EXTRACTION DE LA RACINE CARRÉE PAR APPROXIMATION

OU plusieurs cbiiFres. Les deux derniers chiffres du nombre proposé ne peuvent, dans ce cas, provenir du carré des unités delà racine, puisque le chiffre des unités étant 5, le double produit des dixaines par ce chiffre est nécessairement un certain nombre de centaines. Or le carré de 5 est 25 f donc le nombre doit être terminé par 25.

5°. Enfin , Aucun nombre terminé par des zéros en nombre impair, ne peut être un carré parfait* Cela est évident, puIs-> que, si la racine était exacte , elle ne pourrait être qu'un nombre entier terminé par un ou plusieurs zéros; et son carré devrait être terminé par deux fois autant de zéros qu'il y en aurait à la racine , et par conséquent , par un nombre pair de zéros , ce qui serait contraire à la supposition.

Extraction de la racine carrée par approximation,

i&2. Lorsqu'un nombre entier n'est pas le carré d'un autre nombre entier, on ne peut (n® 176) obtenir la valeur exacte de sa racine carrée ; mais il est du moins possible d'approcher autant que l'on veut de la véritable valeur de celte racine.

.Avant d'exposer les règles relatives à l'évaluation approchée des racines carrées, il est nécessaire d'établir que, le carré

d'une fraction ou d'un nombre fractionnaire, y, étant t X t

ou j^, réciproquement, la racine carrée de 17 est j.

Donc, pour extraire la racine carrée d* une fraction dont le^ deux termes sont des carrés parfaits , il suffit d'extraire la racine carrée du numérateur et celle du dénominateur, puis de diviser la première par la seconde.

Cela posé, soit, en général, proposé à! extraire la racine

carrée, à une fraction près - {vojez la note du n° 95),

d'un nombre a , entier ou fractionnaire ; supposons, en d'autres termes , que l'on demande un nombre qui diffère de la racine

carrée de «, d'une quantité moindre que la fraction -.

S^a EXTRACnOR DE LA HàCINE CAMll^B

Pour y parrenir, obserrons que a peut être nrîs 8<nii la forme

Or, si Ton désigne par r la partie entière de la racine carrée de fl/i», ce nombre ar^ est alors compris entre r* et (r-f- i)'; donc

aussi — ^ est compris entre — et j — ^ ; par conseqiieBt

la racine de a est elle-même comprise entre celles de -; et

de ^ ^, cest-à-dire entre - et .

Donc enfin - rcpr^ente la racine carrée de a, à ime

fraction près -.

D'où l'on peut conclure le procédé suivant : MulUpUa U nombre donné a , par le carré du dénominateur n, de lajraxr tion qui détermine le degré et approximation que Tfous voula avoir } extrayez la partie entière de la racine carrée du produit y et divisez cette partie entière par le dénominateur n.

Soit j pour premier exemple , à extraire la racine carrée de

^9, à ^ près.

Multipliez 5g par (12)* ou i44; il vient 8496 dont la racine carrée a pour partie entière 92.

Donc — ou — est la racine carrée de 5q, à — près.

Répétons sur cet exemple la démonstration qui a été développée ci-dessus.

Le nombre 5q peut être mis sous la forme. • -S- — 2^ — i

OU, effectuant les calculs du numérateur , ^^1 .

Mais la racine de 8496 ^ à une unité près , étant 92 , il s'en-