CHAPITRE y II

jéppUcatians des règles de V Arithmétique* TTiéorie des Rapports et des Proportions.

197. Introduction. — Après avoir fait connaître les pro-> cédés relatifs aux diverses opérations de l'Arithmétique, il nous reste une tâche assez difficile à remplir, c'est celle d'initier les commençans à la résolution de toutes sortes de questions sur les nombres.

On distingue deux genres principaux de questions , les théorèmes et les problèmes.

On peut avoir pour but de démontrer l'existence de certaines propriétés dont jouissent des nombres connus et donnés, auquel cas la question porte le nom de théorème* IjC cinquième chapitre offre une foule de questions de ce |eiire : les principes

^À6 DES RAPPOKTè ET PROPORTIONS.

Mr la ditiiihitité Ses nombres , les propriëtës dès fttîctiètos décimales përibâîqnes et des fractioinis cohtimies, ' sofil àhint ioè tnëorémès.

' Oh bîeîi'y An se propose de déterminer certains nomlM^fr près la connaissaneé d^aùtrés nombres qoi ont avèe les pé^ HAiérÈ des' relations indiquées par Ténbncé ; et alof^ fftd m pro6Rme qiie l'on Véàt résoudre. Telles sont les questions qde iToiis'aTbns présènte'esi dans le cours des deux preiniers dlîinttiiès^ cbmible applications des diverses règle» der^riâiiM-

' t/tiAs on peut avoir à résoudre des problèmes plus cbinpfiaùéhj dbntlé^ énoncée soient tels qu'on ait quelque pririei découvrir etàd^ieiinirier&i série àès opératiohs^Hrjiitui'èffit' tuer sur les nombres connus et donnés, pourptxn^nir à ta eéih naissance des nombres que Von cherche ; c'est celte détermiaatioa qui cox^titue ce qu'on appelle Vf^nalyse 914 la réjioJUm du problème.

Il existe toutefois une certaine classe de problèmes , pour la résolution desquçU on peut établir c^s règles fixes et certaines : ce sont ceux qui dépendent de là théorie des rapports et des proportions. Il est donc naturel de commencer par le dévelop- ]^iîiént de cette tkéorié, qui , d'ailleurs , à cause de ses nom.breuses appltcations, doit ètrei r^ar^ée comme l'une des plus importantes des Mathématiques.

5 I. Des Rapports et des Proportions,

198. Nous avons déjà dit (ù** i) qo^l n'y a point de grasdeor ftbsbtùe ; qùé^ pour se former une idée d'une grandeur quelconque , il faut la comparer à une autre grandeur convenus) dé même espèce y qui peut d'ailleurs être prise arbîtrairemeat ou dans la nature. Le résultat de cette comparaison est ce que nous avons apjpelé nombre.

Mais si^ au lieu de comparer une grandeur à son unité, on veiit conïparer dètti grandeurs quel<^nques d'ime même s»fiobf ce (^hi'rérièiit à comparer 1^9 deux nombres qui les ex-

priment, le têsuUâiâé celte comparaison est ce qui constitue lÊt^rapport (m là "ï'àîjfpfi Sts deiix lioihbres.' Ces d(eux mot^^ }itpport et finshn, sont synonythes eii Àf athëmatiques | ei filt>iimènt lldëè' au'on ^e fait d'une ^tandéur parle àio'ycn Vitèkfi' autre '^àhi^étit a laquelle 6n ' W compare , et qui doVt elfe ésëétitiblfêméàt'ile'^nlème espèce. * '" *

• ' Dans ce sens, un nombre est l'expression du rapport on de là tiison'd'uné gràiideur à son i^m'M.

'^Bh gëhAraV; ityadè^x fnànïms de comparer deux granr^ éeursTûnèàrmiïré:' > - ^ , >v .

'"^''Oti bieà , oh réut savoir de combien la plus grande surpass^ là |ilàs petite; el le résultat s'obtient en soustrayant 1^^ plus petite de la plus grande.

-*Oii Bien/oà veut savoir combien de fois l'une cpiitient Tatitfey'du y est contenue, èe qîii se &it en divisant lèl^' deux qiiàiititësPuné par l'autre. '

Ainsi, soient 24^t 61es deux nombres que l'on veut ççmpafet'.

" pna 2.4-6= 18. et ^=4.

Le résultat de la comparaision par soustraction , est 18; tandis que le résultat de la comparaison par division, est 4* - Pour distinguer cfcs* deux' espèces de rapporta, on appelait autrefois lé premier, rapport atithniélique , et le second, roppàti g'^^^T^icffri'i^tte. Mais ces dénominations insignifiantes sont maintenant remplacées par celles-ci : pour la première espèce, rapport par soustraction , ou siuiplepient différence, parce que c'est le résultat d'une soustraction; et pour la secopde^ tf^pbrt pàrdîvisiM, ôii isimplement rapport , ^àrce que 'c'est presq^iéi. toujours pour savoir combien de fois l^une des quantiiéa contient l'autre, que l'on compare deux grandeurs en Mathématique^. '^

Par exemple, dans, la théorie des nombre complexes, le rapport de l'unité principale d'une certaine nature à Vune ds tes subdi^ions , (mkt*(ipport de deux sùbdix^isiohs entre eHes, l'est autre chose que le nombre de fois que lime contint

968 DSt lAFFoin XT fioromonv

l'autre. Dans la comparaison du nouveau ayslèiiie des fmdi et mesures à Tanden , le rapport du mètre à Im toise, et cdoi de la toise au mètre, le rapport du kilogramme à la Uvn poids, et celui de la livre poids au kilogramme, sont ki nombres entiers ou fractionnaires qm résultent do la diviiioa de deux nombres exprimant en unités de même esfèee, kl mesures que Ton compare.

Ainsi dorénavant , lorsque nous nous servirons da mot n|iport, il exprimera le résultat ou le quotient de la dMsiea is deux nombres; et si nous voulons exprimer que deux nombia |] sont comparés entre eux par soustraction ^ nons emploieiOBi la dénomination de dijfférence, oix de rapport par sms" traction»

Dans tout rapport, soit par soustraction, soit par divittoaf on distingue deux termes , qui sont les nombres que Ton oobip pare. Le terme qu'on énonce ou qu'on écrit le premier^ s'sppelle antécédent, et le second , conséquent.

199. Lorsque deux rapports par soustraction sont qgWi l'ensemble des quatre nombres qui les constituent s'appeik une équi^ifférence , comme étant l'expression de deux diS^ rences égales. (On l'appelait autrefois proportion arithmétique.)

Par exemple, soient les quatre nombres 12, 5, 37, 17; comme la différence de la à 5 est 7, et que la différence de 34 â 1 7 est aussi 7, on dit que ces grandeurs forment nue éqoi* différence , que Von écrit ainsi :

la •5:a4. 17 ,

en plaçant un point entre le premier et le tecond terme, dcMX points entre le second et le trobième , et irn point entre k troisième et le quatrième.

On renonce d'ailleurs de la manière suivantes

î^est àS comme ^J^est à j»]'^

ce qui veut dire que 12 surpasse 5 d'autant d'unités que s4 ' surpasse 17. •

D» U^fOfttS If MOfOMfOIIS, 969

Où peut auisi IVcrire, d'après les Botations d^à adoptées»

Le premier et le troisième terme , la et 24» se nomment les antécédens de Tëqui-différence; le second et le quatrième s'appellent les conséquens; ces dénominations s'accordent atec celles qui ont été données aux deux termes d'un rappwips» iousvnaclion.

Le premier et le dernier terme , 1 a et 1 7 , se nomment aussi les deux extrêmes; le second et le troisième , Set a4f ^^^ dits les deux mqjrens.

tOO. Lorsque deux rapports par division sotit égaux, ren"semble des quatre nombres qui les constituent, s'appelle une jproporiion (autrefois proportion géométiique; on pourrait le

nommer encore un équi^voiieni, comme étant Fexpression de deux quotiens égaux. Hais Je mot proportion est généralement adopté }•

Soient, par exemple, les quatre nombres i5, 5, 36, 1% ; le rapport de i5 à 5, ou le quotient de i5 par 5, étant 3, ainsi fue le rapport de 36 à la, ces qufitre nombres formenH une proportion, que Ton écrit ainsi 1

i5:5::36:ia,

en plaçant deux points entre le premier et le deuxième,

quatre points entre le second et le trobième, et deux entre

le troisième et le quatrième. ^

On l'énonce d'ailleurs comme une équi-^fférencei iSestàS

comme 36 est à la; ce qui yeut dire que i5 contient 5 autant

de fois que 36 contient la. Aussi peut-on l'écrire encc^re sous

i5 36 cette autre forme s -t^ss-*.

5 la

Les dénominations des termes sont du reste les mêmes que dans les équi-différences.

Ainsi 1 5 et 36 sont les aniécéienf ; .5 et la sont /ei cpnsé\ quens. Enfin i5 et la sont appelés les e^êrémes; 5 et 36 les "moyens de la proportion.

* 'Doue, ces quûtft nombres ferment une éfÈÊMiffim its exirimes senties deux termes de ttun^ det deux i èi les migrefts les deux termes de l'autre.

ML CoNsiQtJBifCE. «^ Il réduite de la fii'ôiiriétëprè qiiè| connaissant trois termes d'une équi^^jffiêrence, o\ ira îè quatrihne, si c'est un extrême, en retranch sommé deè moyens , F extrême connu, et, tî c'est an en retranchant de la somme des extrêmes, le ntoijren

* kiiist/iwH iVqttv-diffléréiice

(x cUfigoiuU le iiçrjne inçonnii}.

^ )\€ûiiÉaà€ dsiM y d'après la prppne't^ fondamentale ,

' x + 23 = ii+49,

il (Oi résulte x=ii + 49~~23 = 37^ ce qjaà dMi«> :

v:^ ftj . M : 49 • 37-

Pareillement , dans l'e'qui-âifierence

3i . 25 : x.nSf on a ar+25 = 3i + 78j

d'où / ^a=3i + 78— 25=84,

et par conse'quent, 3i . 25 : 84 • 78.

- Il08;4^1quefbis, on est conduit à conside'rer une iiérence dont les deux moyens sont égaux ; elle s'app illi0 iqùi^>d{jffiltence continue (ou proportion arithmét tinue).

Par exemple,

est une équi-différence continué*

Comme, dans ce cas, le dbuble de l'un des moy en vertu de la propriété ci*-des3sas , être égal à la se

DES PA<)i>pnj(oir&. j|^5

Fun des extrêmes sont multipliés par un même nombre ; |dnsi| il en est de même du produit des extrêmes et du produit des moyens; et, puisque alors les deux produits résultaBS sont égaux , les produits priuûtifs V^tai^nt a^ssi.

Observons d'ailleurs que, ni les gualre nombres donnés ne formaient pas ,une proportion , il faudrait , pour rendre les conséquens éj^aui; à leurs antécédens , multiplier ces i:oiiséqus&s chacun par un nombre différent qui exprimerait le rapport du premier terme au second , ou du troisième terme au quatrième; et comme, après cette multiplication, le produit des eittrème» deviendrait égal à celui des moyens, il en résulte qu'avant la multiplication , les deux produits n^étaient pas égaux, ,

D'où l'on peut conclure que si quatre nam^nes, énoncée ou écrits dans un certain ordre, sont en proportion, Je produit des extrêmes est égal à celui des tnqjrens,

Réciproquement, si le produit des deux teri^es extrêmes *si égal à celui des moyens, les nombres forment une properêian dans l'ordre oU ils sont énoncés ou écrtijt^, C^, a'i^jp'y ay^|^ pas proportion entre ces quatre nombres^ on vient de voir que le produit des extrêmes ne serait pas égal à celui des moyéiiSy ce qui serait contraire j^ la supposition établie.

Appliquons les notations^algébriques à la démonstration de cette propriété et de si$. réciproque.

Soient qviat):e nombres a, b^ Cy4, en proportion , ç'est-à-dirc tels qu'on ait a : 6 ;; c : d, ou ce qui revient au mêmêi

Multiplions les deux moinbres de citÂ/^ àyûM if99 k4\ \^^

abd cbd \

vient ^^^,

ou, réduisant, ad=,bc.

Donc le produit des extrêmes, ^^à, est 4g^ ^ti pf^çdmit des moyens, bc. i . . : .

Réciproquement^ Hpient gu^i^PinJ^TCS a^ b,e^d, tels que

^'jS PAOPRIÉnês

divisons les deux membres de celte e'^alite' par b X,d] ï\

a>:,d bx c

Tient

bxd'^ bxd'

ou, ea supprimant les facteurs communs , a^^^* c'est-à-dire

aib ::c:d.

Donc les quatre nombres forment une proportion dont ks extrêmes sont les facteurs de Vun des deux produits, et dont les mqyens sont les facteurs de Vautre,

906. Conséquence. — De cette propriété fondamentale il résulte que, connaissant trois termes d'une proportion, on doit, pour obtenir le quatrième, si c'est un extrême , diviser le produit des moyens par F extrême connu ; et, si c'est un moyen, diviser le produit des extrêmes par le mcgren connu.

Ainsi, soit la proportion i8 : 24 \l 72 : x,

comme on a 18 X ^ = 24 X 72,

il en résulte x ss a = 9^ î

ce qui donne 18 : 24 !! 72 : 96.

907. Il peut arriver que les deux moyens d'une proportioa soient égaux entre eux , comme dans celle-ci :

la proportion est dite alors une proportion continue. Dans ce cas, le produit des deux moyens devenant le c*arre de chacon d'eux, il s'ensuit que ce carré est égal au produit des extrêmes \ donc chacun des mojrens a pour valeur la racine carrée du produit des extrêmes.

Soit, par exemple, la proportion So Ix :: xl8,x éUnt le moy^ terme inconnu d'une /7rcy9or/ion continue; on a

j?*=:5oX8 = 4oo,

DES PROPOfiTlOlfS. .||>27

d'où Foa dëduit a:= V/4®o = ao; ce qui donne 5o : ao :; 20 : 8.

En ge'ne'ral, soit la proportion al x II x l b\ il tn résidte

X* = a X i , d'où X = V A X b. Cette valeur de x fist ce qu'on appelle un mojren proportionnel entre les deux nombres aetb.

5108. AirrftES i*ropriétés. — On peut multiplier ouiivise^ bs

deux premiers termes, ou ks deux derniers, par un même

iU7fyi6re, sans altérer la proportion. :. f

En elTet y le rapport des deux premiers termes, ou Gelmdés

deux derniers , n'est autre chose (n* 198) que le quotient d^ine

division dont le dividende est l'antécédent , et le diviseur le

conséquent; et l'on sait qu'en multipliant ou divisant les dfeux

termes d'une division par un même nombre , on ne change ptts

la valeur du quotient. ' "«.

On pevLiégdilemenimultiplierou diviser les deux ànt^cédenà^ multiplier ou diviser les deux conséquens, par un fnétne MM" bre, sans altérer la proportion.

Car, par ces transformations , on multiplie ou l'bn d&tîse à la fois l'un des extrilmes et l'un des moyens par un même nombre ; donc le produit des extrêmes rçste toujours égal à celui des moyens. Or, d'après la réciproque de la propriété fondamentale , c'est, une condition suffisante pour que. 1^ quatre nombres soient en. proportion.

On peut encore, comme dans l'équi-différçnce , ifUeryertir V ordre des extrêmes d'une proportion et celui des moyens^ q|i Jtiien , mettre les extrêmes à la place des moyens^ .sans q^ç )a proportion cesse d'exister entre les quatre termes. ,

Par exemple, de la proportion 36 ; 12 :: 7$ t aS^y on déduit alternativement ,

1®. en échangeant les extrêmes. . . ^5 l la II 76 ! 36;

2®. eu échangeant les moyens. .. , 36 l 76 \l la • aS;

3^. en mettant les moyens à la I

place des extrêmes.. . « « ...,,. , ^ . . • . 12 : 36 :: a5 ! 75,

«^ WioWittHiÊs

Le rapport commun est différent d'uae proportÎQn à Tamrf , ainsi ce rapport est 3 jéatis la première , — dans la. seconde^

îlcHans la troisième; et ^ ou l dàM^ là xnmlKèA)^. Mais fïia-

^^fpéaffa^fofiioiix p'en existe pas moins , puisque , après ces muta' lions, il est évident que le produit des extrêmes reste toujouts >%alji.(;«)lû'deis moyens.; ,. '

.''HftBn — *.]Laplil|MMC'^.des.di}tçiirs.de Géométrie déMgnentpar

les dénominations de^ ahm^a^Q f^X ins^erten^o, les dirç»es

l^nlali^ns quA^'4^1^ C^t^pi:oji|v>/Efrâpx termes d'une proportion.

^ . ,l4es;ti9M(f¥riW&Â9<?i9ffiH «pnsi^ffsqt^â m^altîplier ou diviser les

||ei|P9|^,r^^IlpeH^n^f ^^^izfjc; o^ 4fVfV^^. ,

/i: l^f Ç9W<^ WWw^e» ?P?»» fj'i^.i^j^^.,ç<f^tinuçl çj^ 6ë<H

^t^f^,pt,iifiifi,t^f^^\^ ^>,tffip?lBii|,dl5?..çgii?mepçpiis.

SCO. Première propriété. — Dans tou^e P^ft^Xltioa, /<i apmijfv

> 'Âtate^'dIliM'4a')^|^ortioii . ^ ^a^OaJp-M^&Mfl^r .f on a, en ajoutant, 52 + 24 : 4îf :* ASi + V5 : i5,

i«trfi;«^sHfa]^t«..- ..;,,,., ,i79??r,;4.:M :;4?.7T.J$.C i.5,,^

'frf>o{«i^iMM('f{iS^1^$n f^urV^HtkjV , i .>

Pour nous rendre coHff^Ve 'ééi 'tJiHli^ "p^^priéCéli^ttlfttiilMitoièft;

'AimiimWmè^Mté, KkÊitnt^ ^é «iM[i i^wu^; ^-)>uiH^ les rapports Y>MSiklft -éCàfent- égMic ; 4ë» "^ppwm MitnvMè'k

De la proportion 72 db 24 : 24 Z: 45r~ i5 i.-i5^ ' • • ' (:± se prononce/»^ ou m^n«),

on déduit, en changeant {^ mojçns diB pUce Çn® iiWX, '

^•dt ^ : 45 ±: i5 :: a4 : #4; ' ' '

mais on a déjà 72 ! 24 •• 4^ « ^^9 f

oubien, 72 : 45 :; ^4 • ^'j

donc, comme deu::^ no^nbres égau^ à un trQisjiè$x^f^jfOjffjff^f^ sairetnent égaux entre eux , il s'ensuit encore

72 ± 24 : 45 ifc i5 :: 7:2 : 45, èttkien 72 ±124 ! 72 :: 45 ±: i5 : 4$. ' »

On peut donc dire aussi que , dans tbùte pYojportiou , la somme ou Iq différence des deux premiers termes est ^prC'mier terme, comme lu somme ou la diftércnçè des âeux der^ niers est au troisième, e'nohcé qu'il serait facile de comprendre en un seul avec l'énonce pi^dessus.

210. Seconde prqpriété. — Dans toute proportion, lasammfi ou la différence des anlécèàens est â la somnfç ctii à ïa^âifrè" Tencè descQnséquenSf comme un quelcçhque ^ès ariiicëâens ^t à son conséquent.

Reprenons la proportion ci-dessus , 7^2 1 24 ! i 45 • 1 5 ^ ef ènàngeons les moyens de place ; il vient

Oc, rien n'empêche d^appliquer à cette nov^lte pr<fp(ûftifl|i la propriété du numéro précédent; et l'on avrft

72 ±i 4$ : 45 :: 24 dz i5 : i5^

ou, changeant les moyens de place,'

72±:45î 24±:ï5 :: 45: i5, oii :: 72 îal. ' ^

Cette proportipn, énoncée en langage ordinsiife i et çan^paTiéi^à bi proi)i>rti<>n 7^ : 24 t; 45 l i5^déinontre évUWo^nifiilt U prpr pri^'té énoncée.

Si, dans la proportion 72 ±45 1 24=ti5 :: 4l5 î i5, on considère d'abord les deux signes supérieurs , puis les deux signes inférieurs, on en déduit «iu€ce«siveme»t

7« + 4&î: a4 +*i6 :: 45 : t5^ ^ 72 — 45 : 24 — i5 :: 45 : iSj

, , tî

a8o PhoPKiÈrts

d'où , à cause du rapport commun ,

ou bien , en changeant les moyens de place ,

72 + 45 : 72—45 :: 24+ 15 :24— is-,

c'est-à-dire que, dans toute proportion, la somme iumA' cédens est à leur différence, comme la soïïnme des conséqam est à leur différence.

lit. COKSÉQUEUCES DE CETTE PROPMÉli. I ^. Soit UOC «le

de nombres a, *, c, </, e,/, ^, A, i, *• . . . , tels que Foi A L

Il : * :: c : 1/:: e :/:: ^ : a :: / : *. . . ;

je dis que, dans cette suite de rapports égaux, lasûmmk tous les antécédens a> c , e> g» i, . . . est à la somme de m 1^, hs conséquens h , à,(, h, k,... comme un antécédent sud' conque est à son conséquent.

En effet , les deux premiers rapports alb II c l d,

donnent, en vertu de la •

.propriété précédente, .. a^db + dllcld; ,

mais , comme on a c \d\l elf^

il en re'sulte. a-^-c \ b-^-dll e *»f\

d'où, appliquant à cette nouvelle proportion, la

même propriélé , a+c -j-e : h + d-^-fw e :/;

mais on a encore e \f\\ §\h\

donc «4.^4.^:^4. d+f\\ g : A;

et par conséquent ^4-c +-eH-^: A-f-cî-f-/*-f. A::^:A;

et ainsi de suite , quel que soit le nombre des rapports égaux.

8 2 2®. Soient deux fractions égales, — , -' ; si Von fait U

somme des numérateurs et celle des dénominateurs, il en résulte une nouvelle fraction , -^, égale à chacune des fractions proposées .