PROPRIÉTÉS DES BÉ061TES

Id8. Prebubre phopriété."- Si l'on prend dans les deux exemples précédens, la différence entre d^ux réduites consécutives quelconques, en convenant de retrancher toujours ixSk réduite de celle qui la suit , ontrouvera constamment pour le numénteur de cette différence , -{- i ou— i, suivant que la seconde des deux réduites que l'on considère, est de rang pair on de rang impair; le dénominateur de la différence étant d'ailleurs toujours égal au produit des dénominateurs des deux rédaites.

Ainsi , dans le premier exemple , on a

or, nous allons démontrer que cette propriété est générale» Pour cela, prenons d|ms la fraction continue générale , trois

réduites consécutives quelconques , 57 , îl> ,57.

On a d'abord ^^ — ^ — Vcy '"

Mais, d'après le numéro 166, R=Qr4.P,R'=Q'r + P'« Mettant pour R et R' ces valeurs dans le numérateur de la différence précédente , on obtient

R Q ^ (Qr+P)Q^-Q(QV + y) R'""Q'~ R^Q^ '

DES BÉDU1T£S. HJLt

ovkf effectuant les calculs et réduisant,

R Q PQ'— <y

est numériquemeni égal, mab de signe contraire, au numérateur de la différence ^ a^OU- (yp>^>

Cest-à-dire que fe^ numérateurs de deux dijfférences con-^ sécudves sont numériquement égaux, mais de signes con^ iraires.

Or, si Ton considère les deux pi'emières réduites

a ab'^i Aj^ -f* I a -4-1

- et — -r — I on a —

1 • b ' ^ * I *XiV

donc y d'après ce qui vient d'être dit, le numérateur de la différence suivante doit être— i ; le numérateur de la troisième différence doit être -f* i ;| et ainsi de suite.

Donc, en général , le numérateur éCune différence quelconque: est -J- i si la seconde des deux réduites que Ton considkwe est <fe rang pair, et^^i si elle est de rang impair; quant au dâiominateur, il est évidemment égal au produit des dénominateurs des deux réduites. C. Q. F. D.

i6d. CloifSÉQUEvcÉ OE %k mopRiÉTÉ HLÉcÉDsiiT^. — Une rédmit

de rang quelconque y =^, est toufours une fraction ou un nombre

fractionnaire irréductible.

En effet, supposons pour un instant que R et R' aient un Cacteur commun A ; comme , d'après la propriété précédente,, on a RQ' — QR' = dt I ,il en résulte

Or, le |Hremier membre dk cette ^^té est un noml^ve eti^ tîer puisque R et R' sont divisibles par A, tandis qu'au c<mtraire le second membre est essentiellement une fraction ;^

2ft2 PROPRUETES PaiNClFALES

tloDc îl est absurde de supposer que R el K' ne soient pas premiers entre eux.

Il résulte de là que, si l'on convertit en fraction continue une fraction^dont les deux termes ne sont pas premiers entn eux, et^si l'on forme enduite toutes les Tfduites jusqu'à k dernière inclusivement, on ne retrouvera pas la fraction pro- ]M>se'e, sous sa forme primitive, mab bien ce/le même fraction réduite à sa plus simple expression, c'est-à-dkedébcirfattéfl du plus grand diviseur cotnmun à ses deux termes.

Soit , par exemple , la fraction -î-r.

En la convertissant en fraction continue, on trouve

et les réduites sont. . . ,

La dernière réduite -^ est la valeur de la fraction ^ dc-

barrassée du facteur 12 commun â ses deujt tertnes.

£70. Seconde PROPRIÉTÉ. — En reprenant la fraction continue générale x = a -J ^

On reconnaîtrait aisément, par un raisonnement analogue à celui qui a déjà été fait au n** 165 sur un exemple particulier, que la valeur de x c^t comprise entre la première et la seconde réduite, entre la seconde et la troisième, et ainsi de suite;

DFS RÉDUITES. 22?

m l'on pourrait conclure, par analogie , qu'en général la leur de x est comprise entre deux réduites vonséculii^s de ig quelconque.

Mais nous allons démontrer cette propriété fort importante ine manière plus générale.

Soient , pour cet effet, deux réduites consécutives, rp , ^ ,

rang quelconque ; et proposons-nous d'évaluer les différences

Remarquons que si, dans l'expression de la réduite suinte, r^ ou ^, -^, , on met à la place du quotient mcom"

et r , le quotient complet y, ou r -|

)nt m'est que la partie entière , on reproduira la valeur du )inbre réduit en fraction continue , puisque alors on aura la duite de la fraction, continue totale. On aura donc, d'après tte remarque ,

(ir + P

oy -f P"

p Q/ -4- F p (QP* — PQ> ou X — p, ç.^ ^ p, p, — ^^y j p,^p, ,

1, à cause de QP'-PQ'=±i, PQ'— QF=:5:i (n" 16«),

P — (Q>+P')P" ^ Q rjzi

Q'~(Qir+P')Q"

;la posé, comme les nombres j', P, F, Q, Q', sont, par leur tinre, essentieiiemenl positifs, il s'ensuit que les deux ré-