PAR APPROXIMATION

Veut-on lin plus grand degré d'approximation? Extrayant a racine carre'e de 91 à 0,01 près (n° 183), on trouve 9,53.

)o.ic t /i = 9l^ = 9^ à ^i- près iV. /?. — Dans cet exemple, on a trouvé -^ pour une valeur

pprochée de la racine carrée de -~, c'est-à-dire une fraction

^Ins grande que la fraction proposée elle-même. Or cela doit tre, puisque le carré d'une fraction est le produit de cette 'action par elle-même, et que, dans la multiplication desfracons proprement dites (n°60), le produit est toujours plus peit que l'un des facteurs.

L'artifice de la transformation précédente, qui consiste à lultiplier les deux termes de la fraction par le dénominateur, pour objet de rendue le dénominateur un carré parfait , afin uç la valeur approchée de la racine à extraire, soit repréîntée par une fraction ordinaire exacte, et qu'on puisse juger nsi du degré d'approximation obtenu. Or nous avons déjà dit 1*8) qu'on ne peut se former ime idée nette d'une fraction Il d'un nombre fractionnaire , qu'en concevant Yunité divisée 1 un nombre exact de parties égales dont on prend un cer^ tin nombre,

£86. Il y a des cas où l'on peut rendre le dénominateur d'une •action un carré parfait sans être obligé, de multiplier les deux îrmes par ce dénominateur : ce sont ceux où le dénominaîur renferme déjà un facteur carré parfait. Dans ce cas, il affit de multiplier les deux termes de la fraction par le foc* ?wr non carré parfait,

Soit , par exemple , la fraction j^.

Remarquons que 48 est égal à 16 X 3 ou (4)* X 3 ; ainsi, en lultipliaiît les deux tenues par 3 , on a pour fraction équiva-

;nte, ^ r^ ou 7~^ ; et le dpnominateur ejst ainsi rendu

u carré parfait.

aSo scous GÉnuAL

Extrayant maiotenant la racine de 69 à — prts, par exemple,

ce qui donne 8. 3 , on trouve -^— 00 pour la lacmedeman-

^ la 120 '^

dée, à près.

C'est à cette modification qu'on doit rapporter la préparation qu'il faut avoir soin de faire subir à tonte fraction déônale dont on veut es^traire la racine carrée , préparation qoi consiste à rendre le nombre des chiffres décimaux paie (sII ne Test pas déjà).

Soit, par exemple , la fraction décimale 5,a49.

Le dénominateur de cette fraction étant 1000 ou 100 X 10, il suffit de multiplier par 1 o les deux termes de la fraction , ce qui revient à placer un o à la droite du nombfe proposé; et l'on obtient ainsi 5,2490* Extrayant alors la-racine de &^go à «ne unité près , on trouve 22g. Ainsi 2 , 29 est la raçiu^ demandée à

près.

187. Presque tous les auteurs , en rendant compte de Textraction de la racine carrée par approximation, établissent en principe, que, pour extraire la racine carrée d'une fraction, il faut extraire la racine carrée du numérateur et celle du dénominateur. Ce principe est évident (n® 182) lorsque les deux termes sont des carrés parfaits; mais il cesse d^ l'être si les deux termes sont des nombres entiers quelconques. Yoilâ pourquoi nous n'avons établi ce principe que pour le cas où les deux termes sont des carrés parfaits. Il résulte ensuite de ce qui a été dit n°' 18S et 185, qu'il est encore vrai pour une fraction dont le dénominateur est un carré parfait ; et maintenant, on peut l'admettre pour toute espèce de fraction y sans aucun inconvénient, dans les applications numériques ^ puisqu'en définitive , il faut toujours , pour évaluer la racine carrée de la fraction , en venir à rendre le dénominateur un carré parfait.