Nous ne pousserons pas plus loinTexani^ndfis proprié

i des fractions décimales périodiques Nous nous! bornerons à

aïO DES FRACTIONS CONTINUES.

observer quedes propriëtéaaualogues aux précédentes se mar:» k festeraient datis un système quelconque de nuinératibn dont: h base serait B.

D'abord, pour réduire une fraction ordinaire en subdivision» de B en fi fois plus petites que l'unité, il faudrait, confonaéméntà la règle du n** 91, multiplier le numérateur parBj ou lo, c'est-à-dire .• écrire un o à sa droite , et diviser le. produit par le dénominateur, ce qui donnerait au quotient des unités B fois plus petites que l'unité princi|>a1e» et un certain reste ; écrire à la droite du reste unnouveau o ^- et diviser le' résultat par le dénominateur, ce qui donnerait au - quotient des unités B fois plus petites que les précédentes , ou B' fois plus petites que l'unité principale ; .et ainsi de suite. Ceci admis :

Toute fraction ordinaire dont le dénominateur nereriferme pas. d* autres facteurs premiers que ceux qui entrent dans lit base F, étant réduite en subdivisions de B en H fois plus peti ter que Funité, donne lieu à une fraction d un nombre i^iMiTtfi de cfiiJffres/'Mais toute fraction irréductible dont lé' dénominaleur renferme des facteurs premiers différens de ceux qui composent la base^ donne lieu à une fraction dtun nombre indéfini de chiffres, et périodique ; etc. . .

Et ainsi des autres propriétés ; nous laissons aux élèves le soin d'en rechercher les énoncés et les démonstrations^

%V^ . Des fractions continues (*).

105. Les fractions continues doivent leur naissance à l'évcV luation approchée des fractions dont les termes sont considéi-ablés , et premiers entré eux . w

Pour nous faire mieux comorendre, soit proposée la fraction

(*) Qacl(|ne8-Ri^des naipéros de ce- paragraphe supposent des noiions

d''Algèbre un peu p)us étendues ^ud celles qui ont fait robjct de l'^intro-

duction au cin^utènic-xhQqpigpttaif;^ élèves peuvent passer onirc,baiif

h y revenir lorsqn^ils j^flMpé^tittiniliaribdsvdHvanta^e avecJcs opcratîom tin

'AI:ièbre.,TWi lorsqu'ils sémirotetna ntTccssilé dVtudicr cette thci>ric\

D£S FRACTIONS CONTINUAS. 211.

-T^ doQt ks deux tennes sont premiers enue eux, oomme il fsst

^is^ de le vérifier, et qui, pour cette raison, est (n^ iil5) irréductible.

£n laissant la fraction sous cette forme, on s'en ferait difiici* j ^«meni une idée bien nette ; mais si, en vertu d'un principe ' connu, Ton divise ses deux termes par i5g, ce qui n*en change

pas la valeur, elle devient — / ^ > o^> effectuant la division indiquée au défiomînateur, — jr *...*•.#

Cela posé, négligeons, pour le moment, la fraction -s- ;. la '

fraction x qui en résulte^ est plus grande que la proposée, puis-

qq€ l'on a diminué le dénominateur*

D'un autre côté, si, loin de négliger-^, on i*emplace cette

fraction par i , ce qui donne alors ^— - ou •% , cette nouvelle

fraction est à son tour, plus petite que la proposée, puisqu'on a augmenté le dénominateur.

D'où l'on peut conclure que la fraction 7-^ est comprise

entrer et 7. Ceci donne déjà une idée exacte de la frac*

tion. # .

Si l'on veut un plus grand degré d'approximation , il n'y a

„ . 16 * . , iSo

qu à opérer sur -=- comme on ^k opère sur y-|.

On trouve

212 DES rRACTIOIfS CONTIIflTES.

«t la proposée devient

rerieot

iSi l'on néglige -^, on a - qui est plus etsrnà qne -7-;d*où

I i5û I il siût q«e est plus petit que -^-f • ^«î* w?î<

à — qT^^"^ » ^^'^sî 1^ proposée est encore comprise entre

La dififreiice de ces 4eax dernières fractions est ^ "^^ |

ou ^ • Donc Terreur que Ton commet en prenant ^ ponrh valeur de la proposée, est moindre que ^.

Opérant sur -^ comme on a opéré précédemment, on a

-TT = — ^- = ; et la fraction proposée peut se mettre

sous la forme —

Négligeons -^ • Le nombre -, ou i, est plus grand que -7 ;

donc ou — , est fVhs petit ^e-^.

KÉDUCTIQN ly'VHE FAACT. OftOHIAlBC EN rHAGT. CONTINUE. 2(3

njc ^ou " ,ou ^-^ est plus grand que ^-?.

,1 • lo

D'où l'on voU que -jr^^^ eompris enke ^ ^ ?- • 1^ pvelère fraction est trop petite , et la seconde trop grande. ',. la différence de oes deux fr^t^ous est ?<- — -^^u ocpr ;

^siy Terreur ^e Ton commet en pi«nsmt,.soît -^, soit ^ ,

»iir la» valeur de la fraction proposée, est moindre que ^^.

On voit comment, par cette suite d'opérations ^ on parvient trouYer, en termes plus singles,. 4<^ fraclMUS qui donnent -s valeurs approchées d'une autrui fraction do^it les termes »nt très grands.

L expression

t ce qu'on appelle une faction continue.

Eu général, on entend par fraction continue , une fraction

li a pour numérateur Puniêé, e$pour dénominateur un npm-

"e entier plus une fraction qm a eUà-Wiffne pour numéra -

ur l'unité, et pour dénominateur un entier plus une frac-

on; et ainsi de suite.

Souvent, le nombre proposé est plu^jgfàiid que l'unité. Ainsi,

»ur généraliser davantage l^jié^nition d'une fraction contî-

le, il faut dire s Une fraction continue est une expression

mposée ^un entier, plus une fraction qui a pour numéra-

ir V unité , et pour dénominaieur^ etc. ... i

Telle est l'expression ji+ * ,

ïi/p Ijloq 8ji}f^éf5 — J" ' '

fj jCjd,..,j étant des nombres entiers.

cf-J-f ». »

2i4 riSduction d'one fract. ordinaire en FRACT. OOlITimJE. i64t En réfléchissant sur la marche qui vient d'être suivie

pour réduire ^-^ en fraction continue , on voit que Ton a divisé d'abord 493 par iSg, ce qui a donné 3 pour quotient et i6 pour reste. Qn a divisé ensuite i5g par i6, ce qui a donné pour quotient^, et pour reste i5^ puis on a divisé i6 par iS, ce qui a donQé i pour quotient et i pour reste. De là il est facile de.oenclure le procédé suivant pour réduire une fraction ou un nombre fractionnaire en fraction continue :

'Qpérez sur les deux termes de la Jraction proposée, comme pour irçwer leur plus grand commun éfimeur. (Voyez t? ^9.0 i Pousse:^ 'l'opération jusqu'à ce que vous obteniez un resteégd n à zéro. Les quotiens successifs auxquels vous serez parvenu, seront les dénominateurs des fractions proprement dites qui constituent la fraction continue.

Dans rhjrpothèse ok le nombre proposé est plus grand que Vunité, le premier quotient représente la partie entière qui entre dans l'expression de la fraction continue.

On peut, d'après ce procédé^ réduire en fractions continues

les deux nombres -7- et ^tt^*

Voici lé type dçs opérations ;

dpnc

p]^lNi7iONS^ , 2l5

tf OÙ -,7* = 2 -fr

^ '£eS;fractions continues joQi8S€yQt.<i*an i^ravd nombre de pr^pr^^ tés dont. ia.rec{ierche a été To^ijet des. trs^y^ux.des plus célèbres géomètres*. I^ous ne voulons en faire. copQi^ijUre iq que . les propriétés éléin^taires , celles doni on fait un u^e. firéquenty et dont les d^onstrs^tipnsjont ftpudées sur^spren^iers principes de l'Algèbre. ]S[ous reOiToyons^ pour,de plus amplps. détails , aux Additions de Lçf range à^ TAfgçffre d'j^yff^y \

DÉFIKITIONS. j: