44 D£ Là DIVISION.

nombre ; ainsi , 4 est le Yériuble chiffre des centaines du quotient ; c'est pourquoi on l'écrit sous le diviseur, comme on le ▼oit ci-dessus. (On voit d'ailleurs que 2876 est le 3* produit partiel qu'on a obtenu en multipliant 694 par 4^70

Soustrayant 23^6 de 25g5, et abaissant à côté du reste 219 les chiffres suivans du dividende , on a 21978 , nombre qui se compose encore de la somme des produits partieb de 594 par les dixaines et par les unités du quotient.

Pour obtenir les dixaines^ on raisonnera comme précédemment. Le produit de 694 par des dixaines , ne pouvant donner d'unités d'aucun ordre inférieur à celui des dixaines, se trouve nécessairement dans les 2197 dixaines du nouveau dividende ; et* si l'on cherche le chiffre qui exprime le plus grand nombre de fois que 694 est contenu dans 2197, ce chiffre sera celui des dixaines du quotient. D'abord, il n'est pas trop fort, puisque son produit par 694 pouvant être soustrait de 2197 dixaines, le quotient est au moins égal à autant de dixaines qu'il y a d'unités dans ce chiffre. Ensuite, il n'est pas trop faible, puisque, si on l'augmentait seulement d'une unité , le produit du nouveau chiffre par 594 donnerait au moins 2198 di^^ainès et ne pourrait plus être soustrait du dividende 21978.

Voyons donc combien de fois 2197 contient 6949 ou plutôt, d'après l'observation faite ci-dessus, combien de fois 21 contient 5. On trouve 4 ; mais dans la multiplication de 694 par 4f le produit dé 9 par 4 est 36, ce qui donne 3 centaines à reporter sur le produit de 5 par l^j oxx, 20 ; ainsi 4 est trop fort. Essayons 3 ; le produit de 694 par 3 est 1 782 , nombre plus petit que 2197 (on l'écrit alors sous 2197) : ainsi, 3 est le chiffre des dixaines du quotient; et on le place à la droite du chiffre 4 ^ejà trouvé. (Le produit 1 782 est d'ailleurs le ^^ produit partiel de la multiplication de 594 par 4^7*)

Soustrayant 1782 de 2197, et abaissant à côté du reste ^i5 le chiffre 8 du dividende , on obtient 4i58, nombre qui représente le produit partiel de 694 par les unités du quotient.

Cherchant enfin combien de fois 4i58 contient 594» ou plutôt, combien de fois 41 contient 5^ on trouve 8; mais 8 est trop

DI LA DinSIOU. 4$

fort, comme il est aisé de le voir; essayons 7 : le produit de Sg^ par 7 est 4^ 58, nombre qui, soustrait de la partie restante du dividende , donne pour reste o; ainsi 7 est le chifire des unités du quotient; donc 437 est le quotient demandé.

En effet, 41 résulte évidemment des opérations précédentes, qu'on a soustrait successivement du dividende 259578 les produits partiels de 5g4 par 4 centaines, 3 dixaines, 7 unités; et puisque , après toutes ces opérations , il ne reste rien , il s'ensuit que 359578 est égal au produit de 594 par 437.

84. Soient maintenant deux nombres, 3844^7 ^< G6'],pris au hasard; etproposons-nous de diviser k premier par le second.

La première difficulté que présente aSiiôS'?

cette opération , consiste à déterminer ^ g^ Yordre des plus hautes tmités du quo- ' tient , et fc nombre de ces plus hautes i- ^ '

unités. Il est d'abord évident que, si Ton

prenait à la gauche du dividende autant 34037

de chiffres qu'il y en a dans le diviseur, 3285

c'est-à-dire uvis, et que l'ensemble de "TïSn

ces chiffres contint le diviseur, le quo- gg.

tient cherché aurait des dixaines de

mille; mais comme il n'en est pas ainsi dans cet. exemple , le quotient renferme au plus des unités de mille; il en contient au moins une, puisque le produit de 657 par 1 000, ou 657000, est évidemment plus petit que le dividende ; ainsi, nous sommes certains déjà que le quotient se compose de mille, centaines, dixaines, et unités.

Pour trouver les mille , remarquons que le produit de 657 par des mille, ne pouvant donner moins que des mille, se trouve nécessairement dans les 3844 ^^ du dividende ; et si l'on cherche le chiffre qui eTpriijfie le plus grand nombre de fois que 657 est contenu dans 3844 » ^^ chiffre sera -celui des mille du quotient. D'abord, ce chiffre n'est pas trop fort, puisque son produit par 657 donnant moins que 3844 ^^^9 peut être soustradt du dividende, et qu'ainsi, le quotient est au moins égat^à autant de fois 1000 qu'il y a d'unités

48 DE Là DITISIOIV.

est plus grand au plus petit que le chiffre correspondant du diviseur. Si le chiffre est plus grand, nttl doute que le chiffre essayé ne soit bon^ si le chiffre est/;/£i//i0/i<^ On peut également affirmer que le chiffre essayé est trop fort; on le diminue alors et une unité j puis on opère surlç nouveau chiffre comme sur le précédent. - ' ^

Soit) pour exemple, à diviser 187836 par i583.

Le premier dividende partiel étant 137836 1 i583 13783, on est conduit à dire : en i3 com- • 12664 J 87' bien de fois i7 i3 fois. Mais le premier •

quotient partiel ne pouvant être que 9 au ' ' '^

plus, il faut essayer 9; et pour cela, on dit] : le«9* de i3 est i pour 9, et il reste 4 ; 1 15

le 9* de 47 est 5 pour 45, et il reste 2; le 9* de 28 est 3 , chiffre plus petit que le 3* chiffre 8 du diviseur proposé ; donc 9 est trop fort , car le 9' de 13783 étant moindre que ce diviseur, on ne peut soustraire 9 fois celui-ci du dividende partiel. Essayons maintenant 8; or, le 8* de i3 est I pour 8, et il reste 5; le 8* de 67 est 7, chiffre plus grand que le 2' chiffre 5 du diviseur proposé ; ainsi le chiffre 8 est bon, puisque, le 8* de 18783 surpassant 4e diviseur proposé, on peut soustraire 8 fois ce diviseur du dividende partiel.

Multipliant i583 par 8 et soustrayant le produit 12664 du dividende partiel, on obtient pour reste, 1 1 19 , et pour Second dividende partiel, 1 1 196.

. On dit ensuite : en 1 1 combien de fois i ? 1 1 fois f mais il est évident que le 2* quotient partiel ne peut être que 8 au plus , puisque le nouveau dividende partiel est moindre que le premier. Essayons donc 8 ; or, le 8' de 1 1 est .1 pour 8 , et il reste 3 ^ le 8* de 3 1 est 3 , chiffre plus petit que le 2* chiffre du diviseur pi^oposé ; d'où Ton conclut que 8 est trop fort, puisqu'on ne saurait soustraire 8 fois ce diviseur du second dividende partiel. Essayons maintenant 7 ; or, le 7* de 11 est I pour 7, et il reste 4 > le 7' de 4 1 est 5 pour 35 , et il rest£ 6 ; le 7' de 69 est 9, chiffre plus grand que le 3' chiffre 8 du diviseur primitif; donc le, chiffre 7 est bon, puisque le 7* de

D£ Là DlVISIOir. j(^

itigG étant plus grand que i583^ on peut soustraire 7 fois ce dernier nombre de 1 1 196.

.Multipliant i583p*ar 7 et soustrayant je produit 11081 de nig6, on obtient pour reste 1 15, et pour quotient cherche', 87* ' IV. B. — Quand on est oblige' de pousser l'essai j usqu'au chiffre des unités du premier ordre , il en résulte cet avantage , que la soastractiooC se trouve toute faite.

Ainsi, pour diviser 12670 par i583, après avoir constaté que 9 serait trop fort, on essaie 8 en disant : le 8* de 12 est 1 pour 8 , et il reste 4 ; le 8' de 46 est 5 pour 4p , et il reste 6 ; fe 8* de 67 est 8 pour 64 , et il reste 3 ; le 8! de 3o est 3 pour 24 9 et il reste 6.

On reconnaît donc à la fois que le quotient est 8 , et que le ^^este de la soustraction est 6 ; c'est-à-dire que le dividende Contient 8 fois le diviseur, et en outre 6 unités.

36. Règle générale. — Pour diviserdeux nombres en tiers Tun par l'autre , écrwez le diseur à la droite du dMdende; séparez-^ ^espar un trait vertical, et tirez une barre au-dessous du diviseur. Cela îàït f prenez à la gauche du dividende autant de chiffres yuiljr en a dans le diviseur, ou un de plus si l'ensemble de ^es premiers cjfiffres est plus petit que le diviseur ^ vous obtenez ainsi UN premier dividende partiel dont le chiffre à droite exgrime des unités de même ordre que les plus hautes unités du quotient. Cherchez (n® 5S) combien de fois ce dividende partiel contient le diviseur. Ce quotient obtenu , écrivez'le sous le diviseur; multipliez le diviseur par ce chiffre, et soustrayez le produit , du premier dividende partiel,

jibaissez à côté du reste le chiffre suivant du dividende , ce qui donne vin second dividende partiel. Cherchez , comme précédemment j combien de fois ce second dividende partiel contient le diviseur, et écrivez ce nouveau quotient à la droite du premier; multipliez le diviseur par ce second quotient , et retranchez le produit, du second dividende partiel.

jibaissez à côté de ce second reste le chiffre suivant du di^ vidende, ce qui donne un troisième dividende partiel, surle^^ quel vous opérez comme sur les précédens.