CHAPITRE V

Propriétés générales des Nombres.

. / 108. ÏNTRODUCTiorr. -— Avant de pénétrer davantage dans la science des nombres , et pour en découvrir plus facilement de nouvelles propriétés , il est indispensable d'emprunter à l'Algèbre quelques-uns de ses matériaux, tels que les lettres et les signes , à Faide desquels on indicj^ue d'une^nanière générale et aoregec lés opérations et les raisonnemens que comporte la résolution dSiue question.

Ces élémens ^ont au nombre de dix principaux, que nous allbns îahre connaître successivement.

I®. X«es lettres , qu'on emploie à la place des chiffres pour réprésenter les nombres.

Leur usage offre à la fois une écriture plus concise et plus génèl*ale que celui des cliiffres ; il fait mieux ressortir l'existence de telle où telle propriété, pat rapport à une ou plusieurs <|l^s^.4e nombres.

i^, Jjié3qjèc^4* 9 do^nt en se sert pour marquer l'addHion de 4eux "OU "plusieurs Bombres , et qui s'énonce : plus.

%JttiA ytfi'+^i s'énonce : 4^ /'^''^ ^3 , ce qui signifie 4$ augmenté de 23; de même, a-\-b -{-c s'énonce : a plus b plus c, c'est-à-dire le nombre désigné par a , augmenté du nombre exprimé par ^ ^ et du nombre exprimé par c.

3®. Le signe —, qui s'éB"<5frce : ifiôins^ et que l'on place devant UR nombre <|u'il s'agit de soustraire d'un autre nombre.

NOTIONS SUR LES SIGNES ALGÉBRIQUES. l5l

^«isi, 73 — 49 s'énonce : 78 moins 49 » cVst-à-dire 78 dir- Hfu^é de 49 » "^^ bien encore , i'ekcès de 78 sur 49 ; « — b 'énonce a moins b, *■

4^. Le signe de la multiplication, qui est X 9 ou nn point, ]ae l'^n place entre deux aombres , et qui s'e'nonce : multi^ plié par.

Ainsi ^ 29 X 35, ou 29. 35, s'e'nonce : 29 multiplié par ZB^ c est-à-dire le produit de 2.Qpar 25 ; û X A > où a. é , s'e'nonce : û multiplie' par ù,

A^. B, — Lorsque les nombres dont il faut indiquer la multiplication , sont exprime's par des lettres, on convient encore ^6 les écrire les uns à la suite des autres sans interposition ^ signe ; ainsi ab signifie encore a multiplié par b, Hais il ^st bien entendu que la notation ab ne peut être employée qiie lorsque les nombres sont désignés par des lettres; car, si l'on voulait, par exemple, représenter le produit de 5 par 6, et [^e l'on écrivît 56 , on confondrait cette notation avec le 'Oiubrc cinquante^six . Dans ce cas, il est indispensable d'emloyer le signe X ou nn point, et l'on écrit 5x&'ou 5.6.

IjC signe de la division, composé de deux points I que l'on laice entre le dividende et le diviseur, ou bleii encore d'une ^arre — , au-dessus et au-dessous de laquelle on place respecti* '^^ment le dividende et le diviseur.

Ainsi ,24 I 6 , ou -~, s'énonce : 24 dis^isé par 6 , ou /e quo-

a tient de 24 p^r 6. De même , a : 6 , ou t , s'énon^^e c a divisé

par b. La notation ^ est la plus usitée.

6°. Le coefficient, signe que l'on emploie pour indiquer Tadiition de plusieurs nombres égaux exprimés par des lettres, iinsi , au lieu d'écrire a + a-^-a +a-\'à , qui représente l'adlition de 5 nombres égaux à a , on écrit 5a. De même , i la exmme l'addition de 11 nombres égaux à /i ; mab ^ l'addition le 12 nombres égaux au produit de a pat b.

Le coefficient est donc un nombre particulier^ éttlt ^ ^'^

iSsi NOTIONS

gauche d'an autre exprime par une ou plusieurs lettres, et qui marque combien défais on doit prendre la lettre ou le proAit que représentent ces lettres,

7®. L'exposant, signe dont on se sert lorsqu'un nombre désigné par une lettre , doit entrer plusieurs fois comme facteur dans un produit. Ainsi , au lieu d'écrire a'Xa'XaXaxa, ou aaaaay on écrit plus simplement {f*^ que l'on prononce a cinq , ou plutôt a 5^"" puissance.

On appelle puissance le re'sultat de la multiplication de plusieurs nombres égaux , et degré de la puissance \ la quotité des nombres égaux multipliés entre eux.

Vexposant , signe de ce degré , s'écrit à la droite et un peu au-dessus d'une lettre ; il marque combien de fois la quantité exprimée par cette lettre, doit entrer comme facteur dans un produit. ( Lorsque l'exposant de la lettre doit être i , on se dispense de l'écrire. Ainsi , a* est la même chose que a,)

On appelle racine 2* , 3* , 4'» ^'"^ nombre , un second

nombre qui, élevé à la 2*, 3*, 4* puissance , peut pro*

duire le premier nombre. Ainsi , 3 est la racine 2* de 9, parce que 3 fois 3 font 9; 7 est la racine 2* de 49, parce que 7 fois 7 font 49; 4 ^^^ ^^ racine 3* de 64, parce 4 ^ois 4 font 16, et que 4 fois 16 font 64.

Les racines 2* et 3* s'appellent encore racines carrée et ckbique,

^®. Le signe {/, dont on fait précéder un nombre lorsqu'on

veut indiquer que Ton a ù extraire de ce nombre une racine

d'un certain degré. Ainsi , |/a s'énonce : racine troisième de ^i

|/ô s'énonce : racine quatrième de b.

Lorsqu'on veut indiquer une simple extraction de racine carrée ou deuxième, on écrit seulement devant le nombre, 1^ signe ^ sans placer aucun nombre en dedans du signe; ainsi f V/â signifie racine carrée ou deuxième de a,

9*. Le signe au moyen duquel on exprime que deux qnan' tités sont égales. Ce signe est = , et s'énonce : est égalà^ oa

SUR LES SIGNES ALGEBRIQUES. l53

simplement, ^^a/e. Ainsi a=zb signifie a est e'gal à b ^ ovl a égale b.

Pour exprimer brièvement que l'excès de 36 sur aS est égal à 1 1, on écrit 36 — 25 = 1 1 ; c'est-à-dire 36 moins 25

^leii.

les expressions a:=:b , 36 — 25 = ii, se nomment des ^ioUtés; la partie à gauche du signe =, s'appelle /^remzer membre, et la partie à droite , second membre, 10». Le signe d'in égalité', > ou < , dont on se sert pour qx^ J primer qu'une quantité est plus grande ou plus petite qu'une aulre (en observant que l'ouverture du signe doit toujours être tonroee du côté de la plus grande quantité). Ainsi, a'^by signifie a plus grand que b ; a^b , signifie a plus petit que b. I 109. Pour donner une idée de l'emploi de ces différens si- (y gnes, et de la simplicité du langage algébrique , faisons quelques applications.

n| Supposons d'abord que l'on veuille exprimer qu'un nombre ;,| représenté par a doit être élevé à la 4^"*' puissance, que le produit résultant doit être multiplié 3 fois de suite par b , et qu'enfin le nouveau produit doit être multiplié 2 fois de suite 1 par c ; on écrira simplement a^b^c^,

i Veut-on exprimer qu'il faut faire la somme de 7 nombres ^ ^gaux à ce dernier, ou le multiplier par 7, on écrira 'ja^b^c*, De même , 6a^^* est l'expression abrégée de 6 fois le produit oela 5* puissance de a par la deuxième puissance de b.

3a — Sb est l'expression abrégée de l'excès du triple de a *or le quintuple de b.

7.a^ — ^ab -+"4^* est l'expression abrégée du double du carré ^^0, diminué du triple produit de a par 6, et augmenté du î^adruple du carré de b .

On appelle monôme , ou quantité à un seul terme , ou simplement terme, une quantité algébrique qui n'est pas composée de parties séparées les unes des autres par les signes de ^ addition ou de la soustraction ; et polynôme ou quantité à plusieurs termes , une expression algébrique composée de plu- ^'enrs parties séparées par les signes + et — ; ainsi , 3a, 5«%

fSi K«mOirs ÉUÉKENTAIIIES

^i^i^f «ont des tacmottes; 3a -— €^, 20*-— 3a6 4- 4^% ^>ok3 des polynômes ; la première de ces deux expressions est di^ MH binôme , pfarœ ^lu'eUe a deux termes ; la seconde , un ir^ neme^ parce qu'elle en a trois ^ tic. . . •

Voyons maintenant comment on peut effectuer sur d^ quantités exprimées algëbrîquement , les opérations fiondame n taies de rArith«iétiq4ie, en nous bornant toutefois aux cas hci plus simples , ceux sur lesquels bous aurons à nous appujei dans la suite de ce Traité.

|I0. AddUion."^ Pour exprimer qu'il faut ajouter les deux nombres a et ^ , on écrit simplement « h(- 6. De. même , a.+^ -I* e indique raddition des nombres a^h^c\ cela résulte é» notations contenues. De même, a — ^ et c + d^-f ajouUls £nsemble , foiment la quantité unique a — ^ + c + d-^f»

Si l'on avait a — b et A— <; k ajouter, on écrirait a — 6-J- A— c; mais comme, d'une part, b est soustrait, et que, de l'autre 1 il est ajouté , ces deux opérations se compensent ; d'où il suit que l'expression se réduit à 4 •— c. Cette simplification se désigne, en Algèbre, sons la dénomination de réduction des termes semblables,

lit. Soustraction. — Pour soustraire 6 de dt, on écrirai— ^' De même, si l'on avait c à soustraire de a — 6, on écrirait a — A — c.

^it maintenant k soustraire l'expression c-— J de l'expression a — ^ ; 00 pourra d'abord indiquer la soustraction , de cette maaière : a — i -^(c — d) , en écrivant entre deu:t parenthèses U seconde quantité c — d , et la faisant précéder du signe — . Mais quand on veut réduire le résultat à un seul polynoine, voici comment il faut raisonner :

Si l'on avait c tout entier à retrancher de a — & , il viendrait pour résultat , a— -6 — c ; or, comme ce n'est pas c, mais bicac diminué de d^ que l'on a à soustraire , le résultat a — b — c est trop faible du nombre d'unités qui se trouvent dans d ; ainsi, on ramènera le résultat à sa juste valeur, en ajoutant d à U'^b'-^c^ et il viendra a — ô— c-^-d.

D'où il nés^te qiMj powr soustraire un polynôme dtnn

SUR LES OPÉlUTiOBîS ALGJSBftIQUES. l5€

autr^^ il faut écrire le premier à la suite du second^ en ckan^ géant les signes de tous les termes ^u polynôme à soustraire.

(hi trouvera d'après ceite règle , et par des raisonneméni aoalogiiesy

119. Multiplication. — Soit à multipliera^ par 6^? On écrira a^ X 6^, ou simplement a^b^.

Mais si l'on a a^ à multiplier par a^, on observera que le nombre a étant 5 fois facteur dans le multiplicande, et 3 fois facteur dans le multiplicateur, doit être 5 + 3, ou 8 fois facteur dans le produit ; ainsi l'on a i^ X à^ = «* ; c'est-à-dire que, ^uand la lettre est la même dans les deux facteurs de la mut* ^iplication, on l'écrit une seule fois en lui donnant pour expO" sant la somme des expos ans des deux fadeurs. On trouveï'âit de même a^i* X a^Pzzza^^ -, a^'b X aP = cvb^ , en se ^appelant (n°i08, ^*») que bzmb^ a-r=za\ et se fondant sur 'C principe général établi n^ 28.

Soit maintenant a— b 11 multiplier par cl On peut d'abord indiquer le produit de cette manière ': (« — A)c.

Mais si l'on veut obtenir un seul polynôme , on remarquera ^Ue, multiplier {a — b) par c revient (n° 25) à multiplier c par (^ — h) , c'est-à-dire à prendre c autant de fois qu'ai y a d'unités ^^ns a diminué de 3 ; si donc on multiplie d'abord c par a tout entier, ce qui donne caou ac, le produit est trop fort de celui ^e c par ^ , ou de ^c ; ainsi , il faut reU'ancber bc de ae , et l'on obtient ac — bc pour le produit demandé.

C'est-à-dire que (a— ^)c=:ac — 6c.

Soit encore (a — b) à multiplier par (c — d) ? Le produit peut d'abord s'indiquer ainsi : {a — b) {c — d)» Mais pour obtenir un seul polynôme, on commence par multiplier (a— fr) par c, ce qui donne ab — 6c; et l'on observe ensuite que ce n'est pas par c tout entier que l'on avjBÛt à multiplier {a — 6) , mais bien par c diminué de d.

l56 NOTIONS ÉLÉMEIVTAIRES

Ainsi y le produit ac^^bc est trop fort du produit dé (a— -^) par dy c'est-à-dire trop fort de ad — bd. Donc , pour ramener le premier à sa juste valeur, il faut retrancher ad^—hdit ac — bc\ ce qui donne , d'après la règle de la soustraction, ac — bc'^ad+bd.

Pour effectuer la muItipUcatior^de deux binômes, nutltipUez séparément chacun des termes du multiplicande par chacun des termes du multiplicateur^ en observant par rapport aux signes des produits partiels, la règle suivante : Si les deux termes que Ton multiplie sont tous les deux affectés du même signe, leur produit doit être affecté du signe + y mais s* ils sont affectés de signes différens, leurprodytit doit être affecté du signe —I

On trouvera , d'après celte règle, que (a-{-é)(c— if) = ac+ bc — ad — bd-^ ( a — é ) (c -|- ^) = ^^ — ^^ + ad-^bd»

115. Division. — Nous ne conside'rerons qu'un seul cas de cette opération. C'est celui de deux monômes composés de la même lettre.

Soit a7 à diviser par a? ?

On peut d'abord indiquer le quotient de cette manière , -^

ou a^ l a^. Mais observons que , comme à^ est un produit dont €1^ et le quotient sont les deux facteurs, l'exposant 7 du dividende doit être ( n® 112) égal à la somme de l'exposant 3 du diviseur et de l'exposant inconnu du quotient ; donc réciproquement , celui'^i est égal à F excès de Vexposant du dividende sur V exposant du diviseur, c'est-à-dire 4 7""3, ouà4«

a' Ainsi , — T = a^ : en effet, «♦ X ûi' = à?, a* '

On trouvera de même -77= ô* ; — y = c* ou c ;

0^ cr

^'*' = a«6' = ab.

Par analogie, on trouvera — = û®, --5 =a°, — jssa^

çt comipe d'ailleurs chacune des expiressions -^ » --^9

stm LIS onfBATioirfl ALGéniQUES* 1(7

-^,..« a pour vraie valeur V unité, on en tirera cette con-

«équence s. •«••«•••.•»•••• .ii*2st«

La notation a* mise quelquefois à la place de VtktLiié^ offire Vayantage de conserver la trace d'une lettre qui , entrant d*a' bord dans le calcul , a dû disparaître par l'effet des simplifications.

Les autres cas de la division sont inutiles à considérer pour l'objet que nous nous proposons.

Telles sont les seules notions sur l'Algèbre, dont nous aurons à fiiire usage dans le cinquième chapitre et dans les suivans.

114. Pour faire ressortir dès à présent les avantages que l'on peut retirer de l'emploi des lettres pour repre'senter les nombres , nous résoudrons les deux questions suivantes :

I**. Quel changement produit-on dans une fraction en ajou' tant un même nombre à ses deux termes (cette question a déjà été traitée n» 49) 7

Désignons paK. 7 la fraction proposée , et par m le nombre

que l'on ajoute aux deux termes a et 6 de cette fraction ^ ce

qui donne la nouvelle fraction -=— .

Pour comparer ces deux fractions , réduisons-les au même dénominateur ; il vient pour la première fraction , ttt-^t — { >

et pour la seconde, 71 rr; ou bien, effectuant les calculs

d après la règle du n» IW , jr^-g^ et jj^j-g^.

Or, les deux numérateurs ab^^am et ab^bm ont une partie commune ab, et la partie bm du second numérateur est plus grande que la partie am du premier, puisque l'on a b^a. Donc aussi> la seconde fraction est plus grande que la première. Ainsi, l'on augmente la valeur dune fraction , en ajoutant un même nombre à ses deux termes»

La vérité de la proposition exige d'ailleurs , comme on le

l6o THJÎORIE XïéNéRAtE

§ 1*'. Théorie des àifférens systèmes de numération,

âiÔ. Nous ayons vu (n^ ^) comment, à l'aide de dix carac* tères ou chiffres , on parvient à représenter tous les nombres^ en partant de ce principe de convention , que tout chiffre placé à la gauche d'un autre , exprime des unités dix fois plus grandes que celles de cet autre chiffre. Nous nous proposons maintenant de faire voir qu'on peut également écrire tous les nombres avec plus ou moins de dix caractères, pourvu qu'il y en ait au moins deuXj et que le zéro en fasse partie.

On appelle, en général, base d'un système de numération, le nombre des chiffres qu'on emploie. Le système où l'on fait usage de deux chiffres, se nomme sysiènxeJb inaire, celui où Von en considère trois , système ternaire, etc.

Dans tout système de numération analogue au sy s tènie décimal , on convient que tout chiffre placé à la gauche d^ un autre exprime des unités autant de fois plus grandes ,par rapport à celles de cet autre chiffre, quiljr a d! unités dans la Base, ceA* à" dire dans le nombre des chiffres du système. Ainsi, dans le système binaire, les unités de chaque chiffre acquièrent dies valeurs de deux en deux fois plus grandes à mesure que l'on recule d'un , de deux, de trois. . . . rangs vers la gauche; dans le système ternaire, les valeurs des unités de chaque chiffre sont de trois en trois fois plus gi'andes; et, en général, dans un système dont la base est B , les unités de chaque chiffre acquièrent des valeurs de B en B fois plus grandes, à mesure que l'on recule de droite à gauche.

Lorsqu'un nombre est écrit dans le système dont la base estB, le premier chiffre à droite exprime les unités du premier ordre, le chiffre immédiatement à gauche, les unités du second ordre, lé chiffre à gauche de ces deux-là, les unités du troisième ordre, et ainsi de suite. Il faut B unités du premier ordre pour former l'unité du second ordre, B unités du second ordre pour former l'unité du troisième ordre , etc.