DIVISION

Çqntirm^:^ çcttç s^rie d'o^jérations jusqu^à cq ^ue vpus aj-ez abaissé le dernier chiffre, en optant soin, à chaque Cpé^ jrations d'écrire le quotient que vous ob tenez j à la droite des pinécédens, afin de ijonner 4 cç^x-ci leur yéritable valeur. Sti ràfè9 toutes ces opérations , i| n^ reste rien, la division est dite exacte. Si vous obtenez un reste • vous l'ajoutez , dans la preuve , au produit du diviseur par le quotient trouvé.

^7. 4PT^^ s'être bien familiarisé ayec les diverçps parties de ce procédé , on peut encore abréger beaucoup les opératiq^^s- Mrt|elles en effectuant les multiplications et les soustractions lont-à-la-fois, comme on va le voir dans l'exemple suivant, qui est un des plus difficiles qu'on puisse se proposer.

Diviser c^'^^^'jS par 2789.

Je prends d'abord les quatre premiers cbiff|*es à gauche du dividende, puisque leur ensemble contient le diyiç^ur; ef je divise 9689 par 2789 , ou simplement 9 par :^ ; ï\ vient 4 pour quotient; mais il est aisé de voir r^ / ^

( n® 35) que ce cbiffre est trop fort. J'es- ^ ^|' saie donc 3, qui est le véritable chiffre , 2^^

car le tiers de 9 est 3, cbiffre plus ^'^

grand que l^ premier chiffre a du di- ^ ''J^^ . yiseuf*. ^

Cela posé, au lieu de multiplier 2789 par 3 et d'écrire Iç l^pduit S0U9 91639, pour en faire la soustraction , j'opère ainsi qu'il suit : je dis 3 fqis 9 fout 27 ; ôtez 27 de 9 (dernier cl^iffre ^à drpite de 9639) , cela ne se peut ; je suppose 9 augmenté 4^ 2 dixaines, ce qui donne 29^ et je retranche 27 de 29; irreste 2 aue j'écris au^-dessous de 9639, après avoir souligna ce dériver nombre. Observons maintenant que les 2 dixaines ajoutées sont censées avoir été empruntées sur le chiffre S^'qui ne yaut plus que i ; paai^ (n° \4k) il revient évidemment fu même, Çt cela est plus commode , de retenir les 2 dixaines pour les joindre au produit des dixaines du diviseur par le quotient 3| çt pour soustraire le tout, des dixaines du dividende 9339, |)^^s en tQtalité.

Je dis donc ensuite 3 fp}» ^ font 24^ et 2 0e retçnu^ fqçt ^ ;

a6 de 3 , cel^ pe ^ peut ; mai^ en^^ff^t^uf ^ çfpjtamef loir le ciii£fre des centaines du (dividende; pa^^el y }'9]^t^|sps 939 §t)ifi soustrais 26 cje 33 ; il restfs 7, f|)^ |Vciis fpus )^ 3 d)i ^vidende partiel^ je retiens d'ailleuirf M^ ^ ^l^fM^^^^^*

3 fois 7 fonf. 21 ^ et 3 de reteptt,e fopt a4 ; 24 de 6, c^U n/^ f^ peut ; mai^ 24 de 26, il reste 2, que j'égris 9^11$ le j$ 4^ fliyi4^P,d^ partiel, et je retiens 2 mille,

Enfifî, 3 fois 2 font 6, et 2 de retenue font 8 1 ^ 4ll 9 » il ï^î^ i j que j'écris sous le g. ^

Il reste donc 1272 ; à côté de ce nombre j'a))^sse U cbi^r« 4 du dividende ; ce qui donne Ife second diyi4^nde partiel i^'j%i^ ^ sur lequel j'opère de la même maiiièfe.

En 12724 combien de fois 278^1 pu en 1% çpnibiça de fois 2? Il ]( est 6 fois; mais 6 et me{Tie 5 sont t|:pp fpftÇy comme il est aisé de le reconnaître (n° SjS) ; p^aL^ 4 ^^ ^9^» ^^ j'écris 4 ^ i^ droite du 3 , au quotient ; et je dis 4 fp^^ 9 font 36 ; 36 de 4» cela ne 3e peut; mais 36 de 44» A ^^^^ 8» que j'écris au-dessous du 4> et je retiens 4«

4 fois 8 font 32, et 4 de retenue font 36; 36 de 3, cela n^ ^ peut ; mais 36 de 42, il reste 6, que j'écris au-dessous du 2, ef je

retiens 4*

4 fois 7 font 28, et 4 dé retenue fpnt 32 ; 3^ de 37, il r^st^ $, que j'écris sous le 7, et je retiens 3.

Enfin , 4 ^^^ ^ ^^^ ^' ^^ ^ ^^ retenue font 1 1 ; 1 1 4^ i^, il reste i, que j'écris sous le 2.

Le reste de cette nouvelle opératipf^ est i5Q8» à côté duq^ j'abaisserle chiffre suivant du dividende, et j'ai i£[687 poj^ troisième dividende partiel y sur lequel j'opère de )a n^^ntP manière , ainsi que sur les suivans , et j'ob^iefi^ enfiii ppur quotient, 3456, avec le reste 691 .

Voici }e tabUau de$ opératiops ppur un nouvel exepiple %

£2 DE LA DlVISIOÏf.

38. Première remarque sur la division.— Ce dernier exemple donne lieu à une observation importante :

Après avoir trouvé pour premier quotient 5, et pour premier reste 147^9 on abaisse à côté de ce reste le chiffre suivant , ce qui donne pour second dividende partiel 14739. Or, ce dividende partiel ne contient pas le diviseur ; donc le quotient total n'a pas de centaines, puisque ,* s'il en avait . seulement une, son produit par 39887 devrait pouvoir être soustrait du dividende partiel 147^9; ^^ V^^ ^'^ P^^ ^^^^* MdAs pour conserver au chiffre 5 du quotient la valeur qu'il doit avoir, il faut écrire au quotient un o qui tienne lieu des centaines; et abaissant ensuite à côté de 147^9 le chiffre suivant 6 du dividende, on continue l'opération ; ce qui donne successivement le chiffre des dixaines et le chiffre des unités. •

En général, toutes les fois qu'en abaissant à côté d'un reste, le chiffre suivant, on obtient un nombre moindre que le diviseur, cela indique que le quotient n'a pas d'unités de l'ordre du chiffre abaissé; alors on met au quotient un o, pour tenir la place des unités qui manquent , et donner ainsi aux chiffres significatifs déjà trouvés, leur valeur relative. On abaisse ensuite à côté de ce dis^idende partiel, un nouveau chijjre , et ton continue F opération.

59. — Seconde remarque. Lorsqu'une opération partielleaété bien faite, c'est-à-dire lorsque le chiffre du quotient, relatif à celte opération , a été exactement déterminé, on ne peut pas dans l'opération suivante , trouver plus de 9 au quotient : car supposer que l'on pût obtenir seulement 10 , ce serait supposer que le chiffre précédent est trop faible d'une unité.

Il existe d'ailleurs un signe certain auquel on reconnaît qu'un chiffre du quotient est bien déterminé; c'est lorsqu'en soustrayant le produit partiel du diviseur par ce chiffre, on obtient un reste moindre que le diviseur. Si ce reste est supérieur ou égal au diviseur, il faut augmenter d'une unité le chiffre trouvé d'abord.

40. Gomme > dans les trois premières opérations de l'Arithmétique, les calculs s'effectuent à commencer parla droite^

DE LA DIVISIOir. 53"

il est naturel de demander pourquoi, dans la division 5 ; on commence au contraire par la gauche. Pour répondre à cette, question , il faut observer que , le dividende étant la somm4« des produits partiels du diviseur par les unités, les dizaine^, -^ les centaines, etc. , du quotient, tous ces produits partiels se fondent les uns dans les autres ;^'et il n'est pas possible de mettre d'abord en évidence le produit du diviseur par les unités y le produit par les dixaines , etc. ; tandis que , d'après le procédé* indiqué précédemment, on détermine sur-lechamp dans quelle partie du dividende se trouve le produit parles unités lés plus fortes,

(Au reste , on pourrait commencer l'opération par la droite , en l'effectuant par des soustractions successives , comme on l'a indiqué n® 50.)

41. Donnons maintenant quelques usages de la multiplication et de la division.

Première questioi^. — - On demande le prix de 2S64 toises dun certain ouvrage, en supposant que la toise coûte fy] francs.

Puisque chaque toise coûte 47 francs , il est clair qu'en répétant cette valeur 2564 fois , on aura le prix des 2564 toises. Ainsi il suffit d'effectuer le produit de 47 par 2564 9 ^^ plutôt (n® Stf) Iq produit de 2564 F^'^ 47»^^ ce produit exprimera le nombre de francs demandé.

Voici l'opération , et sa preuve par la division :

3oo

Dmic , 2564 toises ont coûté 1 2o5o8 fr.

Seconde question. — La toise dun certain ouvrage en maçonnerie coûte 3q francs; on demandç combien on fera construire 4eiqiiespourbiQSfriRic^.

Il êÊt (thit ë[ù*âûiAnt dé fais 39 âera contenu dahsl 83g|5, anitâtit da tahéë on pdurrà fai^é construite ; ainsi , il suffit dé d^lfèif 8395 pàt 39 ; et le quotient qu'on obtiendra séià le nMkf^ë de tb'isek déihàiKdé.

S9 ^ Preuve. •• 2i5

iq35

Comme on obtiètat , outre lé <|u6tîettt 2i5, un reste 10 , il faut savoir l'usage qu'on doit faire de ce reste. ^

ObservCftis que si le divîdeiMÏù renfermait tofraucddétncÂnSy

il serait le produit exact de 39 par 2i5 ; ainât, le nombre de

toi^ déinande' sei^i 1 2 1 5 ; taàïs tdfnine oh à 1 6 ttkntè de ptns ,

ri ifagit de déterminer U fm^iioH de tôi^ qù'ofit pèttt fïirè

construire avec ces to francs.

Or, avéfc un franc, oii aùfàit évidemment 5- dé toise,

puisqu'on a iim toise |)Ottr 39 francs ; donc avéè i o francs , on aoîi àv6îf lô fois r- ou— de toîôe (vq^ez n® Ô); ainsi 2i5

toises plus ^ de toise , fornient le résultat demandé.

Tel est, en général, l'usage qu'on doit faire du reste d'une division , lorsqu'en eflAectuant cette opération , on a en vue de résoudre une question' Relative à des nombres concrets :

On conçoit Vuniié du quotient (dont la nature est toujours déterminée par l'énoncé de la question) divisée en autant de . parties égales qu'il jr a d'unités dans le diviseur; on prend tune de ces parties autant de fois qu'il y a dunités dans le reste rfê ta dipisiori; puis dn ajouté la fraction qui en résulte au Mrtibrè èûtier déjà àbietiU. I

Troisième question. On a payé 7.\Sf]%fr. pour 89$ nàînèti

â^u'ne certaine étoffe y on demande le prix de Faune Je cette itqjffe.

Si Ton connaissait le pnx de Taune , en le répétant SqS foiSf on devrait reproduire 21478 francs ; ainsi , il suffit encpie dç diviser 21478 par SqS.

8t|5 «Preuve. . . 896

Gomme le dividende, oiïtrë lé tji-ôdtiit dé 89$ ^ 2)^ contient encore 8^3 M'ncs , irâ'è'fistiit'qtielë prix de l'auiié est 23 fr. , pliis ùnèfracH'dn qu'il s'égtt ile détermiiier.

Pour y parvenir, remarquons que ^^ répété 8q5 fois,

dôiine i ; aîiisi , ^-= répété 896 fois , donne ogS ; et par confina séquent^ 23 plus h^ est un nombre qui, multiplié par 89$ |

reproduit 21478. Donc enfiii , le prix dequindé est 23 francs plus 3^ de francs.

Ce résultat s'accorde avec la règle établie dans rexi^âljple précédent;

QuAtBiÂHË QUï^iON. — Supposôns que 498 pehbiiàes àiinït à partager également une somme de \Hfiit% francs ^ on demande la part qui revient à chacune.

21664 24372 '^^ toSSi

Le quotient de cette division étant 2708 , et le reste 124 ^ on peut déjà conclure que , si la somme à partager était diminuée de 124^^^^^^» chaque personne aurait pour sa part, 2708 francs. Mais comme la somme renferme 124 francs de plus que le produit de 2708 par 498, il s^ensuît que chaque personne doit avoir 2708 francs; plus une partie des 124 francs. Pour se former une idée de cette partie , on peut'd'aho^rd' cottsidérer le nombre 124 comme utr tout qu* il faut diviser en 498 parties égales, et Fùne de ces parties est la fraction qui doit compléter le quotient j mais il est plus simple (n^ 8 ) de concevoir r unité, qui est ici le franc , divisée en 498 parties, égales appelées

4g8^""*, et de prendre it,^ de ces parties , ce qui donne j-^

pour la fraction à ajouter au quotient entier.

JIA.N.B, — Ce dernier exemple nous conduit à une remarque

dont nous ferons souvent usage ; c'est que , diviser le nombre

124 en 498 parties égales, revient à prendre 124 fois la 498*