EXTRACTION DE LA RACINE COBIQDE

§ IL Formaiion du cube et extraction de la racine cubique

des nombres»

i09. On appelle cube ou troisième puissance d'un nombrci le produit de trois facteurs égaux à ce nombre , et racine cu^ bique ou troisième d'un nombre, le nombre qai, éleyé au cube, reproduit le nombre proposé.

La formation du cube d'un nombre entier ou fractionnaire 8e réduit donc à deux multiplications successives y que l'on effectue d'après les règles connues.

Les dix premiers nombres étant

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, lo, on trouvera pour expressions de leurs cubes ,

Par exemple, le cube de 7 étant égal à 7 X7 X 7, on dit d'abord: 7 fois 7 font 49» et ensuite 7 fois 49 font 343; et ainsi des autres.

Réciproquement, les nombres de la seconde ligne ci-dessus ont pour racines cubiques les nombres de la première.

On reconnaît, à Finspection de ces lignes, que parmi les nombres d'un, de deux, ou de trois chiffres , il n'y en a queneuj qui soient des cubes parfaits; chacun des autres a pour racine cubique un nombre entier plus une fraction , laquelle ne peut s'exprimer exactement. En effet, admettons pour un instant qu'un nombre entier N ait pour racine 3* exacte un nombre

fractionnaire tel que j\ il faudrait qu'en élevant j au cube,

on piît reproduire N. Or cela est impossible, car x X - X -

donne pour résultat j^; et comme on peut toujours supposer que j est un nombre fractionnaire irréductible, il s'ensuit

d'un nombre entier. a53

€pie aetb sont premiers entre eux ; donc (n? iSO) il en est de

même de a^ et b^', ainsi j-j est aussi un nombre fractionnaire

irréductible, qui, par conse'quent, ne peut être égal à un noui- Ire entier N.

Les racines cubiques des nombres entiers qui ne sont pas des cubes exacts d! autres nombres entiers ne peuvent donc pas s*, obtenir exactement , et sont aussi (n" 176) , par conséquent , des nombres incommensurables ou irrationnels.

£90. De même que , pour découvrir le procédé de l'extraction de la racine carrée d'un nombre entier quelconque, nous avons eu besoin de nous fonder sur l'expression du carré d'un binôme («+ ^) > c'est-à dire de la somme de deux quantités y de même , pour l'extraction delà racine cubique, il est iudispensable de connaître la composition du cube de cette somme {a + b).

Or, on a déjà trouvé (n® 177) que

{a+by ou {a + b) (a + i) = a» + 20^ + i».

Si l'on multiplie ce premier ré- û*+2û6-f-ô*

sultat par a-^-b , a-\'b

d'après la règle établie (n"» 112) a^ + aa'^+/z*»

pour la multiplication des poly- -4-«'^ + 2û^* + ô^

nomes , et qu'on fasse la réduction a^-j- 3a*^ -}- Zab^ -f- b^ des termes semblables , on obtiendra

{a + bf = a3 + 3û*6 + Zab^ + b\

Soit fait dans cette formule , ^ = i ; elle devient

(« + 1)3 = «3 ^^ 3û»-h 3« + I , d'où l'on déduit (a + 1)^ — a' 3^» j. 3^5 ^ , .

ce qui nous apprend que la différence entre les cubes de deux nombres quelconques qui diffèrent dfune unité, est égale au triple du carré du plus petit nombre, plus le triple de ce fnême ombre, plus \.

â54 EXTRACTION DE LA HÂCINK <:UBI<^E

Ainsi j la différence entre le cube de 90 et celui de 89 ^të^e à 3 X (89)*+ 3 X89 + I = a4o3i.

On peut juger, d'après cela , combien deux cul>es pàrtûts consécutifs sont différens Tun de l'autre dans la sérié naturelle des nombres , dès que leurs racines sont des ndmbM» un peu considérables.

* 191. Recherchons maintenant tlh piit)cédé /7râ^ exltaùt b racine cubique d'un nombre entier.

D'abord, si le nombre n'a que trois chiffres au plns^xJii Hicine s'obtient immédiatement it après inspection des cubes des neuf premiers nombres. Ainsi , la racine cubique de isS est 5, Urâcine cubique de 72 est 4 pins une fraction , ou 4 9 à tme iUAié près. La racine cubique de 841 est 9 , à une unité près , pai^ que 841 tombe entre 729 ou le cube de 9, et 1000 du tt cnké de 10.

Considérons donc un nombre dé plus de trois chiffints.

Soit , par exemple , i o3823 le nombre pix>pose. 103.823 ) 4

23o4 22109 |lc

Ce nombre étant compris entre 1000 qui est le cube dé 10, et 1 000000 qui est le cube de 100, sa racine cubique est nécessairement composée de deux chiffres, c'est-à-dire de dixaineset d'unités. Désignons par a les dixaines et par b les umtôy nov

D'tJPr NOMBRE ENTIER* IkSS

lirons (n"» 190)

D'où Ton ydît que le cube d'Un nombre i^omposé de dixaiftes t d'unités contient le cube des dizaines ^ plus le tnpïe prù* luit du carré des dixaines par les unités , plus le triple iroduit des dixaines par le-carré des unités, plus le cube des mités.

Gela posé, le cube des dixaines ne pottvant donner de^ mités d'un ordre inférieur à celui des miY/e^ les trois demierat cliiiFres à droite n'en peuvent faire |)artië ; et c'est dans là par î tie io3 (qu'on sépare des trois derniers chiffres par un point) que se trouve le cube des dixaines. Or, la racine du plus grand cube contenu dans io3 étant 4 pour 64 « 4 ^^^ ^^ chiffre des dixaines de la racine cherchëe ; car i o3823 est compris entre 64000 ou (4o)^ et f sSooo ou (So)*^; donc la racine est composée ie 4 dixaines, plus un certain nombre d'unités moindre

Le chiffre des dixaines étant trouvé , retranchons son cube ^4 de io3 ; il reste 39, qui, suivi de la tranche 823 , donne ►9823 ; et ce résultat contient encore le triple carré des dixaines par les unités , plus les deux autres parties énoncées Précédemment. Or, le carré d'un nombre de dixaines ne pou- ''ant donner des unités d'un ordre inférieur à celui des cenaines , il s'ensuit que le triple produit du carré des dixaines ^dr les unités ne peut se trouver que dans la partie à gauche ^98 des deux derniers chiffres 23 ( qu'on sépare encore , pour ^ette raison , par un point). D'un autre côté , l'on peut foftrier e triple du cat'ré dés 4 dixaines , ce qui donné Ifi ; donc , si 'on divise 398 par 48, lé quotient 8 sera le chiffre des unités de a racine , ou un nombre plus fort que ce chiffre, parce que les {08 centaines contiennent , outre le triple produit du carré les dixaines par les unités , des retenues provenant des deut utres parties. Pour vérifier si le chiffre 8 n'est pas trop fort, »n pourrait, comfne pour la racine carrée , former, à l'aide de e chiffre 8 et du chiffre 4 ^^s dixaines ^ les trois parties qui

2l56 EXTRACTION DE LA KAGIlfE GDBIQUE

entrent dans 39828 ; mais il est, en général , plus simple d'élever 48 £iu cube.

Or, on trouve pour ce cube, i loSg^, nombre plus grand que 108823 ; ainsi le chiffre 8 est trop fort. En formant le cube de 47f on obtient io3823 ; donc le nombre proposé est un cube piurfait et a pour racine cubique, 47* ^

, N. B. — On ne peut pas rechercher d*abord le chiffre des unités, par la raison que le cube des unités pouvant (n® 169) donner des dixaines, et même des centaines, ces dixaineset ces centaines se trouvent confondues avec celles qui proviimnent des autres parties du cube.

Soit encore à extraire la racine cubique de 479^4*

Le nombre 479^4 ^^^^t compris entre 1000 et 1 000000, sa racine est comprise entre 10 et 100, c'est-à-dire > renferme des dixaines et des unités. Le cube des dixaines se trouve dans 47 mille, et l'on prouverait, comme dans l'exemple précédent, que 3 , racine du plus grand cube contenu dans 47 9 exprime le nombre des dixaines. Retranchant le cube de 3, ou 27, de 47)00 a pour reste 20 ; abaissant à côté de ce reste , le seul chiffre 9 de la tranche 954 , on a 209 centaines , nombre qui se compose du triple produit du carré des dixaines par les unités, plus des retenues provenant des autres parties. Donc ,' si l'on forme le triple produit du carré des dixaines 3 , ce qui donne ^^ centaines, et qu'on divise 209 par 27, le quotient 7 est

d'oic nombre entiek. iS*]

le chiffre des unitës de la racine , ou ah nombre plus foiet qiie ce chiffre. En élevant 87 au cabe, on trouve 5o653, non^m plus fort que 4.7954 « ^^^^ ^^ ^^^^ forme le cabe de 36, 6fi obtient 46656, nombre qnî , retranche de 479^41 comme on' le voit dans le tableaa ci^-dessos , donne pottr reste iigft; Ainsi , le nombre proposé n'est pas un cube parfait ; et sa racine, à une unité près , est 36. £0 effets la difféi:encc entre le nombre proposé et le cube de 36, est, comme on vient de le voir, 1 298 , nombre plus petit que 3 X (36)*-|- 3 X 36 -^ k [différence entre (37)'' et (36)^], puisqu'on a obtenu dans If coui^ de la vérification , 3888 pour le triple du carré de 36/

iW. Soit maintenant proposé d'extitiire la racine cubique d'un nombre de plus de six chiffres , 4^725658 pair exemple. .

reste*..- 111450

io5

io56

Quelle que soit la racine cherchée , elle a nécessairement i^lns d'un chiffre, et Von peut la regarder comme composée d'unités et de dixaines seulement (le nombre des dixaines pouh vant avoir plusieurs chiffres).

Or, le cube des dixaines donne au moins des mille; ainsi, ce cube se trouve nécessairement dans la partie à gauche dés troit derniers chiffres 658. Je dis maintenant que, si Ton extrait la racine du plus grand cube contenu dans 43725 considéré comme ekprimant des uàités simples, on aura le nombre total des dixaines de la racine demandée. En effet^ soil a la racine du

^ nnucnov de 14 macvsz cdkqob

pins grand cobe contenu dans 437^5, il s'ensoit 4'«bqTd ((oe la racine cleaiandée a au moins un nombre a de dixaiaes, puisque a''X 1000 peut alors être retranché de /^'jzSooOy et à fortiori ^Ae 4^735658. D'ailleurs, la racine ne saurai^ a^oir (4^-f-i) dixaines; car (a -f i)^ étant plus grand que i^i^B^ (a^- i)''X 1000 surpasse 43725oooo d*au moins un mîile, et est par conséquent plus grand que 43725658. Donc enfin , k racine demandée se compose de a dizaines plus un certain nombre d'unités moindre que dix.

, La question est alors ramenée à extraire la racine cubique de 407^5 ; mais ce nouveau nombre ayant plus de trois cliiffre^i sa racine en a plus d*nn , c'est-â-dire renferme des dizaines et ei unités. Pour obtenir les dizaines , il faut séparer les trois derniers cbiffréSf 7^5, et extraire la racine dû plus grand cube contenu daos 43. (On voit assez ce qu'il feiidrait faire si ce nouveau nombre avait plus de. trois chiffres. }

Le plus grand cube contenu dans 43 est 27, dont la racine est 3 ; et ce chiffre ezpriinè alors les dizaines de la racine de 43725 (ou lé chiffre des centaines de la racine totale). Retranchant le cube de 3 , ou 27, de 43 , on a pour reste 16 , à côté duquel il faut abaisser le premier chiffre 7 de la tranche suivante, 7^5^ ce qui donne 167.

Formant le triple carré des dizaines 3 , on trouve 27 miUe; et si Ton divise 167 par 27, le quotient 6 est fe cl^iffre des unite's de la racine-de 43725, ou bien un nombre plus-fbiK. Il est aisé de reconnaître que ce chiffre est en effet trop grand; ainsi, il faut essayer 5 > et pour cela , élever 3.5 au cube ; il vient pour résultat, (^^S^S^ nombre qui, retranché de 437^5 , donne po.aiç rçste, 85o. (Ce reste est évidemment plus petit que 3x(3|^)* -f-3x 35-|-ï> puisque déjà le carré de 35 est, d'à prè% le tableau ci-dessus, égal à i225.) Ainsi, 35 est la racine du plus grand ciibe contenu dans ^37^5 : c'est donc le nomùre touUdet aixaines de la racine cherchée. . . ,

Pour obtenir les unités, on abaisse ^ côté du reste 85o»le premier chiffre 6 de la derniçie tranche 658, ce quidonneSSoOî pu forme d'ailleurs le triple carré des dizaines 35 (ce qui est 6-

»}»« j^ûiqm^daiis Ifi ^riâeiitioii âtt'èhiâ^e'fMrécéA^t j <k k Mji forl»4i Je carre dé X)i paU dB dkidd SSoSpâk* t:€'t^iji1è :^ré,367^>;leqùolîe»C-est a , qUi l'ôti èiéàteëiif MëTant S^k âù ^be; oaobtieDtainfi 43614208^ të^lcat{>lds {hétîtorielënëUi^bMpro^sé. Eh le soustrayant d^ celui-ci; bii <^tièti(£ (idùir te^Xe^ tii^So. Donc 35i est la riiciiié cùbiqtie de 43^^5660 ,& Un^ unité. prè^4 ' '

,,, BjbOu ûÉHÉa^ui. ««^ Pour €3nrùi/é fti HàclWé cH^fiièi itSÏt fuimbre cmlvar,>séparez ie^nên^teèû tr^t^fihéi ilé'thtfisè'h^lff^ çtktvmne^.à^pardkdc la dwilFrfU3hftià^ke'^éifk>uè p&RiëhSk à une tranche ifun, de deux, ou de trois chiffrés (àiàpGii^X^

HOMBRE DtEftTftAMCiHEft SS'PiGAL' 4tr lîolll^il^ '4^ éîËlffklif'BE LA

bacine) ; extrayez la racine du plus grand cube contenu dans la première tranche à g^oiehe ^ ^VrttraH^t.îië <^e\ de la

première tranche ^ abaissez à côté du ref^ Jtt-pmm^r chiffre de la seeènéé thàfièhé; et Sii^îsèÈ le iimiti aîhsïjor^, par le triple carré du chiffçe déjà trpytyié à ta K^i^iJëc^R^z^^e quotient à la droite de ce chiffre, et élei^ez au cube t ensemble des detiM^ehiffre^j^sice cube est jb4h Pêàsiênibie ici Mux

jfr^mihresjiranchos.duTt6mbtè proposé, âimiHUeztë^ùéitem, ^ une où deplusimais ui^lés,fusqt^à ce ^iiè voïii obïèiïiékilh imbe quitpuissàsereliyimbhéf^de reliienéblè dhs deùi^ràfiïilbres triimhfiSftlat, soustraction fiiite, abaissez à tèiè ait hèéié té^ fjçemifi^ chiffre delà troisihtite franche , pikis'âtP&èz tetioifhhfk ^imifonné.^pcir le triplé carré de TensèniBle dés âeùxçKif^ Jres déjà trouvés ^ le quotient, à* il ff est pas trop fort. Hait être ^ qvf'.ePLf.écrivant àJa droite des dbUx prerkièrs chiffrés^ àç la po^iff^eisel élevant mt àubèlè nombre qui en rêsutiè, on puisse retrancher le produit , de l'ensemble des trois premières ^ran^i ches. Cette nouvelle soustraction faite , abaissez à cité du reste le premier chiffre d^^l.^ qiin^ri^me tranche g el opndnueki la même série d'opérations jusqu'à ce que vous ayez abaissé tmUes les tranches. >

^ , Remarie* -«^ Souvent ,- dans le cours des opérations , on est coudait à soupçonnfer qufun dç^ quqtiens dont upua yeubns de parler^ est beaucoup trop fort y et alors on croit poii-

a6o CXTRACTIOir de la KACIAZ GDBiqOEi

Toir le dimuiuer d'avance de deux ou plttsienis «nilët; maii eu élevant au cube la racine déjà troarée , auWie de ce chiffre , et retranchant ce cube , de rensemUe des tranchei considérées dans le nombre proposé, on peut obtenir un reste très grand , qui donne à penser que le dernier ^iffire plicé k la racine est trop faible. Or, pour savoir si cette préiomp* tion est fondée , il faut s'assurer si le reste surpaswe ou égak le triple du carré de la racine déjà obtenue , plus le triphàt cette même racine, plus un. Dans ce cas, on doit auguisfiter la racine d'une ou de plusieurs unités de Tordre du denMr chiffre obtenu.

Voici des exemples sur lesquels on peut s'exerceri

V^4S3at49=:78, avec un reste 8697.

|/gi6325o864i = 4^8, avec un reste ao644^^

1/32977340218432== 32068, exactement.

195. -^ Extraction de la racine cubique par iyjpraximoiiûn. Lorsque le nombre proposé n'est pas le cube d'un autre nombre entier, le procédé ci-dessus ne donne que la paitie entière delà racine. Quant à la fraction qui doit compléter la racine , nous avons déjà vu (n"^ £89) qu'elle ne peut être obtenue exactement; mais on peut trouver une autre fraction qui n'en diffère que d'une quantité aussi petite que Ton veut , d'après une règle analogue à celle du numéro i8S.

Soit, en général , proposé d'extraire la racine cubique, ou troisième, du nombre a (entier ou fractionnaire), à une/nuy

tion près -.

Le nombre o peut être mis sous la forme ^ — ; et si l'on

désigne par r la racine du plus grand cube contenu dansa/t^ c'est-

à-dire la racine cubique de an^ , à une unité près, le nombre

an^ . r3 (r+iV , s

-^ , ou fl , est compris entre ^^ et ■ ^^ ' ■ ; donc aussi ,{/at»i

FAa APPKoxiiUTioir. 361

comprise entre les racines 3'"'/ de ces deux nombreS| ou entre -

et ; donc enfin , - est la racine demandée, à mie fractios

Ainùf pour extraire la racine 3**' d'un nombre, à une

fraction pris - , multipliez le nombre par le cube du dénonti^

naleur n; extrayez, à moins dune unité près, la racine cubi^ que du produit , et divisez le résultat par n.

Exemple. — On demande la racine cubique de iS, à —

pris.

Onai5Xi2i'=i5x 1728=25920. Or, la racine cabique de 25920, à une unité près, est 29. Donc la racine demandée

est -^.oua — 12' 12

Soit encore à extraire la racine cubique de 37 -^ on ^^»

à — pfis?

ao^

^ 48q s V, 489X8000 3gi2ooo , ,1

Or, la racine cubique de 300923 -^ ou de 300923^ à une unité

Mrès«^t&7; donc-^90u3— , est la racine demandée, à -—près. ^ * 20 20 20

Un trouverait pareillement

t^47= — = 3 — = 3 F, à — près; ^ ^' ao ao 5' -xo *^ ^

»38 = T5==»tÎ'^Ap'*"

qiQn ixTucTiM >s u lâeiMa-flUBiODi

, IM. L'approximation en décimales est onecoiutfmieDadQ

Soi l proposé d'évaluer l/aS à o,ooi près.

11 faut (n° 195} multiplier 26 par le cube de 1000, ou p»t 1000000000, c'cfit-.'i-dire placer neufzévos à la droite de 25,»e qui donne aSooooooooo. Or, la racine cubique de ce nombre esta924>^*'°C"nit^P'^èa. Donc 2,924 est la racine demaDdée,

En gériL-ral , pour évaluer la racine cubique d'un nombre entier en décimales , écrivez à la droite du nombre , thois fou autant de zéros que vous voulez avoir de chiffres décimaux à laracine; exiraj-es, à une unité près, la racine cubique du nouveau nombre; puis séparez vers la droite du résultat, k nombre de chiffres décimaux demandé.

N. B. — On peut, comme pour la racine carrée (n" 185) , te dispenser d'écrire sur-te-cliamp toutes les tranches de troï! zéros, et ne les placer que succes.'iivËinent et au fur ei ï mesure qu'on «eut obtenir de noaVeftiix dii'fteB déc^mil^ ji la racine.

198. Lorsque le nombre proposé est fractionnaire, il y a deux c^ à considéra : 0^ ce aaifUbte^ décimal, ^j\ il est quelcan^iie: -..,,,

Phehier cas. — Soit à extraire la racine cubique de3,t^iSà

• — -près?

Gomme, en vertu de la règle di;n°l9S, il faut multiplier le nombre par (100)^ ou loooooo, il sufGt évidemment d'écrire deux zéros à la droite de 3,i4iâ, puis de suppnmér la virgule, ce qui doune3i4i^o- Or, la racine cubique de ce dernier nombre, à une -unité près, est 146. Doué 1,46 est la racine demandée , à prêt.

loo'^

Si Ton voulait un nouveau cbilfre décimal à la racine , il suffirait de placer h la droite du reste obtenu , uiittnouveUe tnache de trois zéros ; et l'on CQntinuerait l'ôp^rf U^.

PAR APPBOICIMATIOX. 7,6%

' {lÈGf];^ Gp;éRAL£. — Pour extraire la racine cubique à'me fraction de'cimale, à un degré d'approximation déterminé , faites en sorte (en p^açar^t à la droite de la fraction proposée Un nombre convenable de zéros) que le nombre des chiffres décimaux soit triple de celui qu'on veut asfoir à la racine ; Impprtinez la virgule; puis extrajest la racine 3* du hoMbfe résultant, à une unité prhs , et séparez vers- la droite de cette mcine té hontbte de chiffres décimaux demandé, '' *

Second cas. — Lorsqu*il s'agit d'un nombre fractionnaire quelconque, on le réduit d abord en décimales (n* 91) , i?n poussant l'opération jusqu'à ce qu'on ait au quotient trois tois ' autant de chiffres décimaux que Ton veut en avoir à la racine; puis un ophre comme dans le'cas précédent.

Voici de nouvelles applications :

i/3,oo4i5 = 1,4429, à j^^^V^h^'f 4/0,00101 =t: o,îo, à r— près;

£96. Remarque sur l'extraction de la racine cubique des fractions.

Toutes les fois que l'on a à extraire la racine cubique d'une fraction , et que le degré d'approximation n'est pas fixé d'à* vance , on doit, comme pour la racine carrée (n^ iB8), faire su- , bir au nombre proposé quelques transformations.

Soit 7 le nombre proposé , b étant supposé d'abord un nombre premier, ou le produit de facteurs premiers élevés à la première puissance.

Comtiietiçon» par rendre le dénominateur un cube parfait^ tn multipiHant lès deax termes par 6*; la fraction se change

2l64 EXTnACTION'DX LÀ RJlCIlfE CDBI<97E.

alors en cellé*ci| -p-. Dësignant par r la partie entièfc et la

racine cubique de ab*f on reconnaît aisément que -7^ on t

est compris entre p et ^—»"^. Donc t /t est elle»Bfli£«e cott*

y* 7* "t" I /* jt

prise entre j et — r — ; ainsi 7 est la raâne calMque de jifK

fraction près marquée par ?•

Si Ton voulait une plus grande exactitude , il n'y aorùt

qu'à rechercher une valeur plus approchée de k «&*» et difinr le résultat par b.

Lorsque le dénominateur b renferme des facteurs dont ks uns sont des cubes parfaits, et les autres des carrée paHaits, la préparation à faire subir à la fracUon est plus simple.

>Soity pour exemple, la fraction ^g-.

Le nombre 36o est égal (n** 144) à 2'. 3*. 5; donc, si Ton multiplie les deux termes de la fraction par 3 X 5* ou 76, la fraction pourra être mise sous la forme

tiSXpS 8475 a*x3^x5^"^(3oK

Extrayant la racine cubique de 8475, à une unité près, ce

qui donne 20 , on {ronve^ou-x pour la racine demandée, 4

La r^le de Tex traction de la racine cubique des fractions décimales , peut être considérée comme un cas particulier de cette dernière transformation.

Pour que le dénominateur d'une fraction décimale soit un cube parfait^ c'est-à-dire soit ^1 à (10)^, (loo)', il iaot

timoDUCTioir. a65

rendre le nombre des chiffres, décimaux multiple 4e trois, ce qui se fait en écrivant des zéros en nombre convenable.

Enfin, tout ce qui a e'té dit n"' 187 et 188, sur la racine carrép des nombres , s'applique également à la racine cubique , et en généra^ aux racines d*un degré' quelconque.

Nous ne pouvons toutefois exposer dans ces élémens les pro» cédés de Textraciion des racines d'un degré supérieur au 3% parce que ces procédés sont fondés sur la composition d'une puissance de degré quelconque d'un bmome, et que la formule qui a rapport à cette composition exige, pour être développa complètement , des connaissances assez étendues en Algèbre. Nous donnerons , d'ailleurs , dans le dernier chapitre de cet ouvrage, un moyen abrégé d'effectuer les extractions de racines de tous les degrés.