CHAPITRE IL
Des Fractions.
.44. On a déjà vu (n*»" i et 8) ce que c'edt qu'une fraction , et quelle idée on doit s'en former; On distingue toujours deux termes dans une fraction , le dénominateur et le numérateur. Lé âénoi^inkiéur indique eh combien départies égales t unité est divisée, et le numérateur, combien on prend de ces parties ^ l'ensemble des parties que Ton prend constitue la fraction.
Aîiùsi, daiii Ik fraction y, qu*on énonce trois quarts ^^
est le dénominateur et indiq.ue que runîtéest diTiséé en 4 parties égales ; 3. est le numérateur et indique qu'on prend
3 de ces patties. Dé même la fraction -^ , que l'on énonce
onze douzihmes, exprime ii parties de l'unité supposée divisée en 12 parties égales.
On a vu également ( n° 42) qu'une fraction telle que --t est
équivatente à la i5* partie du tout exprimé par i3; c'est-à-dire ajOL une fraction peut encore être considérée comme le quotient de sbn numérateur divisé par son dénominateur; en sorte qu€( treize fois le quinziènpe de l'unité, ou treize quinzièmes, et lA quinzième partie de treize, ou treize divisé par quinzejSOïii de» expressions identiques. ^
4tt. De la^ définition que nous venons de donner du numérateur et du d^i^ominatçuci-il JCési^t^ é^id^tm^evUk lé9 'Conséquences suivantes ;
6o PRmCIPES FONDAMENTAUX
I®. Si, sans altérer le dénominateur d'une fraction , on multiplie ou divise son numérateur par un nombre, lanou-^ velle fraction sera ce nombre de fr>is plus grande ou plus pe^ tite que la première.
En effet ^ lorsqu'on multiplie le numérateur par 2,3, 4*" » on indique par là qu'on prend 2 , 3 , 4 •••• ^^^^ P^^ ^^ parties; et, comme les parties sont les mêmes , la nouvelle fraction est
2| 3, 4*** ^^^ P^^ grande. Ainsi, soit la fraction --7; il est
dair que -^, --7, -^ . . ., sont des fractions 2 , 3 , 4* • * ^^^^
plus grandes que la première*
Au contraire , en divisant le numérateur par 2 , 3 , 4 * * • 9 ^^
indique que Ton prend 2 , 3 , 4* • • foîs moins de parties ;
3 a donc, etc.... Ainsi, -7, -^, sont respectiyement 2, 3'€oia
plus petits que --7.
2®, Si, sans altérer le numérateur, on multiplie ou divise
le dénominateur d^une fraction par un nombre, on divise ou multiplie la fraction par ce nombre.
En effet , lorsqu'on multiplie le dénominateur par 2 , 3 , 4* • ^ on indique que l'unité est divisée en 2, 3, 4*** fois plus de parties égales ; les nouvelles parties sont donc 2,3, 4*** fois plus petites, et comme on prend toujours le même nombre de
fs parties, il s'ensuit que la fraction résultante est 2, 3, 4*-* is plus petite.
Au contraire , si Ton divise le dénominateur par 2 , 3, 4- • • 9 l'unité se trouve divisée en 2, 3, 4- • • fois moins de parties égales; les nouvelles parties sont donc 2> 3, 4* • • ^ois plus grandes; et comme on en prend toujours le même nombre, il s'ensuit <jue la fraction résultante est 2, 3, 4*** ^ois plus grande que la première.
3*. On ne change point la valeur iTune fraction en multi^ pliant ou divisant ses deux termes par un même nombre.
En effet, il résulte des deux premiers principes, que l'effet dq
SUR LES r&ACTi<»rs. 6i
Topëratian exécuta sur le dénominateur, détruit l'effet de Topération exécutée sur le numérateur, et qu'ainsi il y a compensation.
Par exemple, les fractions 5, -2-, -«, — . . ., sont toutes ■^ 8 12 i6 ao '
• 3 équivalentes à la fraction 7, puisqu'elles résultent de la multiplication de chacun de ses deux termes par a, 3,4» ^
De même, la fraction ^ est égale à cliacune des fractions -g,
T'y ^•••y pubqu'on obtient ces dernières en divisant les
^ ^ ai
deux termes de ^ par a , 3, 4* • • •
Ces diverses propositions sont analogues aux principes étal>Iis (n® 45) sur la division des nombres entiers, et doivent par Conséquent être regardées conmie une extension des mêmes principes aux fractions.
