PA£MiàR£ QtJESTioN. — On demande, des deux fractions

^et-^ y quelle est la plus grande?

Au premier abord , il paraît difficile de répondre à cee^i

66 APPLICATIOIirS

question , parce que si, d'anc part. Vanité est, dans la seconde fraction, divisée en un plus grand nombre de parties que dans la première, d'autre part, on prend plus de parties puisque le numérateur 7 est plus grand que le numérateur 3. Mais on lèvera la difficulté par la réduction au même dénominateur : car il est évident que de deux fractions qui ont un mime àé^ norninateur , celle-là est la plus grande , qui a le plus grand numérateur.

Cette réduction opérée, il vient ^ pour la première frac-

tion y et 7T- pour la seconde ; donc la jEraction -z est la plus

grande des deux, et elle est en excès sur l'autre, de ^.

' / Ci Q

On reconnaîtrait de même que, des trois fractions -, — , -^ ,

o fi /

la plus grande est — , la plus petite , — , et la moyenne, — :

car, étant réduites au même dénominateur , elles deviennent

respectivement — - — , ■, .

* looi 1001 ' looi

On pourrait également réduire les fractions au même numé--

rnteur (ce qui se ferait en multipliant les deux termes de cha"

cune déciles par le produit des numérateufs de toutes Içs àuires)\

et de ces fractions , la plus grande serait celle qui aurait le plus

petit dénominateur, puisque l'espèce des parties étant prus

{[rande , on en prendrait le même nombre. Mais le prendier

moyen a l'avantage de faire connaître en même temps les diffé*

rences qui existent entre les fractions comparées deux à deux.

/ Secondé question.— Quel changement produit ^ on dans une

fraction, en ajoutant un même nombre à ses deux termes? .

Soit, par exemple , la fraction —, aux deux termes de la^

quelle on ajoute 6 : il vient -3 pour la fraction résultante.

Or, si l'on réduit ces deux fractions au même dénominateur.

DE LA THAroFOEMATlON PRiCÉDENTE. 67

la première devient — r? ,et la seconde — tî ; donc la fraction proposée a augmenté de valeur, et elle a augmente' de —7.

■■•JV2XO- .►^

Pour rendre compte de ce fait sans aucun calcul, observons queTunité étant égale à — , l'excès de l'unité sur — est ex-

primé ;par — ; de même, l'excès de l'unité sur -^ est exprimé

par -rr. Les numérateurs de ces deux différences sont les me-

mes ; et cela doit être : car 18 et i3 ay^^t été formée p^ l'addition du même nombre 6 aux deux termues 7 et la , H.^rensujLt qu'il y a même différence entre 18 et 1 3 qu'entre 12 et 7.

Mais la différence -j^ est nécessairement moindre que la diffé-

rence — , puisque le premier dénominateur estplus grande et que

i3 les numérateurs sont égaux ; donc la fraction -^ diffère moins

de l'unité que la fraction — ; par conséquent la première est

plus grande que la seconde.

On conçoit d'ailleurs que plus le nombre ajouté aux deux

termes de la fraction — est grand , plus la différence entre

l'unité et la nouvelle fraction est petite, puisque le numérajEeur de cette différence ;étant toujours 5, le dénominateur av^mente de plus en plus , et qu'ainsi [la fraction devient de plus en plus grande.

Ce raisonnement pouvant évidemment s'appliquer à toute ' autre fraction , on peut en conclure que si, aux deux termes d^ une fraction , on ajoute un. même nombre , la fraction ré^ sultante est plus grande que la fraction proposée; et elle est d'autant plus grande que le nombre ajouté est plus grand.

Par la raison inverse, une fraction diminue de valeu^lors^ qu'on retranche un même nombre de ses deux termes,

66 SIMPLIFICATION DES FBICTIONS.

Nous avons cru devoir entrer dans quelques détails sur celte proposition , afin d^empêclier les commençans de penser qu'il en est de cette circonstance comme du cas où l'on multiplie ou divise les deux termes d'une fraction jpar un même nombre. Dans ce dernier cas, on ne change pas (n^ 46) la valeur de la fraction; tandis qu'en ajoutant ou soustrayant un même nombre y on augmente ou diminue la fraction.

^Réduction dune fraction à de moindres termes.

80. Il arrive souvent , dans le calcul des fractions , que Ton est conduit à une fraction exprimée par de grands nombres ; or, pltisie numérateur et le dénominateur sont grands, plus on à de peine à se faire une idée nette de la fraction.

Par exemple, la fraction -^ indique qu'il faut diviser

Tunité en i5 parties égales , et prendre 12 de ces parties. Mais 12 et i5 étant en même temps divisibles par 3 , si l'on effectue les divisions , il vient ^ , fraction équivalente à la proposée (n° 46) ; alors, pour s'en former une idée, il suffit de concevoir l'unité divisée en 5 parties égales, et d'en prendre 4; ce qui est beaucoup plus simple.

Lors donc que l'on a une fraction dont les termes sont assez grands , il est utile de la réduire, s'il y a lieu^^à une autre fraction dont les termes soient moindres.

Le premiel^oyen qui se présente , c'est de diviser les deux termes par les nombres 2 , 3 , 4 • • • 9 tant que cela est possible.

Soit, pour exemple, la fraction —77 à réduire à de moindres

termes, 4

Il est aisé de voir que les deux termes sont divisibles par a ;

effectuant les divisions, on obtientpour premier résultat, ~.

Les deux termes de cette nouvelle fraction sont encore divi* siblA par 2 ; et il vient pour nouveau résultat, ^.

DU PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR.' 6g

Essayant maintenant la division par 3, on trouve — , fraction dont les deux ternies sont encore divisibles par 3 ; ce qui donne

enfin -j pour la fraction —jj réduite à son expression la plus

simple.

Cette méthode est facile et commode ; mais elle ne peut être généralisée maintenant.

Voici une autre manière de réduire une fraction proposée à sa plus simple expression : elle consiste à déterminer directement le, plus grand nombre qui divise à la fois les deux termes de la fraction , ou, en d'autres termes, \e\xv plus grand commun dii^iseur.

H, Commençons par établir quelques notions prélimii^aires :

Un nombre est dit multiple d'un autre nombre lorsqu'il le contient un nombre entier de fois , c'est-à-dire quand le premier nombre est exactement divisible par le second.

Réciproquement , le second nombre est dit un sous^multiple, t)u une partie aliquote, ou un diviseur i.\x premier.

Ainsi, 24 est multiple de 6, parce que 4 ^^i^ ^ ^^^^ ^4» réciproquement, ^ et & sont diviseurs, sous- multiples , ou parties aliquotes de 24* ^^ même, 60 est multiple de 12, puisque 5 fois 12 donnent 60 ; réciproquement, 5 et 12 sont diviseurs ou sous-^multiples de 6o,

On appelle nombre premier un nombre qui n'est divisible exactement que par lui-même et par l'unité ( qui est diviseur de tout nombre). Ainsi 2, 3, 5, 7, 1 1 , i3 . . . sont des nombres premiers ; mais 4, 6, 8, 9, 12, ne sont pas des nombres premiers, puisqu'ils admettent tous pour diviseurs, l'un des nombres 2,3, ou tous les deux à la fois.

Deux nombres sont dits premiers entre eux , lorsqu'ils n'ont aucun diviseur commun (autre quel'unité); ainsi, 4 ^^9j 7 et 12, 12 et 25, sont des nomhrespremiers entre eux; 8 et 12 ne sont pas des nombres premiers entre eux , puisqu'ils sont divisibles en même temps , soit par 2 , soit par 4*