PROPRIÉTÉS PRINCIPALES

suhals précédens sont de signes contraires. Donc , si Tou

a jr > ou < -ç>, on doit avoir nécessairement jf < ou > ^ ;

ce qui veut dire que, si le nombre réduit en fraction continue

est plus grand ou plus petit que la réduite ^ , ce même nombre

est plus petit ou plus grand que •^. Donc enfin , la valeur du

'nombre réduit en fraction continue est toujours comprise entre deux réduites consécutives de rang quelconque.

. Remabqce. — Si la réduite ^, est de rang pair , le numéia-

O P ieur de la différence entre -7 et p, ou QP' — P(y, est positif

et égal à + I (n* 168) ; ainsi Ton a ^ > -5?. et a: < -jîy *

Donc y toutes les réduites de rang pair sont des fractions plut grandes, et toutes les réduites de rang impair sont desJhtC" tiens plus petites que le nombre réduit en fraction continue»

t7i. TBOisiéME paoPRiÉTé. — Une réduite de rang quel' conque donne une valeur plu^ approchée de x que celle qui l^ précède,

£n eilet, considérons encore les deux différences du n" 170. Comme on a (n° 167) Q' > F, il s'ensuit que le dénominateur (Oy + P) Q' e8t> (Q> 4- PO P' ; d'ailleurs^ est > 1;

donc, par cette double raison , la différence entre x et ^, ^^

P numériquement moindre que la différence entre x et ^.

^«.Remarque. — Puisque, d'après la remarque du n^ 176, les

réduites de rang y;a/rsont des fractions plus grandes, et le' ^réduites de rang impair sont des fractions plus petites que

la valeur de x, et que d'ailleurs, en vertu de ce qui vient d'être ^démontré y les réduites convergent sans cesse vers la valeur de

:ç^.à mesure qu'elles s'éloignent de la première réduite, on

doit nécessairement conclure :

1^. Que les réduites de rang pair vont en diminuant it

DES Kl^DUITES. 29$

'aleur, à partir de la seconde; 2®. Qu'au conirairç , les reluîtes de rang impair^ à partir de la première , TOnt en ittgmentant de valeur.

£72. Quatrième propriété. — - Le éegrë d*approximi^tia0L ]ue donne chaque réduite y peut être évalué* ae plusieHp» manières :

D*abordy de ce que (n^ 170} la valeur de x est compriat

P O mtre deux réduites consécutives quelconques rp , ^, il s'en*

imt que la différence entre x et Tune dé ces réduiù» (est

moindre que ^rTy 9 différenjce qui existe entre les deux jpt^

lui tes. Donc déjà^ V erreur commise lorsqu'on prend une de ces deux réduites pour la valeur dex , est moindre que V unité divisée par le produit de leurs dénominateurs.

En second lieu, piûsque la différence entre x et ^ , est,

abstraction faite du signe, exprimée >( n® 170) par.......

, , et que l'on a j-> i , d'où (Q>+n <t> (Q'+P')Q'.

il en résulte nécessairement

(y ^ (Q'+ P')Q' ' et à fortiori^ jr — ^, < ^.

Ainsi , la différence entre x e< -— , ou l'erreur commise

lorsqu'on prend ^ pour la valeur de 1, est moindre que Tii-

nité divisée par le produit du dénominateur de la réduite , multiplié par la somme faite de ce même dénominateur et dm celui de la réduite précédente ^ om moins exactement , mais en termes plus simples , que l'unité divisée par le carré du dénominateur de la réduite eonsidétée,

N. B. Il est à remarquer que les trois propriétés précé*

926 PROPRIlêTés PRINCIPALES DES RÉDUITES.

âeiites reposent sur le inênie calcul , celui du n^ 17Ô : ce qui en rend' les aemonstratîohs plus faciles à retenir.

lift, CiXQUiéMÉ Èr DERNiiRE PKOPRiÉTÉ. — Une réduite de rang quelconque approche plus de la valeur de x, non'Seutkmènt Bû*àucifiiè des réduites précédentes , mais encore qu^aitcune Witii Jràction dont le dénominateur est moindre que celui àe la réduite considérée ; en sorte que Ton peut assurer qu'il ffeii^Htt pas d'aulréf 'fraction qui, en termes pluè siàtples, ^çipuf une yâïeur plus approchée de ^.

^ ^oi^t ^ la réduite que Toi;^ considère y et T-7 une fraclk»

proche pas plus de x que ^,.

En efrét\ remarquons d'abord que }a fraction — 7 ne siîu-

rait kUe comprise entre 7p et •^; car,- pour que cela

fut, il faudrait que la différence, entre — r et -r^ , saToir ,

-^ — -7p7 , fût numériquement moindre que la dijOerence

^rPTf entre jç, et ^r : ce qui est impossible puisque mV — Pm',

nombre entier, est au moins égal à i, et que m'P' est plus petit que P'Q', à cause de l'hypothèse mf <^Ç^. (On nè jJcât

supposer mY — Pm'= o, car il en résulterait —>=: = ; et la *^'* ; m F

fraction —-7 étant identique avec la réduite qui précède^ , la

proposition serait déjà démontrée.)

Puisque (n^ i7û) x est compris entre -^ et 7^>et que, d'a^ès

ce qui vient d'être dit , il ne peut en être de même de la frac-

tion --7, il s'ensuit nécessbiirement que , si Ton écrit ces quatît

APPUCkTlOff DE LÀ THÏOHtl D^ mACTIOlTS CONTINUES. Èê^

nombres par ordre de grandeur, on ne foûfra léffft^ ^|iM^^les

deux combinaisons suitantes * ^ . , ,^ ^

j^ . ' . . • ,v ^ ij>

P^Qw ' m F <J

ham U premier cas, il est évident ^ Téf Âl^MiMd ërt^ or et — ; est plus grande que la différence entre x et ^.

Dans le second, la différence fst plfk IgrinSè^ ^a§. ]^ $ffërence entre xei^, ctk pluè forte raison , plus grande que celle

qui existe entre Ar et —, C.Q. F. D.

G'^st âù rësie ce qu'on peut encore reconnaître en calculant,

d*aprè^ le procède' du n® 170, la différence x — — 7, et corn-

parant son expression à celle de la différence ^ ^ fbi

même numéro.

174. Pèùr feriiîitier la' thé6^' élém^nti^ d£i factions continues , nous indiquerons l'usage qu'on peut en fieiire dans TévsXmii^ Bpf^ioiiinmiè d'éië mca(mimMm&^ SM les termes $ont très grands.

On f^iiit d abord té nombre pixipàsé en fraction àmunuep dé^pire$ l^ptficidé du n? 164; puis mr forme: isâ rédtiièesÊOÊa^ 4^utiveSf^!çnsuiyant Ifi kfi duis^àMl Oa^oèti^n^mnsiiÊiMi àirie àefr lé eella^î donne le degré éC approxîmàiiontfue Von désire avoir

jpour la fraction. Ce degré èst(n^ ifi) marqué par p vn^

^TTTr*-^'^ ^*' '^ réduite considérée. La réduite dois être

(ttP m) dunnag dàuèant plitéitt^né ^u'éft i>èk ê^r tài phis grand degré d approximation: .V ^*'*

aaS APPLiCàTioir

Soit propoflë, pour exemple, d'éfalder approximatifemeot le rapport de la circonférence au diamhire.

On sait qae ce rapport , exprimé en décimales , a pour va-

leur, à moins d'un' cent-millième près, 3,i4i5g on.

3i4iS9

lOOOOO

On trooYe d'abord poor la valeur de ce nombre réduit es fraction continue ,

lOOOOO . I

aS-f-

ce qui donne , pour les réduites consécutives , d'après la loi du 16»,

3 22 333 355 gao8 j^ 76149 3141S9 i' 7 ' 106' ii3' 2931' 3o44' 24239' looooo*

En prenant d'abord — pour la valeur du nombre proposé,

on commettrait une erreur moindre que ^ ^ ^ ^ ou ^ ; nuûs

cette réduite donne encore un degré d'approximation plus considérable : car, puisque le nombre proposé est compris entra

— et — -xy il s'ensuit que — differe de ce nombre d'une quan« 7 100 7 *

tité momdre que S '^^"7"' ainsi, 1 erreur commise

est beaucoup moindre que • Aussi ce nombre — , ou 3 -i

est-il fréquemment employé pour exprimer le rapport de la circonférence au diamètre. Cest le rapport- dorme par jirchimède.

DE LA THioRIE DES FRACTIONS COlfTlHUES. aag

355 • La quatrième réduite ^ — ^, qui n'est pas beaucoup plus com«

pliquee que — 7s ^ donne une valeur biçu plus approchée : car

le nombre proposé étant compris entre — ^ et ^-^ , la di£Pé-

rence entre ce nombre et — ^ est moindre que — r 7, «

n3 ^ ii3X293i

fraction évidemment plus petite que 0,00001. Il est à reniarciuer que les deux fractions — ;; et — ^ — ^j dont la pretadière

^ ^ IIO lOOOOO "^

est exprimée en termes bien plus simples , donnent , en décimales ^ la même approximation pour le rapport de la circonférence au diamètre. Ç*est k rapport donné pmr Adrien Métius. Les réduites suiv^antes sont trop comipliquée.s pour ^tre substituées avçç avantage.au nombre propos^.

Nous ne pousserons pas plus loin Fexamen des propriéiés des nombre^ ; mais nous reconiinapderons aux jaunes gens qui, déjà fa^miliairi^és avec Van^lj^Se algébrique ,. vou4rfiiei^^ étendre leurs ccumaissances sur cette partie, la lectm:^ de ^^ux ouvrages intitulés t T/léorie ans Nombres, fSLt I^gçndre, * et DUçuisiUones AriAmeticm, de Gofiss , ouvrage t|j^duit ^vec beaucoup de succès par M. Poulel^Deliskt.

ado xxTRA^ioir de la BACimc CAHBiS

C^At^iTRÈ ti.

Formation dès Puissances^ et extraction des Racines " carrées et cubiques 4es rwmbrts.

€ 1**. forn^alion du carré ef exiruction de la racine carrée*

' 175. NoHons'préKminaires. — *• On appelle carré (n^ lôln oti seàànde pùiiàbhlx d'an nombre, le produit de ëë itf bnfbre ftiOfipYiS |Hir M;iii(l*âi'fi , un le produit aè deux iacteutii S'élit Vce i&iSbiè^j éi racirie carrée on 2"*^(l'ùn nombre , nn second hiiitt^ bre gui y muhl^ié ^àt Itiî-mêmey ou i^Ié^&à târrô^ dbSiiè ^''éttifltàt'lé Hoihbrc ]{rttj{>cJs«^^ '- '' ' ''" ''^^

Xu ToVBntation du' àirrë d^in'hbn!il)re eifitiiei* 'où fliaittioliiïanre n%âge "aWlfn ^^oc^dé particulier : il snfl&V àe mà%llër te nombre par lui-même , diaprés Tes règfèis connues. ' ' ' ''

Mais il n'en est pas de même de Textraction de la racine carrée , qui a pour objet : Un nombre étant donné , trouver U nombre qui, multiplié par lui'^méme, peut produire le nombre proposé. Cette question ne peut être résolue que par une ofé^ ' ration essentiellement différente de celles qui ont été exposées jusqu'ici ; elle est d'ailleurs d'une très grande importance dans la Géométrie et dans l'Algèbre.

Cela poséj les dix premiers nombres entiers étant

I, 2, 3, 4> 5> 6, 7, 8, 9, 10, dont les carrés sont

d'un nombre entier. àSli

il en résulte que réciproquement, les nombres aè ikt éeéonde ligne ont pour racines carrées les nombres de la premMS!''^'^

A rinspectîon de ces deux lignes, mi reconnaît gtiè/pSirçû les nombres entiers d'un ou de deux chiffres , il la^f cfn^'^dfiiè Hetifqni soient des carrés d'autres nombres éntim) TéïflRiifiréfc ont pour racine carrée un nombre entier plus une frattlèA''"'^

Ainsi, 53, qui est Compris entre 49 è* €4> * four 'VSÉine carrée 7 plus une fraction. De même , 91 a pour racine i:ârr& ^phisùtie fraction. ' . ' '. ''^

176. Mais, ce qu^tet -très remarquable, c^st «[tt'«it iiQillf 1^ ^ftifir qui n'est fias Iç e^rfé d'un murtf nomàrc 4nb'e»Ji ne jMiçr^ pq^ avoir nçn pins po^r^rucine , un, jMnlnt fmctiannm^

mxgau .-., ■ ' '^'. 'iv :,■ /-.^ ..\v:\n«ii'-,:

./$«^iepiCO|psit^o9 gui, a)i premîei; abord, peut ff^mitiii»:^ |Mii^4^^^'^'' UQ/6co^équeoceda principe etabli.(n$;âSd^ tte !# divHibiUté 4€&il4nibres. En eifet ^ pour qu'un nôiufara tekt

tiohnaîrë exact, j*, |)uîssé être regardé comme la racine çjirr(^

o^un nombre entier, il fau,t que son carre, .7 X r» ou r- • epit

égal à un nombre entier. Or, cela est impossible : cav^-8|i^|io^

sons, ce qui est toujours permis, que t soit requit a sa mus

Min|»U expcessioq ; à^ et b* n'ont pas (n? iW) d'autrespfiMMOift ^iièmters qtie ceux qui entrent dans a et U;--^ puisqié bes deux derniers nombres sont premiers entreiMix,: 31'ëa ék

de même de a^ et 6\ Ainsi, ~ est uiî nombre Jfn^tiphnaife

irréductible, et ne peut, par conséquent, élrê .^gd 3''i& nombre entier., .^.i) .■1;:'^

La racine carrée d'un nombre eotip* qiû a'est pos-ljef'Carré d'un autre nombre entiei!!, n^potu van (être ^exprimée fai; aa^ cun nombre exact, s'appuie 12^/^^/^ >l/}C^y|t|}le;<l«lfn«(fa>6aû^• raiiqnnel; c'e$,t-à*dire qui ne pcnitp^s^ s» mesurer .éKaclençnt au moyen derunité. Ainsi, ^^a, y5y V^n, soipt des nombres incommensurables ou irrationnels.

St3a EXTIUCTION DE LA IIACINX CARRÉE

On du 9I0W que le nombre proposa n^est pas ifit carré

ITf. La difiërence de deux carrés parfaits consécutifs est d'autant plu8 considérable que les racines de ces carrés sont plus grandes ; et l'expression de cette différence est utile i connaître.

Soient , à cet effet, deux nombres entiers consëcutibi «et

On a (n* ii«) («+*)*= {a+b) (a +*)=«• +M*+i«;

d*aj^9 cfilûsant & = iy (a-f-i)*=a*+aus+ i.

. La différence entre (a+i)* ^t n^ est donc %a+\\ d'où l'on Yoit que la différence entre les carrés de deux nmnbm consécutifs est égale au double du plus petit de ces deux mmiros p mmgmenté itume unité. Ainsi , la diffiârence entre ksctr* ntfs do 348 et de 347f est égale i a foîs347 plasi,oaà6g5;M bien, en d'antres termes, les carrés de 347 et de 348 comprennent 694 nombres entiers , qui ne sont pas des canes parfaits.

Ces notions établies, proposons-nous de rechercher un procédé pour extraire la racine carrée d'un nombre , en commen* çant par les nombres entiers.

m. JSxtraciion de la racine carrée dunnavnbre entier.

S le nombre n*a qu*un ou deux chiffices, sa racine s'obtient insmédialcmcnt d'après l'infection des neuf premiers nombres (n* m) ; considérons donc un nombre de pins de denz dût Ans 9 6084 Y pvr exemple.

Ce nombre étant composé de plus de 6 o. S 4 1 7^

denx chiflnes , sa racine en a plus d*un; 4 9 * 1 ,/g

d*aiU«nfs, il est plus petit que loooo, ^ ^ g e 8

qm <e«t le cane de too ; aiaM« la racine i i 8 i — ^

un ni pins » ni mains» qne deux ckU^ fm 1» cVsh^-dice qn^dle renferme des dixaines et dm «niléf^ Or« » 1 on dé* sidtnt les dixaînes par « « et les nniià par ^» on a (n* iTf)

d'oN NOlfBRK ENTIER- 233

ce qui prouve que le carre' d'un nombre compose de dixaineis et d'unités, renferme le carré des dixaines, plus le double pro^ duit des dixaines par les unités, plus le carré des unités.

Cela posé y si l'on pouvait découvrir d^ns 6084 ^^ carré des dixaines de la racine, on obtiendrait facilement les dixaines; mais le carré d'un nombre exact de dixaines ne pouvant donner qu'un nombre exact de centaines , il s'ensuit que ce carré doit se* trouver dans la partie 60 à gauche des deux derniers chitr fresy que l'on sépare, pour cette raison , par un point; mais cette partie peut d'ailleurs, outre le carré des dixaines, renfermer des centaines et mille , provenant des autres termes du carré. Or, le nombre 60 est compris entrç les. deux carrés 49 et 64 9 dont les racines respectives sont 7 et 8 ; et , je dis que 7 est le chiffre des dixaines cherché ; car 6000 est évidemment compris entre 49^9 ^^ 6400 , qui sont les carrés de 70 et 80 ; il en est de même de 6084* Donc la racine demandée se com» pose de 7 dixaines, et d'un certain nombre d'unités moindre que dix.

Le chiffre des dixaines, 7, étant trouvé , on l'écrit à droite du nombre donné, en le séparant par un trait vertical; puis on retranche son carré 49 , de 60 , ce qui donne 1 1 pour reste,, à coté duquel on abaisse les deux autres chiffrés , 84* Le résultat 1 18/^ de cette première opération contient encore le double produit 4^s dixaines par les unités et le carré des 'unités. Or y des dixaines multipliées par des upités'he pouvant donner au produit des unités moindres que dips dixaines , le dernier chiffre 4 ne fait pas partie du double produit des. dixaines par les unités ; ainsi ce double produit se trouve renfermé dai^s là partie à {j^auche 1 18 qu'on sépare du chiffre 4 f^^ uii point.

Donc, si l'on double les dixaines, ce qui donne i4|,. et qu'on divise 118 par i4> le quotient 8 est le cJiiffre des uniffs, ou un chiffre plus fort que celui des unités.. Ce quotient'tne peut pas être trop faible, puisque 1 18 contenant 1,q pfodjfi^^/lu double des dixaines ,149 Y>^^ les unités , il faut qu'on puias^^en retrancher le produit de i4 pstr le chiffre quN^n essaie ; mais il peut être trop fort, parce que'i i8 , ou^re ce double produit,

a34 EXTRACTIOir DE LA RACINE GARRÉE

contient encore des dixaines provenant du carré des UDÎtés. Pour vérifier si le quotient 8 exprime les unités , il suffit 4e récrire à la droite de i4 9 ce qui donne 1 48 , puis au-dessous de lui-même y et de multiplier 148 par 8. On forme évidemmeat par là 1^. le carré des unités, 2°. le double produit dcsdixaines par les unités. Or, cette multiplication effectuée donne pour produit 1 184, nombre égal au résultat de la première opéi^<» Qon ; et en le retranchant de ce résultat, on a o pour reste; âonc ^8 est la racine demandée.

En effet , il résulte des opérations précédentes , que l'on » retranché successivement de 6084, ^^ carré de 7 dixaines oâ de 70, plus le double produit de 70 par 8 , plus enfin te carré ae 6 y c'est-à-dire les trois parties qui entrent dans 1^ composition du carré de 70 + 8 ou 78 ; et comme le résultat de h soustraction est o , il s'ensuit que 6084 ^^^ ^g^^ ^ti carré de 78.

Soii, pour second exemple, le nombre 841.

Ce nombre étant compris entre 100 et 8.4 i ipoo^ sa racine se compose encore de 4 iïeux chiffres, ou de dixaines et d'unités. 7~T *' On prouvera, comme dans l'exemple pré- , ^ 77^

cèdent , que la racine du plus grand carré

contenu dans 8, ou dans la partie à gauche ^

des deux derniers chiffres , est le chiffre des dixaines de ia raciné. Or, le plus grand carré contenu dans 8 est 4* dont la racine est 2 : c'est le chijfre des dixaines. Si l'on retranche le carré de 2, ou 4» <lti nombre 8, il reste 4; abaissant à côté de ce reste la tranche suivante 4i» on obtient 44'» résultat qui renferme encore le double produit des dixaines par les unités, plus le carré des unités.

On prouvera encore, comme dans l'exemple précédent, que, si l'on sépare le dernier chiffre i par un point, et qu'on divise la partie à gauche 44 P^*^ 4 9 double des dixaines , le quotient sera le chiffre des unités, k moins qu'il ne soit plus fort que ce chiffre. Ici, le quotient est 11, et il est évident qu'on ne peut pas avoir plus de 9 pour les unités (car autrement , ce serait supposer que le chiffre trouvé pour les dixaines ne serait pas

, , 9*m NOtfBEK XNTlfilU àSfi

le vçritabl^. Il £aut do^c essayer 9 : fidur cela, oa |difife 9 i la «droite de 4 9 «double des dixjdnes^.puis «tt-'desaou^ de lui« mêinè , et l'on multiplie 49 pa^r 9«> (Hs cétt^ miiliîplkatiaa doniie le produit 44^^ 4ui eat .égal au militai de la preniifenB opér£iioji;aiasi y 29«e9^ la raciqi^ demandée.

En réflécj&issant 9i|r. le procédé qu'on vient de. suivre pour tjbtfiairela xacin^icarree d'un npiAbri)>de ttoù ou de qjùtUr^chif* fres, on voit qu'il se compose de deux opécsttioiks prineiptlés: lia .première consiste , après avoir ^s^cé leâ;i^e«x! fimtà&xs dUiffrel» à dfoite ^, à . exirairc, la rapine éb- 'plue guiiid earr^ éoiHenu dantU^ftatuie àgauohé, ei à reitanciieriCeioàtné^iktin racine exprime nécessairement Ij&s diaiawies de hL.rackielotale\ cftKi)« «fiuvéf^-de ceUe iracine suivie d'an.zéro^^et.le/caiHrélde cette même racine augmentée d'une nniié ef aiiivie'é^aletnont dfiln liéro • cofnpr ennent . évideàimeiil iû nomibre proflosé*; iLa seconde opération consiste, après avoir iâ>àissé leafletix daiffres à droite du reste, et aprè§ AViWï^épAir^il^' 4ernièv fy «es deux chiffres par un point, consiste, dis-je, à dwiscr Içi partie à gauche par le double du thtffre Méfà trouvé' à 'îa^acine. Le quotient ej^prlmeleft^mtéaVà moins qu'il ne soitHilbp fort; et pour s'assurer s'il n^est pat! trop fort , on formjs \e carré de ce quotient, et le produit du double des dixainespar ce quotient. Si la somme qu'on obtient est égale ou inférieiïfë au résultat de la première opération , on est sûr que ïe qi^oUent représente les unités , et on l'écrit alors à la droite' d^a dixaines ; dans le cas contraire*, on diminue le quoàeÀt 'd'Ônë 6u de plusieurs unités. M T^ > ^ ^

Remarque, -* Dans la recherche de la racine carrée d'un nombre, on ne peut obtenir d'abord le carré des unités : car ce cak'ré donné eh ^iiëtàl (li* i7SySké dlxâïneà ^ùi se comUneni avec celles k^nè fournit lé tfbiAitè pi*odùit de'^ oixainék par lesaBité9;'en'sdfië' qu'il estinipossibié dé détern^lner id'vpe manière pi^sé' d'ansr quelle partie au nombre propose se trouva le carfëdcs unités. .'^ ,> i :- 'v.>:^

Nous prendrons pour troisième exemple , Un nombre aui n'eist {M* «a omv< putéiit : «oH te" nopxbrè lit'J'. ' '

a36 EXTBAcnoM de la mciite cabkée

En appliquant à ce nombre le procédé ci-dessos , on trouve 35 pour radnei et 6a pour reste; ce qui indique que le nombre 1387 n'est pas un carré parfait, mais qu'il est compris entré lo carré de 35 et celui de 36. En effet, le carré de 35 est laaS, et celai de 36 est iag6 , nombre qui surpasse laaS de 71 oa de 35Xa+i (n*i77).

Ainsi, lorsqu'un nombre entier n'est pas un carré parbiti k procédé prescrit iait connaître la racine du plus grand carré contenu dans ce nombre, ou bien encore, la partie entière dt la racine carrée de ce nombre.

Nous verrons bientôt comment on obtient approximalifiment la fraction qui doit compléter la racine.

i79. Passons à l'extraction de la racine carrée d'un nomlm de plus de quatre chiffires.

Soit 568a 1444 ^^ nombre proposé.

Le nombre proposé surpassant loooo, sa racine doit êUc plus grande que loo, c'est-à-dire avoir plus de deux chiffres. Mais quoi qu'il en soit, on peut toujours la regarder comme une collection d'unités simples et de dixaines (car soit 5367 ua nombre quelconque, il est décomposable Cîn536o+ 7, pHÇJti dixaines plus 7 unités).

Dès lors , le carré de cette racine , ou le nolnbre pmpM, se'

0'dir iroiiBRfi tiiTlE&. . ^^

«omjKMe de trois partiet , savoir s le carré des dixatnes, plus le double produit des dixaîoes par les unités , plus le carré des unités. Or le carré des dixaines donne au moins des centaines : donc la dernière tranche , 44» ^^ P^^^ ^^ ^^^^^ partie ; et c'est dans la partie à gauche que se trouve ce carré.

Je dis maintenant que, si Ton cherche la racine du plat grand carré contenu dans 56831 4 considéré comme exprimant des unités simples , on aura ,le nombre total des dixaines de la racine demandée.

En effet, soit a la racine du plus grand carré contenu dans 568ai4 ; il s'ensuit d'abord que la racine demandée a au moins un nombre a de dixaines, puisque a^ X loo peut alors être retranché de 568ai4oo« et à fortiori , de 568a 1 444* D'Ailleurs ^ la racine ne saurait avoir {a -f- 1) dixaines ; car (a ^f^ i)* étant pifaM grand que 568ai49 (a+i)* X loo surpasse S68214Ô0 d'une centaine au moins « et par conséquent est plus grand

que 568ai444*

Donc enfin , la racine demandée se compose de a dixaines plus un certain nombre d'unités moindre que ifixy et la ques« tion est ainsi ramenée à 4BXtTaire la racine carrée du nombre 668214^ considéré, pour le jnoment y comme exprimant des unités simples.

En raisonnant sur ce nombre comme sur le nombre proposé, on est conduit, pour avoir les dixaines de sa racine, à extraire la racine du plus grand carré contenu dans la partie gauche de 14» c'est-à-dire dans 568a ; et pour obtenir les dixaines de cette nouvelle racine, il faut encore faire abstraction des deux derniers chiffres 8a , et extraire la racine du plus grand carré contenu dans 56.

Extrayons donc la racine de 56 : il vient 7 pour 49; on écrit 7 À la droite du nombre proposé , et l'on retranche 49 de 56, ce qui donne pour reste 7, à c6té duquel on abaisse la tranche sui* vante Sa (parce qu'il faut main tenant, déterminer le^second chiffre de la racine du plus grand carré contenu dans 568a). Séparant le dernier chiffre à droite de 78a, pub divisant 78 par 14 , 4ouhle^ ia racine déjà trouvée, on a pour quotient S

238 PROCÉDÉ GÉIiiltAL DE LA ViàCtVE CAHRÉE.

que Von écril à la droite de i4) ce qui donne i45 v puis ëativant^ au«^dessou3 de j45t on multiplie i45par 5, et Ton soustrait le produit 7^5, de 78a; 78 représente alors h coir lectipn des dixainea de la racine du nombre 56821 4*

Pour en obtenir les unités, on abaisse à côté du reste 57, la trancbe 14? ce qui donne ^714 dont on sépare, le dernier cLiffre. Divisant 671 par i5o,double dé la racine déjà trouvée, oif a;pour quotient 3 que Von écrit à droite de iSa, ce qui àovak i5o3 ; puis écrivant 3 au-dessous de i5o3 , on multiplie iM par 3 et Ton retranche le produit 4^09» ^^ ^7 §4; ']Sâ eipdme alors le nombre total des>dix2Ûnes de la racine deinandéc. •

£nfin , pour avoir le chiffre des unités, on abaissée càtédi reste X2o5, la dernière tranche 44 r P^? faîsààt abstractiw du derni^ chiffi:»! on idivise la partie à gauche izo54 ^ i5o6, double de la cacine déjà trouvée ; il vient pourquotieslf que Ton écrit à la droite de 1S06, ce qui donne »5u68. Mnl* tipliant i5o68 par 8, et soustrayant le produit i2oS44y ^ objti/ent^ z^ro pour jreste, .Dx>nc 7538 est la racine demandée. Pour vérifier l'opération , il suflEit de multiplier ^SBS parlai* même , d'après les règles de. la muUipli^tion aiîthméciqufi; . Si Ton a bien saisi Les différe^cs'parties de Topératioa pr^ cédente , on en conclura facilemKt le procédé suivaut t ^ '

Séparez le nombre en ti^anches de deux chiffres chacune, à commencer par la droite (le nombre dks tranches fjsî égal AU NOMBRE DES CHIFFRES 1?£ LA RACINE ). Prenez la . racitt du plus* grand carré contenu dans la première tranche à gou' che, qui peut n'avoir qu'un seul chiffre, et retranchez U carré du chiffre trouvé, de la première tranche à gauche,

j4 baissez à côté du reste la seconde tranché à gauche, dont vous séparez le dernier chiffre par un point; puis di^^sez lu partie à gauche de ce clùffre par le double de la racine déjà trouvée,. Écrivez le quotient à c6ié du double de la racine ; mulf iipliez le nombre ainsi Jormé , par ce quotient, et retranchez k produit, du premier reste suivi de la seconde tranche, .•

Abaifise^ à côU du nouveau, reste la troisième tranche: sè^ parez le dernier chiffre p ei divisez la partia à ^iklte park

Dl^TERMIlTATIOir DU NOMBKS[ DE .CHÏmite DX LA RAC IITE. ft 3q

double de la racine déjà trouvée; écrivez le quotient ^ la droite de ce diviseur, puis multipliez le nombre ainsi fçrmé, par (e quotient , et retranchez le produit , du second reste suivi de Ig, troisième tranche. Continuez ainsi cette série d'opérations jusquà ce que vous ayez abaissé toutes les tranches, A

Si, à la fin de toutes ces opérations, vous n'obtenez aucnn reste , le nombre proposé est un carré parfait. Si vous obtenez un reste, le nombre n'est pas un carré parfait i mais vous connaissez alors ta racine du plus grand carré contenu dans te nombre, ou, ce qui revient au même, la partie enli^redè kx^ ra^» cine carrée de ce riombre. Ce reste doit être (n® 177) i|io\ai4i:e que Iç double de la racine trouvée , p|us { : autrt*meiit, ^es cbiffres de la racine auraient été mal déterô^inés^

idO. flous proposerons pour nouvelles applications , ^'-^xtraire les radnes carrées dés nombres 1 769884g et 698485, \ m^ trouvera

^^1 7698849= 4207 , 1/698485=835 , avec ni rertc «k6ô .

, Première remarque. '-^'Danîs le premier de ces deux exeniples, quand on a abaissa ravant-dèrnière trancÉe et séj^ré le dernier chiffre, comme la partie gauche se trouve moindre que le double de la racine déjà trouvée , cela indique que la racine À^a pas d'unités de Tordre des dixaines ; alors il faut mettre un à la racine afin de donner aux chiffres déjà obtenus leur valeur relative.

Deuxième remarque. — Il résulte de la nature même di^ procédé précédent , que le nombre des chijjli^s de la racine est ^gàlau nombre des tranches de deux chiffres qu^qn peut Jbty ^^r dans le nomb^re proposé. Mais cette proposition se dé* ^ntre à priori , c'est-à-dire sans le secours du procédé.

En effet, le carré de lo*""', ou du plus petit nombre de n chiffres, est égal à 1* unité suivie de 2 (/i — i) ou de a/t— -2 2e'ros , et exprime le plus petit nombre de an — i chiffres.

D'nn autre côté, le carré de 10", ou du plus petit nombre de \n+i) chiffres, est égal à l'unité suivie de 2i»céro8« et exprime le plu9^ petit nombre de (2/1 4r 1} chiffres.

lio tULÀCTÊRES D ON NOMBRE NON (URIli FABFAIT. . .

Donc tout nombre composé de (2/1— i) chiffires, ou de an |.^^

au plus, c'est-à-dire un nombre décomposable eo n tranches Tj^

de 2 chiffres (dont Tune peut n'avoir qu'un seul chifEre),a 1^,^

sa racine comprise entre io"~< et lo*, et par conséquent

Composée de n chiffres.

181. Troisième remarque, — On reconnaît souvent à k simple inspection d'un nombre entier, qu'il n*est pas un cane parfait ; et cela peut être utile dans la pratique. Yoici les indices principaux :

i'*. Tout nombre pair pouvant être exprimé par an, son carré /{TI* est essentiellement divisible par 4*

Ainsi, Tout nombre pair qui n* est pas divisible par ^{n^VSIS^^ n est pas un carré parfait. De même, le carré d'un nombre impair (an-f-i) étant {l^n^ + ^n'\'^)^novaihve €^\^ diminué d'une unité, devient nécessairement divisible par 4» il s'ensuit que tout nombre impair qui, diminué de i , ne donne pat un résultat divisible par 4 > ne peut être un carré parfaiL

2*. En général, Tout nombre qui, ajant un facteur prc mier m , n'est pas divisible par «% ne peut être un carré poifaiu Car, la racine carrée de ce nombre, si elle était entière, ne pourrait être (n* 130) que de la forme an dont le carré «'n' est divisible par a*. Ainsi un nombre divisible par 3 ou 5 doit être en même temps divisible par g ou sS pour pouvoir être un carré parfait. De même , un nombre divisible par i5, doit être divisible par 226 , même numéro , pour pouvoir être un carré parfait.

Z*^. Aucun nombre terminé par un des quatre chiffres 2, 3, 7,8, ne peut être un carré parfait. Car, d'après la composition du carré d'un nombre qui renferme plus d'un chiffre (n* i71J), les unités simples de ce carré ne peuvent provenir que du carré des uuités de la racine. Or, en formant les carrés des neuf premiers nombres, on voit qu'aucun d'eux n'est terminé par les chiffres 2, 3, 7, 8.

[i^. Aucun nombre terminé par le chiffre 5, ne peut être uncarré parfait si le chiffre de ses dixaines n'est pas 2. Ce caractère se déduit encore de la composition du carré d'un nombre de deux