DU PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR

XyPREMlER PRINCIPE. — Tout nombre qui divise exactement un autre nombre , di\^ise aussi un multiple quelconque de ce second nombre.

Par exemple , 24 ^'^^^^^ divisible par 8, et donnant pour quotient 3 , 5 fois 24 ou ^^^ divise' par 8 , donnera ( n® 43) pour quotient 5 fois 3, ou 1 5. De içême, 60 e'tant divisible par la et donnant pour quotient 5 , 7 fois 60 ou 4^0 divisé par 12, ' donnera pour quotient 7 fois 5, ou 35.

Deuxième principe.— 7Y>M//K?mire décomposé en deux parties divisibles l'une et l'autre par un second nombre, est lui-même divisible par ce second nombre,

' £n effet, le quotient de la division du nombre total étant évidemment égal à laàsomme des deux quotiens partiels, si ces deux quotiens partiels sont entiers, leur somme, c'est-à-dire le quotient total , sera entier.

• Troisième principe. — Tout nombre qui divise séparément vî^e SOMME décomposée en deux parties, et l'une des parties, divise aussi Vautre partie,

Car,^e quotient total étant égal à la somme des deux quotiens partieïs , si l'un de ces quotiens partiels étant entier, l'autre était fractionnaire, il s'ensuivrait qu'un nombre entier serait égal à un nombre fractionnaire (n? I); ce qui est absurde. •

6fk, €ela posé , soient les deux nombres 36o et 276 entre leS" quels on se propose de déterminer le plus grand commun diviseur (n° 150).

Il est d'abord évident que ce plus grand commun diviseur ne saurait surpasser le plus petit nombre 276 ; et comme 276 se divise lui-même , pourvu qu'il divise 36o , il sera le plus grand commun diviseur cherché.

Essayant la division de 36o par 276 , on trouve pour quotient I , et pour reste 84 ; donc 276 n'est pas le plus grand commun diviseur. Je dis maintenant que le plus grand conif mun diviseur entre 36o et 276, est le même qu entre le plus petit nombre 276 et le reste 84 de la division,

£n effet y le plus grand commun diviseur cherché devant

DU PLUS GRAND COMlfUN DIVISEUR. 7!

diviser 36o et Tune de ses parties 276, divise nécessairement (d* SI) l'autre partie 84 ; d'où Ton peut déjà conclure que le plus grand commun diviseur entre 36o et 276 ne peut sur^ passer celui des nombres 276 et 849 puisqu'il doit diviser ces deux derniers. En second lieu , le plus grand commun diviseur entre 276 et 84 » divisant les deux parties du tout 36o , diîise nécessairement ce dernier nombre; et alors, étant diviseur exact de 36o et 276^ il ne peut lui-même sur^ passer le plus grand commun diviseur entre 36o et 276. D'où l'on voit que le plus grand commun diviseur entre 36o et 276, et le plus grand commun diviseur entre 276 et 849 De peuvent êlre plus grands l'un que l'autre ; donc ils sont ^gaux.

Ainsi, la question est ramene'e à rechercher le plus grand commun diviseur entre 276 et 84 9 système plus simple que celui des nombres 36o et 276.

Pour cela , raisonnons sur 276 et 84 comme nous avons raisonné sur les nombres primitifs ; c'est-à-dire, essayons la* division de 276 par 84 ; alors , si la division se fait exactement y 84 sera le plus grand commun diviseur entre 276 et 84 9 et par conséquent , entre 36o et 276.

En effectuant cette nouvelle division , on a 3 pour quotient et 24 pour reste ; donc 84 n'est pas le plus grand commun diviseur cherché. Mais, par «un raisonnement analogue à celui qui a été fait ci-dessus , on prouvera que le plus grand diviseur commun à 276 et à 84» est le même que celui qui existe entre le premier reste 84 et le second 24* . Répétons ce raisonnement : le plus grand commun diviseur entre 276 et 84, devant diviser 84 9 divise nécessairement son multiple 3 fois 84 ; ainsi , divisant un tout 276 et l'une de ses parties, 3 fois 849 il divise l'autre partie 24; donc déjà, le plus grand commun diviseur de 276 et S^^ne saurait surpasser celui de 84 et 24* D'un autre côté, le plus grand diviseur commun entre 84 et 24, divisant 3 fois 84 et 24 9 qui sont les deux parties de 276 9 divise nécessairement 276 ; ainsi , divisant 84 et 276 9 Une peut surpasser le plus grand diviseur

^2 DU PLUS GRAirO COBlIfDN DIVISEUR.

commun entre 84 et s'jô. Le plus grand commun diviseur de /â76 et 84 y et celui de 84 et 24 9 ne peuvent être plus grands l'un que l'autre ; donc ils sont égaux.

La question e'tant actuellement ramene'e à rechercher le plus grand diviseur commun entre 84 et 24 9 il faut de même diviser 84 par a4* ^^ effectuant cette nouvelle division , on obtient 3 pour quotient et 12 pour reste; donc 24 n'est pas le plus grand diviseur commun ; mais , comme ce plus grand commun diviseur est le même que celui qui existe entre 24 et le reste 12 , divisons 24 par 12; nous trouvons un quotient exact 2 ; ainsi 12 est le plus grand commun diviseur entre 24 et 12; il Test donc aussi entre 84 et 24) entre 276 et 84) entre 36o et 276. Donc enfin , 12 e^t le plus grand commun dMseur cherché.

Dans la pratique j on dispose ainsi l'opération :

36o 2*76 Si. 2i 12

Après avoir divise 36o par 276, ce qui donne pour quotient t, qu'on place au-dessus du diviseur (au lieu de le placer au-dessous comme à l'ordinaire) , et pour reste 84 9 on e'crit ce reste à la droite du plus petit nombre 276, et l'on divise 276 par 84 ; on obtient un nouveau quotient 3i que l'on place au-dessus du diviseur 84 9 et un reste 24 qui s'écrit à la droite de 84 ; et ainsi de suite.

RÈGLE GÉNÉRALE. — Pour trouver le plus grand dis^iseur commun à deux îwmbres, divisez le plus grand nombre par le plus petit; s* il rCy a point de reste, c'est le plus petit nombre qui est le plus gf'ond commun diviseur,

S* il jr a un reste, divisez le plus petit nombre par ce reste; et si la division se fait exactement , c'est ce premier reste qui est le plus grand commun]diviseur.

Si cette seconde division donne un reste, divisez le premier reste par le second; et continuez toujours de diviser par le dernier reste le reste précédent , jusqu'à ce que vous obtenieif