PRINCIPES SUR LA MULTIPLICATION £T LA DIVISION. S'J

^l^res principes sur la multiplication et la division.

4S. Des propositions démontrées n®" 25. . . .28, on déduit quelques conséquences qu'il est bon de faire connaître , parce qu'elles sont d'un usage continuel en Arithmétique.

Observons avant tout que , d'après les définitions mêmes de

la multiplication et delà division des nombres entiers, on rend

un nombre entier autant de fois plus grand ou plus petit qu'il

jr a d'unités dans un autre , en multipliant ou divisant lepre-^

mier nombre par le second.

Ainsi y lorsqu'on multiplie 24 p&i'S, le produit qu'on obtient est 6 fois plus grand que 24» puisqu'il résulte de l'addition de 6 nombres égaux à 24* De même , si l'on divise 24 par 6 , le quotient est 6 fois plus petit que 24 9 puisque ce quotient répété

6 fois, reproduit 24* ^

Cela posé, je dis d'abord que si , dans une multiplication , on rend le multiplicande ou le multiplicateur un certain nombre de fois plus grand ou plus petit , le produit est , par ce changement , rendu le même nombre de fois plus grand où plus petit,'

Soit, par exemple, à multiplier 47 f^v 6, et supposons qu'au lieu d'effectuer cette opération, on multiplie 47 pstr 24, qui est 4 fois plus grand que 6 ; comme , d'après ce qui a été dit n^ 26, multiplier 47 par 24 revient à multiplier 47 par 6 et le produit obtenu par 4» il s'ensuit que le produit de 47 par 24 est égal à 4 fois le produit de 47 par 6 , ou bien , est 4 fois plu;^ grand que le produit de 47 par 6.

Réciproquement , le produit de 47 par 6 (qui est le quart de 24) étant six fois plus petit que le produit de 47 par 24 9 il s'ensuit que si l'on rend le multiplicateur 4 fois plus petit , où si on le divise par 4, le produit est, par ce changement, rendu 4 fois plus petit.

On a vu d'ailleurs (n® 28) que , dans une multiplication clé deux JEacteurs , on peut intervertir Tordre des deux facteurs ; donc ce qui vient d'être dit par rapport au multiplicateur, s'applique également au multiplicande ; donc ^ etc.

SB PRIlfGiPES SUR LA MULTIPLICATION ET LA DIYISION.

Il résulte de là qu'oTs ne change pas la valeur d^un pr^ àuit, en rendant le multiplicande un certain nombre de jms plus grand, pourvu qiCon rende en même temps le multipli'câteur le même nombre de fois plus petit , c'est-à-dire en multipliant le premier facteur par un certain nombre, et divi-^ sont le second par le même nombre : car, d'après ce qui vient là'être dit, il y a évidemment compensation; c'est-à-dire que là seconde opération détruit l'eflfet de la première.

C'est sur cette deirnière conséquence que se fonde un moyen quelquefois employé pour vérifier la multiplication.

Soit 347 à multiplier par 72. Multiplier 347 P^^ 7^ révient à multiplier a fois 347, ou 694 9 par la moitié de 72 , ou par 36. Ainsi , après avoir multiplié 347 P^^ 72 , on peut ensuite multiplier 694 par 36 ; et si la première opération est juste, on doit retrouver le même nombre. ^

Maintenant , puisque , dans la division , le dividende est un produit dont le diviseur c\, le quotient sont les deux facteurs, il s'ensuit que , si Von rend le div^idende un certain nombre de fois plus grand ou plus petit, c'est-à-dire si on le multiplie ou si on le divise par un certain nombre entier, le quotient çst, par ce cliangement, multiplié ou divisé par le même nombre,

. En effet , comme, après le changement, le quotient multiplié p^r le diviseur doit Reproduire un dividende un certain nombre de fois plus grand ou plus petit que le premier, il faut nécessaircnient , le diviseur restant le même, que le quotient soit ce même nombre de fois plus grand ou plus petit.

Au contraire, si, Sans altérer le dividende, on tend le diviseur un certain nombre de fois plus grand ou plus petit, le quotient est par là rendu ce nombre de fois plus petit ou plus grand : c'est en effet la seule hypotbèse admissible pour que la multiplication donne le même produit où le même dividende.

Donc y en multipliant ou divisant le dividende et le diviseur par un même nombre, 6n ne change pas le quotient j puisque si, par le changement ÎTait sur le dividende , on multiplie c(u divise

DES FRACTIONS, 5g

lé ^difènt par un certain nombre, le second changement rend lé résultat le même nombre de fois plus petit ou plus graha , et qu'ainsi il y a compensation.