RÈGLE DE TBOIS COMPOSÉE
(5oo et X forment un extrême et un moyen , parce que lnidation est directe. )
Multiplions actuellement 9 terme à terme, les deux proportions (i) et (2), il en re'sultera (n® 215)
76 X 5oo : ao X 1265 :: 18 X ar : ar X ar',
ou 9 supprimant le facteur x commun aux deux derniers termes y
76 X 5oo : 20 X 1265 :: i8 : j/.
, 2oXi265xi8 .187
Donc.j: = -^ — = = 11^ — '-. ou 12 jours environ.
Passons à un exemple encore plus compliqué.
Septième EXEMPLE. — 5oo ftommejp, travaillant 12 heures fax jour, ont employé 67 jours à creuser un canal de 1800 metrts de long sur 7 mètres de large et 3 de profondeur^ on demande en combien de jours 860 hommes travaillant i o heures por jour, creuseront un autre canal de 2900 mètres de long sur 12 mètres de large et 5 de profondeur, dans un terrain 3 fois plus difficile que le premier?
Voici le tableau des calculs , dont nous donnerons ensuite l'explication :
xi^''*' (i),
a:^ ouX. . . .(6).
860 X 10 X 1800 X 7 X 3x 1 : 5oo X la X 2900 x la x 5 x 3 ::57:X}
j, , V 5ooXi2X2QooX 12X5x3x57 ^, , 5i
d'où X = — 5^ 2 — i— r= 5àcf 5--'
860 X 10 X ittoo X 7 X 3 X I ^^ Soi
jinalyse.^^On distingue dans l'énoncé ci-dessus deux par' ties principales : la première comprend les nombres
Soo**"», 12*, 57^1 800"**'*"'^, 7'"-'«'«', 3'"'^,i^ et la seconde, 860/ 10 , X, 2900, 12, 5, 3
Q^om
Qhtur .
l^heur ..
yn,long»
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DE LA RÈGLE DE TROIS COMPOSÉE. SgS
^oisque le second terrain est trois fois plus difficile à fouiller le le premier, on peut représenter la dureté du premier terlin par i, et celle du second par 3 , comme on le voit ici.) On a désigné d'ailleurs par X le nombre de jours cherché. Cela posé y admettons d'abord que l'ouvrage à faire par les sux troupes d'ouvriers soit le même, et de plus que l'une et lutre troupe travaillent le même nombre d'heures par jour., Gomme , dans ce cas , plus il y a d'ouvriers pour faire cet LVrage, moins il faut de jours, on a une relation indirecte tre les deux nombres d'ouvriers et les deux nombres de jours. Qsi , désignant par x le nombre de jours nécessaire aux 860 vriers pour creuser le premier fossé , le temps de leur travail r jour étant d'ailleurs de 12 heures comme pour lesSoo oùers , on a la proportion (i) dans laquelle 860 et son corresndant a: forment les deux extrêmes.
actuellement, si ces 860 hommes, au lieu de travailler heures, ne travaillent que 10 heures, ils devront nécesrement employer ^/i/^ de jours à faire le même ouvrage., tisi , ayant égard aux deux nombres d'heures de travail par ir, comme moins il y a d'heures de travail , plus il faut de 1rs , on a encore une relation indirecte entre les deux nomîs 12*, lo'^, et les deux nombres de jours a:, x' ; ce qui rme la proportion (2) dont 10 et son correspondant x^ forint les extrêmes.
Dn pourrait , en multipliant les deux proportions (i) et (2) , ne par l'autre , et observant que le terme x disparaîtrait \ime facteur des deux derniers termes de la nouvelle prortion , on pourrait, dis-je, obtenir la valeur de x'y qui expri-* irait le nombre de jours nécessaires aux 860 ouvriers traitant I o heures par jour, pour creuser le premier fossé ; mais a est inutile , et il suffit de regarder x' comme déterminé. Biaisons maintenant varier la longueur du fossé en couvant la même largeur, la même profondeur, et la même retc de terrain.
)r, si le fossé a plus de longueur, toutes choses égales illeurs , il faut nécessairement /?^i/f de jours pour le creuser ;
WHf il y a relation directe entre les deux nombres 1800,9900, et x't 3^" {s" ovL X seconde désignant le nombre de jours corrçfpçndanl k la longueur 2900), d'où re'sulte la proportion (3) dontagoQ et x" forment un moyen et un extrême.
Répjétant les mêmes raisonnemeus par rapport à la largeur et à la profondeur, on obtient les deux proportions (4) et (S), dans lesquelles x" et x*^ (ou j: tierce et x quarté) expriment les nombres de jours qui correspondent aux yanations delà largeur et de la profondeur.
Enfin , si l'on a e'gard à la différence des duretés des deux terrains , il y aura évidemment relation directe ; et l'on obtiendra la proportion (6) dont le dernier terme x" ou X exprime le nombre de jours cherché.
Multipliant alors , terme à terme, les six proportions établie!
successivement, et observant que tous les termes jr, a!, x\
:fl^ x^^, disparaissent comme facteurs communs dans le second
antécédent et le second conséquent; de la nouvelle proportion,
on obtient la proportion (7) , d'où Ton déduit la valeur de X,
5i qui, toute siipplification faite, se réduit à 5^^ -^ — .
Ainsi , le nombre de jours demandé est de 54g jours envirou.
N.B.'T' R^pp^lonf-i^ous toutefois que, lorsqu'on est parvenu àl'expression x = ^^^^ '^ >< ^9oo X i^ X 5 X 3x5? „
^ 860X loX i8oo X 7X3x I
f#|it,«^yant d'eSeptuer toutes les multiplications indiquées) aTOir soin de supprimer tous les facteurs communs qui sont en évidejQce au numérateur et au dénominateur.
)ci, par exemple , après avoir opéré toutes ces suppressions)
on obtient X = ,^ - , ou , en effectuant
alors les calculs , X = — r ■ = 54q ;; — .
3oi ^^ 3oi
Cet exemple , qui est un des plus compliqués qu'on poisse
se proposer^ suf&t pour mettre les comme^nçans au fait de h
marche qu'il fauf; suivre dans tout 'autre.
^ sua th hÈQUB QÉ TROIS. fig^
^âO. Remarques générales sur la règlç de irc^is, -«« L'opér ration d'après laquelle on parvient à déterminer le pombre inconnu , dans les deux questions précédentes , s'appelle règle , de trois composée , parce qu'en tffet on parvient à une pro - . portion dont le premier rapport est formé par la raultipUpatipn de tous les rapports compris dans l'énoncé, à l'exception de celui dont l'inconnue fait partie , et qui forme le second rapport de la proportion.
Autrefois, on distinguait encore les règles de trois , en règle de trois sirnple et directe, règle de trois simple et iin^erse, règle de trois composée directe et inverse tout^à-la-^ois, etc. ; mais on est généralement d'accord pour rejeter toutes ces dénominations comme vicieuses, ou du moins comme inutiles. pour la résolution de la question.
La seule attention qu'il faut avoir, en plaçant les unes au* dessous des autres les différentes proportions dont le produit doit donner lieu à la proportion qui a pour seul terme inconnu le nombre demandé , c'est de s'assurer si les quatre nombres que l'on compare, pour chaque proportion , sont directement ou réciproquement proportionnels , et d'écrire la proportion en conséquence et d'après la remarque du n° S118. ' Nous proposerons pour exercice les problèmes suivans.
HuiTiinffE EXEMPLE. — ï5 ouvricrs , traînaillant lo heures par
jour, ont emplojré i8 jours à faire ^5o mètres d'un ^certain
oui^rage.; an demande combien iljaut d'ouvriers , travaillant
2 heures pur jour , pour faire en 8 jours 480 mètres du même
ouvrage?
[ Rép. X =: 3o hommes.]
INfscrviÈME EXEMPLE. — Il a fallu 1200 ifiètres de drap à\de large , pour habiller 5oo hommes; on demande combien il faut de mètres à \ , pour en habiller 960 ?
IRép. 329i«f.]
Dixième xxxmvlb. -— Un courrier marchant i5 heures par jour y a fait une rouie de SfjS lieues dans 20 j.ours de temps ;
dgS DE Là liGLE D'imÉiir.
on demande combien il doit marcher d heures jHtr Jour, fmr faire 4oo lieues dans iS jours?
[fl<p.i7»|.]
DE lA KÉGLE D UnÉMÊT.
m. On appelle intérêt d'une somme ^ le bénéfice residtaiit du prêt que Ton fait de cette somme j ou le prix du loyeràt cette somme pendant un certain temps ; la somme placée se nomme d'ailleurs le capital.
L'intérêt d'une somme dépend de la quotité de ce capital, du temps pendant lequel il est placé , et du taux d'intérêt. On appelle taux, l'intérêt ou le bénéfice que rapporte une sommé déterminée pendant un temps aussi déterminé ; ordinairement, c'est le bénéfice que rapportent loo francs prêtés pendant un an.
Ce taux , qui peut être considéré comme une sorte d^ unité d'intérêt, est de pure convention entre le prêteur et l'emprunteur ; il dépend généralement de l'abondance ou de la rareté des capitaux. Cependant, il y a dans le commerce ou dans la banque , des limites (fixées par l'usage et par la loi) au-delà desquelles le taux ne peut monter sans être appelé usure, (L'usurier est celui qui prête son argent beaucoap au-dessus du taux généralement admis.)
La règle d'intérêt n'est qu'un cas particulier de la règle de trois composée ; nous allons en donner des exemples.
Pbèmier exemple. — On demande V intérêt d'une sommt de ^Soo JrancSj pour a ans 5 mois, à raison de 'jfrcmcsp, \ par an (p, J est la manière usitée dans le commerce d'écrire pour lOo).
Cet énoncé est l'expression abrégée de celui-ci :
I oo francs rapportant 7 francs d'intérêt par an , combien produira j à proportion, une somme de ^5oo^, placée ou prêtée pendant a ans 5 mois?
Analyse et solution. — Appliquante cette question les principes établis précédemment , nous dirons : Les intérêts de deux capitaux placés pendant le même temps, sont directement
DE LA RÈGLE D'irrrÉRÉT. ^m
proportionnels à ces capitaux; ainsi , en appelant :r rinte'rêt du capital 4^00^ placé pendant un an, on aura cette pre* micre proportion
