DES PROPORTIONS. Î^I
En eflfet, régalité — =7trevieatàlâproportion8:i2«:2:3; . 'où j en appliquant la propriété ci-dessus ,
Il en serait de même si Tou faisait la différence des numéra- •i^ars et celle des dénominajLcurs.
Les transformations qui se rapportent aux propriétés pçecé- KenCes^ se désignent par les mots addenda et subsirdhehdo*
212. Troisième propriété. — Si Von a un nombre quelconque ^proportions, et qu^ après les ^n^oir placées les unes oii-^eft^us des autres, on 4es multiplie par ordre ^ les produits ré" ^itUans seront encore en proportion.
Soient, par exemple /les trois prbporUons
ïl résulte d'abord de leur définition ^ qu^'ellef pFèiftent être écrites ainsi :
Gela posé, si Von mùltîjpTie ces égalités menïbreà membre, il en résultera nécessairemëilt'des produits égaitx. Ok*, en "effectuant cette opération d'après la règle de la mtlUi^Hcatiôndès
fractions (vorez n** ô9), pn a p -ï-.= 5 — ^ ^^. ~g »
li'Mi 3X7X46:«Xi5xtatri2^i8M5^:32l><6o^if5r ^^
tt
a8o PR0PRléT]É9
d'où y à cause du rapport commun ,
ôQ bien , en changeant les moyens de place ,
c'est-à-dire que , dans toute proportion , la somme des anliçédens est à leur différence, comme la somme des conséquent est à leur différence,
iii. Conséquences de cette propriété. — i^. Soit une suite de nombres a^ bj c^ </, e,y*, gy^j i, A. . • . , tels que Ton ait
aib ::c:d:: eif\:g\ A:: i :it... ;
je dis que , dans celle suite de rapports égaux , Ut somme de tous les antécédens a^ c ^ e« g ^ i, . . . est à la somme de tous les conséquens b, d,f^ L^ k,,.. comme un antécédent queU conque est à son conséquent.
En effet , les deux premiers rapports alb II c l d,
donnent, en vertu de la -
«propriété précédente, . . a^db + dlldd; ,
mais, comme on a c idll e \f^
il en résulte. <i + c : ^ + ^f :; e:/;
d'où, appliquant à cette nouvelle proportion, la
même propriété , a+c +e : b + ^+/:: e :/;
mais on a encore elfwglh'^
donc a+c+c :ô + rf+/::^:A;
et par conséquent a-f-c -f-cH-^: A-f-^-f-y-f.A::^:A;
et ainsi de suite , quel que soit le nombre des rapports égaux.
8 2 2®. Soient deux fractions égales, — , - ; si Von fait h
somme des numérateurs et celle des dénominateurs, il en résulte une nouvelle fraction , -p, égale à chacune desfrac^^ lions proposées.
OiIS PROPOBlnOHS. iSS
^rof»fftMts.sçfnbljd>les^ multipliées par éfdre, doumëtdioU lïf^ à )deft produits en proportion.
a^ Keciprèquejinent , lorsqms quatre nonArès sent itn prv^ përtionf i^s racines tarrées ^ cubiques ^ quatrièmes, . . • dsoes mmknas p sotu mprcportion.
5oît Iâ proportion al b II c l d, ou t^=^ r,'
Puisque les deux rapports t> ;%, sont ^aûx, lès ràdhielft câtt-
rêés dé céi râpp^tts sont aussi égales ; et Vôn k v/t — 1/5.
Mais, pour extraire la racine carrée d'iyne frajctionf il&^ijt (n** 187) extraire la racine carrée du numérateur et celle du ft^Abminktëtlt, ce qVii ^6n^ ''
y b— K/v y d ud'
doTife ^^Xf , ôA bien, j/5 : Vb M V'à l VA *
Ij^ raisamMmQQrt 39rait Iç infçm^ pour^ raf[;ifie:fsttb^<pi04 ou pQVLt liiKe friMÛQ^: i^ Ae^é q^c^q^ ^ $n parMNOJt de^re iprûi*çlpe géoéra4 , jqi^e pimr j^traire une raci^ de degré guejccih^ gue d'une fraction, il frmt extraire la racine du ^^^4^^te^ et celle du dénominateur.
itl4. Ai^«in7i^*^--t2<)r9q«e les nombres
des carrés parfaits , les quantité^ [/a^ ^by \/Cy ^dy sont des nombres irrationnels^ et la proportion ci-dessus a lieu alors entre ^s vnômUresincoÉisaeiifiytfables; €^est^àH]ii^ ifuie l'iM est conduit à considérer des iiapponls entre dès nombres ilioo«K^ ittensurablesi., ^rapports quî^ en ^'néral ^ sont . «uK^miêHies ivrm4iionuels; et H «'agirait >ée sav(tti*«i l'on peut appliquera dés inroportions die cette espèce toutes les propriétés qm onft été é^a'bliiss ptéeédenAiïent.
^ '<9i>}BLtéewpxaktxe quelarqppnée estaffiriniatiTe^iléiiffiitdese rappeler ce qui a été dit précédemment (a^ ittS et iW)) qu'^tei
a84 DE LA RàCLS DE TROIS*
Nombre irrationnel peut toujours être remplace , mentalement,
par un nombre fractionnaire exact qui ne difi%re du nombre
proposé que d'une quantité aussi petite que Tou vtfut , et
qui , par conséquent, peut être prise tellement petite , qu'oa
ne doive avoir aucun égard à Teireur que Ton commettrait en
négligeant cette quantité;- et c'est alors entre les nombrei
commensurables substitués aux grandeurs irrationnelles, que
les rapports sont censés établis.
Quant aux rapports entre des nombres fractionnairesexactS)
il est aisé de reconnaître , d'après la règle dç la division des
fractions, qu'ils peuvent toujours être remplacés par des rap«
ports entre des nombres entiers.
3 5 Par exemple , le rapport de - à ^ — étant le quotient de la
division de - par — , est écal ( n® 62) à - X -f-, ou à r^, 7 "^ II " ^ 7 5 35
c'est-à-dire au rapport de 33 à 35.
De même , le rapport de ^ à --^ est égal ^ o X -^ t ou biçn
au rapport de i6i à 120.
Airtsi, toutes les propriétés démontrées précédemment sur les proportions , en supposant que les termes fussent des nombres entiers, ont toujours lieu, quelle que soit la nature de ces termes.
% il. De la Rèffle de Trois et des Règles qui en dépendenL
