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écrit 2 qui est le plus petit diviseur de 588o, à c6té del barre y et sur la même ligne que 588o ; puis on effectue la di yision , et Ton place le quotient 2940 au-dessous de 588o.
2g4^ étant encore divisible par 2 , on écrit ce nouveau di* viseur au-dessous du précédent , et le nouveau quotient 147 au-dessous de 2g4o.
1470 étant encore divisible par 2 , on place ce nouveau diviseur au-dessous du précédent , et le nouveau quotient ]3J au-dessous de 1470*
Le quotient 735 n'est plus divisible par 2, mais il Test par} nombre premier le plus simple après 2. On écrit 3 au-dessott du dernier diviseur 2 , puis on divise 735 par 3 , ce qui donm pour quotient a/^S qu'on place aur-dessous de 735.
' 245 n'est plus divisible par 3 , mais il l'est par 5 que Ton écrit au-dessous du diviseur 3 ; et l'on a pour nouveau quotient 49 » qu'on place au-dessous de a^S.
49 n'est plus divisible par 5, mais il l'est par 7, qu'on écrit sous le diviseur 5. Le quotient de 49 p&i^ 7 ^^^ 7i qu'on place au-dessous de 49*
Enfin f 7 étant un nombre premier, on l'écrit de nouveau comme diviseur, dans la colonne à droite ; et l'opération est terminée.
On obtient alors , pour le résultat de toutes ces opérations,
et le nombre se trouve ainsi décomposé en ses Jac leurs sim* pies.
Second tableau. «- Formation de tous les diviseurs , tant simples que composés. {I^ojrez la page suivante.)
Pour obtenir tous ces diviseurs , on écrit d'abord sur uni même ligne horizontale les quatre tiombres 1^2,49^9 V^ sont évidemment diviseurs de 588o , puisque i est diviseur d( tout nombre, et que, d'après la décomposition opérée ci' dessus, 588o a pour facteurs 2^ 2', 2^.
Cela posé, on multiplie tous les termes de cette premier ligne par le facteur 3, et l'on obtient une nouvelle ligne d
DE TOUS LU DIVISEURS d'UH NOMME. 189
iseurs, 3,6, ta, a4, qu'on place respectivement au-des-
is des précédens.
^assant au facteur 5 , on multiplie tous les termes des deux
les précédentes par ce facteur, et l'on obtient deux nou-
les lignes de diviseurs, 5, lo. . , i5, 3o. ..
^assaut au facteur 7 qui entre deux fois dans le nombre
posé, on multiplie d'abord tons les termes des quatre
les précédentes , par ce facteur, ce qui donne quatre nou-
les lignes de diviseurs , puis tous les termes de ces quatre
nières lignes , par le même facteur 7 , ce qui donne encore
2ire nouvelles lignes de diviseurs.
)n a donc, en tout, 12 lignes de 4 nombres chacune , bu 48
nbrcs qui sont autant de diviseurs de 588o.
la.
io5.
\ est d'ailleurs facile de voir i®. que tous les produits obus dans cette opération , sont des diviseurs du nombre posé (cela résulte de l'expression 588o =2^. 3. 5 . 7'); 2*. que lonibre ne saurait eu avoir d'autres. {Fojrez n* iSS.) ^. B, — Dans la pratique, il convient , pour la formation second tableau , d'écrire sur la première colonne horizon— : , les puissances du facteur premier qui entre le plus défais s le nombre proposé ; l'ordre des autres facteurs est ensuite t-à-fait indifférent.
Tous proposerons pour exercice ^ de trouver tous les divi-
igo KECHEACHE DE TOtS LES DIVISEURS O'mf NOKBRE.
seurs des nombres
que Von feconnaî ira respectivement égaux à
U6. Dès qu'on a opère' la décomposition d'un nombre en ses facteurs simples , on peut aisément obtenir Texpressioii du nombre total des disfiseurs que renferme le nombre proposé, sans être obligé de former le second tableau.
Reprenons en effet l'expression générale
N = a" b?di d\ et considérons la première ligne de diviseurs
dont le nombre est exprimé par (1 + 1).
£n multipliant tous les nombres de cette première ligne, successivement par les tenues ^*, ^*, i^, . . . bP^ qui sont en nombre/? , on forme un nombre/? de nouvelles lignes de diviseurs de (n-|- i) termes chacune, ou {n+ i) X/^ diviseurs, auxquels il faut ajouter les (w+O <^i viseurs de la première
ligne, ce qui donne (/i + i)/^ + («+ 0> ^^ ('^^ (j^+0- [^ Tous ces diviseurs sont des puissances de ^z et de ^ prises isolément ou combinées deux à deux.]
Multipliant maintenant tous les termes de ces ditlérentesli' gnes de diviseurs, successivement par les termes c' , c* ,c' , . . .c*, qui sont en nombre q , nous obtiendrons un nombre de non- Telles lignes de diviseurs, exprimé par (/i 4. i) (/7-1-1) x?» auquel il faudra ajouter le nombre (1+1) (jP+ i) desdivi' seurs formes précédemment.
Ainsi le nombre total des diviseurs déjà obtenus est exprimé par
iP+i) {p+i)X q+Xn'\.\) {p+ 1), ou [n+i) (/>+!) (y+i)|
et ainsi de suite.
CARACTÈRES DES NOMBRES PREMIERS. igt
D*où l'on déduit cette règle : augmentez d'une unité chacun des exposansn, p , q, des différens facteurs premiers qui'en^ trent dans N , puis multipliez entre eux ces exposans ainsi augmentés d'une unité ; le produit exprime le nombre total des diviseurs de^ jjr compris V unité et le nombre lui-même, qui doivent l'un et l'autre entrer en ligne de compte.
Dans l'exemple traité ci-dessus , comme on a trouvé
on doit avoir (3+i) (i+i) (ï+0 (2+1), ou 4. 2. a. 3, on/^S, pour le nombre total des diviseurs ; c'est en effet ce qui résulte de la formation du second tableau.
146. Bemarque. — Il arrive quelquefois qu'en essayant la division d'un nombre N par les facteurs premiers 2 , 3 ,5, 7 ... , on n'en trouve aucun qui le divise exactement. Or, lorsqu^on a poussé l* épreuve jusqu à la partie entière de la racine carrée rfcN {vojez le numéro i08, 7**), sans trouver aucun diviseur exact, il est inutile d* essayer de nouveaux diviseurs , et Von peut assurer que N est un nombre premier.
Ainsi, 73 est un nombre premier; car la racine carrée de 78 est comprise entre 8 et 9 , et aucun nombre entier jusqja'à 8 inclusivement, ne divise exactement 78.
Pour démontrer cette proposition , soient deux nombres A et B , dont le produit est égal à N ; et désignons par R la racine carrée de N.
On a AxB = RxR.
Or, pour que cette égalité subsiste , il faut évidemment que , si l'on a A > R , on ait par compensation , B < R ; ce qui prouve qu'il ne peut exister un diviseur de N , plus grand que B., par cela seul qu^l n'y en a pas de plus petit. Ainsi le nombre est premier.
Les jeunes gens qui savent déjà extraire des racines carrées Reconnaîtront sans peine, d'après la remarque précédente,
192 FOEMATION d'une TABLE DES NOMBRES PBË1HER8.
que 113,719,977,3329,8123...., sont des nombres preniiers(*).
i47. Formation d'une table des nombres premiers*
Soit proposé , par exemple , de former une table de tous les nombres premiers depuis i jusqu'à 1000.
En concevant les 1000 premiers nombres e'crils à la suite les uns des autres, on commence par supprimer i®. tous les nombres pairs, autres que 2; 2^. tous les nombres multiples de 3, autres que 3 (n° i5.7) ; 3". tous les nombres terminés par un 5, autres que 5 (n° i56).
Ces premières suppressions opérées, on peut déjà affirmer que tous les nombres , compris depuis i jusqu'à 7 X 7 ou 49» et qui n'ont pas été effacés, sont des nombres premiers (puisque le plus petit multiple de 7 restant, ne peut être que
Ainsi, tous les nombres premiers depuis i. jusqu'à 47 inclusivement, sont déjà connus.
Maintenant , si l'on efface tous les multiples de 7 à partir de 49 , on peut affirmer que les nombres non supprimés, jusqu'à II X II ou 121 exclusivement, sont des nombres premiers ( puisque tous les multiples de 1 1 inférieurs à celui-là , ont dû disparaître).
Donc tous les nombres premiers depuis i jusqu'à ii3 sout connus.
Efl'açant de nouveau tous les multiples de 11, à partir de iiXi I, on pourra conclure (jue tous les nombres non effacés et compris depuis 11 3 jusqu'à 167, nombre premier immédiatement inférieur à 169 ou i3 X i3, sont des nombres premiers; et ainsi de suite. On voit avec quelle promptitude
(*) Cens auxquels celte opération ne serait pas familière peuvent se borner h la rccle suivante :
Lorsque après avoir essayé successivement , sans aucun succès^ les nombres premiers a, 3, 5, 7, .... , on parvient a un quotient moin" dre que le dernier diviseur essayé ^ on peut affirmer que le nombre
çst PREMIER.
BfoOCT. DES FaiCT. AU PLUS PETIT DÉKOlf IKAT. COlUÉm^. ifii
OA peut former une tabU de nombres premiers asdéz étéil*W due (*).
148. Réduction des fractions au même dénominateur. -^ La, règle générale établie , n® 47 , pour réduire deux où' plusieurs fractions au même dénominateur, conduit ordinairemën t a ués fractions dont les termes sont très grands. Cependant , lors^ûjQL les dénominateurs primitifs renferment des fatteur$ com£iuiîsy il est possible d'obtenir un nombre beaucoup plus petit ^Ufe leur produit, qui serve ensuite de dénominateur cothihiin/â Routes les fractions. C'est donc une question importante à traiéër,'pStii^ la simplicité des calculs , que celle qui consbte ai déterhSthè? le plus petit multiple commun aux dénominateurs de Heùxou de plusieurs fractions.
Or, voici la règle qu'il faut suivre pour obtenir ce nombre V Décomposez, d'après la règle n® i44, les différens dêhorkina^ leurs dans leurs facteurs premiers ; formez ensuite lé proétuit de tous ces facteurs premiers élevés respeclivémçnt à là plus haute des puissances auxquelles ces facteurs àe trouvent élevés dans les différens dénominateurs. Le produit ainiii'fQrmé e&iUf nombre demandé. ' ' ; v *
D*abord, ce nombre est mz/fti]pZe de chaque dénominateur, puisqu'il contient tous les facteurs premiers à une' puissance au moins égale à celle qui entre dans ce dfénomiuateiUr;. Je dis , en outre , que c'est le plus petit multiple comwiun à tous; car, pour contenir exactement un dénominateur '^tièlcônque, il faut qu'il renfern^e cbaque facteur premieip'.à une puissance au moins égale à, pelle qui entre dans ce dénominateur.
Soit, par exemple, proposé de réduire à un même dénomi-* nateur les six fractions suivantes ,
lÈ U J^ 173 3irg 5à3 '
Les. six dénominateurs décomposés dans leurs facteucs lim*^
(^) Gmtus méthoàt on confine sons te nom de Oi6/«d'ÉRATosTBàirE.
pl^i 4'#|^^s U i^ègU connue, revieniient &
2\3.5, 2V7, 2^.3.5, 3'.5% 2.5.7% aU*.5.
lies j^u\^, facteurs premiers qui entrent dans ces 4^noimiUh teursy sokipLp 3, 5 e% 7 ; et les plus hautes puissances auxquelles ^es facteq^^ pre94e;rs s,' j trouvent éWés, sont a^, 3*, 5% j^. Formant ^dQi^ç lé, produit de ces plus. hautes puissances, on Irouve i^^po ppi^r le plus petit multiple commua à tousks aénomibaj^i^^^ est le dénominateur commua
âuguel dVj^it 4e ré4uirj^ toutes les (iraçtions. ^ ^Jljif ,êxecuter ^ette opération , on divise séparén^nt k dé?
nominiUe|u^ cofo^nuf^, par le^ dénQiiiioateur de cha^çune 4^ tractions proposées ; et l'on muitiplie le nuii\ératear par k quotient correspondit.
.-ïM^^hl y^9^ ^xçippla y considérons d'aboird la premiiie
[m [^V^^fvâ^^^^^^ V^ ^^ > ^^^^ ^40 P9« quotient;
^9^t, Çff mWf^^^ ï^,»»We>*teiyr de çett^ fraaion piM: 99/^
1 70400 P^f^n^ à 1^ 9|sç0P.dç fraction, et divisant 1 76400 par ^^on ^ j^pur qu<^Upt 63oo; 4'oii, multipHa^t le x^çunéirateiu pu
A^. i, « .^^vU^v,•'"•-'^^^ '
On tr^uyer^it; d^e i^îême poujc les quatre decpière&fr^ictiqiUy
i. ! 16905 i3563!i 1^4840 i28f35 i7^od'^ i764<^o* 176400' i 7640b*
Ciés diverses opérations sont déjà assez compliquées; notais elles seraient bien plus laborieuses, et Ton parviendrait à un dénominateur ii;ieon)parableifien( plus grand si l'on suivait la règle établie ij? $7. (On prouverait 3^oo6o.t6oooooo.)
Au reste, les décompositions des dénominateurs dans leurs &ct«u»>aii»ples se font), le plus souvent, à là iteuleinspeetloQ â^ .fies, nombres , surtout lorsqu'ils renferment plusieurs fe» les i^cteurs ^, 3,; 5, pour lesquels on ^ des. caracières de éSr
UnCARQUES SUR LE VLVS GRADTD COIOItm DITIIBim* igS
•lisibilité, ainsi que pour lettre îhttltiples ^jS^S^g, 12, rt,^
18,^4,25,36,78;-... ••.•v.A. :. \..^^ ïX■X:^.^»\..
Nous proposerons pour exeitioe ks fraetiôlas èttîfjiftti») ''^
t| 17 >a $07 m; .^pj. §i^-: ..m,-.
ao» 4a' aSo.' 9&»' i9m»? *»4«' iSSif.n. .u-.v,. (Le plus petit mmtiple de tous le« denominaleaii en
£49. — Remarqmes^ ^ift le B^mM^ff^^P^f^ Nous avons e'tabli, n° KS , un procédé pour obtenir le nombre le plus grand qui puisse diviser Ai'lli fois deuii ntmbliP proposés. Ce procédé est simple ; iHUî dlémonstra4on!(||Mkl|Ous en lYons àpunéç , ne laisse lûenj âf:d4sirer sous tb linfMT^ de la rigueur.' Cependant nous allohsrMre connaître quc|||ues propriétés importantes de ce '^uH .'i^and commun diviseur, qui aous conduiront à des simplifications dans la pratique.
PttlsctYt^uh nombre étti\tté(tiàcmèplië\^^ ièè
racîéuiè Bknptes, ne peut àVotr It'iHitftm dltisèiiri'(iP<fH^ que cétf facteurs pl^tntm et leurs téûàÀitii&iàkë^i^ ikStmf}^ itùls à trôM , etc. ; il s'ciisOÎt qb^;aéttf nûttibf^| èiièeii»>i1>Uè pour diviseurs cbttihttos; qtife lësHHdéMifdf ^^îété^M/mÈàÉÊl »«h les combinaisons communes*' dÀ 08« lÉieteafa», ' ; -^ ) .i'*!
Ekmb le plu9 grand oemmun^âMiàul^ de éêùx 011 JMhMficif nombres est le produit àe»Jmèêki^'fnfmiirsc^dm nombrdi, élevés résptetwemem è^iia fda^^ÊâlfU «ifjp^'jMÉij- ^étnëes aujsfmlles^ entrent cesftciaainf ^d§am ka juBÊBàrmêuprê^
^ €ôm6f^amm4 -^ Tetu diviseim çowÊmumàphuMi^mnmtfMu divise leur plus grand commun divisetmy^&nm ^ êfM sU tmn'ik déjâ^é'^tàbli^y n^tti, pjHfir de»xfia«i*BM,'^.*.ji ï iu- f] •
iHh: tiétié {^pnétë fe\[ihiit^tt autre fà^^m éé êéimaiim Upta^ ghind cômtntttt diviseur dedéint libmbrei â' <^ B i àon^ fftéààèxpàr retf^hsr' kms tés aS^fsèàrà dwitài^^l^'kiJP^ig^ ta mêlfioéte du H" iH^ détefininet de niéhe' iàUt'Uë mUéùrs HuhbrhWe B. yt^iermiie yirt* eài hpttàs jgriiMéc'mi 1k
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