FORMATION DES RÉDUITES CONSÉCUTIVES

106. Voyons s'il n'existerait pas un moyen simple et facile de fonder ces différentes réduites.

La pi*emière est a, q^'on peut mettre sous la forme -.

' . 1 ah *4* I

Lasecohdeesta-f' j, ou, réduisant l'entier en fraetion, — j—- Pour obtenir la troisième, repre'sentée par a H

A suffit de substituer dans la seconde, b -{^ -khi place de ^ ; 1

^ DES RÉDIHTES CONSiCtnriVES. 21 7

^r, en désignant 6 -J — par b\ on aura

ab^\

xpression qui ne diffère de — j^ qu'en ce que 6' ou é + -

emplace 6.

Faisons donc cette substitution; il vient ppur la troisième

al b + -)+! ab^ f- «

éduite, a + i— — , ou — , ou ;

*+i b+i ft+i

lU bien, réduisant les entiers en fractions, et multipliant haut

itbasparc. ^"^t +'',"'"' •

La quatrième s'obtiendra également en substituant dans la roisième , c -(- -^ à la place âe c, ce qui donnera

, (a*+i)(^+5)+« (a6 + i)c+— ili+«

^u , réduisant les entiers en fraction et multipliant haut et bas

' "^^ — {bc + i)d^h •

Sans aller plus loin, on peut voir déjà que le numérateur de I troisième réduite peuts'obtenir en multipliant le numérateur e la seconde par le troisième quotient c , et ajoutant au pro- Uit le numérateur de la première fraction. Quant au dénomi* ^teur, il se forme de la même manièrç^ au moyen des déno- ■inateurs de la seconde et de la première fraction.

Le numérateur et le dénominateur de la quatrième réduite

3l8 UM «C FMAATIOV

s'obciemait rgilfiml en iniiltiplîaAt lapedmaMBl ks deu

iCTiMCSiicUtioisicMiCyparlcuBitfiigif ^aotiertd^ etCDajtro-

tuitanxdcox produits les «tenxtcnncs âc la seandefiaction.

Si l'oD fait «UcalMMi m ht ■nHÔe doat b troiâèneetla

ytiiÎMC lédmtes ooicté fomées, oawatini qae cette iSsii?

Jormation doit sVtendfe aux lédntcs aimuilcs ; maub , pour en

cnwontfcr riyirtitewent la géoéndilé, iiwf itoi wcwgt^â

yh moycB aoqncl on • soaTcnt lecoim en Malhématîqiiq.

lonf leroiis voir <[aey si cette idatîon aGea pour tronié&nta

MMft ■lires de me ifnekonqne, die a cncwelienpMrk

x«diiite snirante ; car alors , a jant été rcocmnae applkilik

k la troisiëmey çlle le sera à la quatrième; étant appBable

k cdle-ô , die le sera à la cinquième, et ainsi de snite indâi-

P O R Soientdonc^y ^, —, inûs rédoites consécntives, rie

R quodcnl ùteomplet anqad on s'est arrêté pour former ^;et

R Or I P supposons que ToD ait g> = ^ w(R c^ R' étant re^ù-

▼ement^aoxàQr+P et Q'r+F).

jljontons maintenant nne nouvelle fraction intégrante -

S la suifte de r, et soit ^ la réduite correspondante; il est clair

S que, pour former ^ , tout se réduit à remplacer dans Texpres-

sion de -^ry ^ V^^ ^+ * ; wnà. l'on aura

S Q(r+^)+P ^ (Q;.4.P),4.Q Rj-f-Q

S et Ton voit que ^ se déduit des deux précédentes , d'après h.

loi énoncée plus haut. Donc celle loi est générale.

DES hédditcs coNSBCUTr?£s. à 19

Ainsi , le numér€Ueur dune rédtiite quelconque se forme en fnuhiplianile numérateur de la réàuite précédente par le quotient incomplet qui lui correspond, et en ajoutant au produit le numérateur de la réduite qui précède de deux rangs celle qu'on veut former. Le dénominateur se forme diaprés la même loi, au moyen des deux dénominateurs précédens .

N, B,r^ Lorsque le nombre réduit en fraction continue, ou x,

left moi^dr^ç que Tunité, on substitue - à la place de tf » afin de

pottToir former la troisièn^ réduite d'kprès la loi , qui Suppose

nécessairement qu'on ait d*abord formé les deux premières

réduites.

• Soit proposé pour pretnier exemple , dt fortner les réduites

consécutives de la fraction continue,

On a pour les defix premières réduites, - et-.

Pour former la troisième', multiplions^ le numérateur i delà secondé par 3, et ajoutons o au produit; multiplions ensuite le dénominateur ade la seconde par 3 , et ajoutons au produit le

dénominateur i de la première ; il vient -.

On trouve de même pour les réduites suivantes ,

On obtiendrait également ffour les différentes réduites de là

8aQ traction continue provenant de ^^ (vojrez n? 164) ,

220 PROPRIETES PRINCIFALCS

167. Conséquence de la loi précédemç^ — Il résulte ëvidemment de cette loi, que les termes des différentes réduites augmentent à mesure que l'on prend un plus |prand Qombre de fractions intégrantes , puisque le numérateur ou le dénominateur d'une réduite quelconque est au moins égalk la somme des numérateurs ou à la somme des dénominalenrs des dm réduites qui la précèdent.