PAR APPROXIMATION

nombre dont la racine carrée a pour partie entière, 264$. Ainsi 2 , 645 est la racine demandée ; ce qui veut dire que la racine carre'e de 7 est comprise ei\tre 2,645 et 2,646,

N. B, — Gomme, après avoir e'crit le nombre de ze'ros convenable, on est conduit à séparer le nombre en tranches de deux cliifFres, à partir de la droite , on peut se dispenser d'e'crire d'avance les tranches de deux zéros, et ne placer chaque tranche qu'au fur et à mesure qu'on veut obtenir un nouveau chiffre décimal à la racine.

Voici le tableau du calcul , pour l'exemple précédent :

Donc 2,645 est la racine demandée.

On trouverait pareillement

\/29 = 5,38, à —près; 1/227 = i5,o665, à près.

' lOOOO ^

Remarque, — La fraction décimale provenant de la racine carrée d'un nombre entier qui n'est pas un carré parfait, quoique composée d'un nombre illimité de chiffres, ne saurait jamais kUe périodique ; car sans cela , comme on a vu (n®* 189 et 160) que toute fraction périodique équivaut à une fraction ordinaire limitée, il eu résulterait qu'un nombre commenurable serait égal à un nombre irrationnel (n° 176) , ce qui est absurde.

184. Lorsque le nombre dont on demande d'évaluer la racine carrée en décimales, est fractionnaire , il peut se présenter deux cas : ou le nombre proposé est déjà wm fraction décimale, ou

a46 EXTRACTIOir DE LA RACINR CARRÉE

bien ) c*ést une friction ordinaire. SxaTninoQS suçc^mement ces deux cas.

Premier cas. — Soil proposé <ï ex traire la racine c<^rrée de 3,4^5.

Goniqfie » d'après la règle du n** 182 , il faut ifiultipUer ce nombre par (ioqo)'' ou |oooooo,cela revient évidemmeot à Gcrire d'abord trois ze'ros à la droite du nombre, puis à supprimer la virgule. Qn obtieni ainsi 34^5000 , nombre dont la racine, à unité près, est 1849-

Donc i,S4q est la racine demandée, à près.

'RÈGLE GÉNÉRALE. — Pour extraire ia racine carrée ^^unefrac* tion décimale, rendez d abord le nombre des chiffres décimaux DOUBLE du nombre des chiffres décimaux que vous voulez avoir à la racine, ce qui se fait en écri^^ant un nombre convenable de zéros à la droite du nombre proposé; faites abstraction de la virgule dans le nom'eau nombre, et extrajrez-en la racineyh une unité près; puis enfin, séparez vers la droite de cette ra' aine le nombre de chiffres décimaux demandé.

Cette règle est d'ailleurs une couséquence du procédé (11° H9) de la multiplication des fractions décimales, en vertu duquel le carré d'une fraction décimale, ouïe produit de cette fraction par elle-même , doit contenir le double du nombre des chiffres décimaux qui entrent dans la racine.

iV". B, — Bans l'exemple précédent , si l'on demandait la racine de 3,425 à — près seulement, il suffirait, pour multiplier par(io)^ ou 100 , d'avancer la virgule de deux rangs vers la droite, ce qui donnerait 34^ ,5 ; puis (2V. B,^ n® i^^)» faisant abstraction delà partie à droite de la virgule, on extrairait la racine carrée de 34^ à une unité près. On trouverait 18 pour cette racine ; et par conséquent i ,8 serait la racine demandée.

Second cas. — Pour évaluer en décimales la racine carrée d'us nombre fractionnaire quelconque, réduisez d'abord le nombre en décimales, d après le procédé du n® 9i^ et poussez l'opéra'

PAR APPROXIMAtlON. 3^

usqu^à ce que vous ajez deux fois autant de chiffres dé^ IX que vous voulez en avoir à la racine; puis opérez e dans le cas précédent,

t, par exemple, à extraire la racine carrée de —5- à

rès,

trouve d'abord, d'après le proce'dé cité, — 5- = aS ,8461 ; appliquant la règle du premier cas ,

3lO / QQ ^ ^

= 4>"^> û près.

i3 ^' ' 100 ci de nouvelles applications des deux règles pre'cédentes :

V/3 1, 027 = 5,570, à^ 0,001 près; V/0,0 1 00 ï = 0,10004, à 0,00001 près;