oo X 2*" S"»"" :: 7 : X
45oo X 2*«'5'"*'^ X n
«t par conséquent, X = i = 3 1 5 X 2*»' 5'"*''' .
Effectuant l'opération marquée par 3i5
3 1 5 X 2*"' 5"*, d'après les règles con- 2*»' 5"**"'
nues , et comme on le voit à côté , ^ '
on trouve pour résultat, 70-1 francs ^„ ;-
25 centimes. Ainsi, rz/i/ér^/£fWma7i£?'(^ * .. -.
monte a 701 fr. 20 centimes, ■
Soit, en général , un capital ai placé pendant un temps eX" primé par t , à raison de ip. 1 00 par an,
ËD raisonnant comme ci-dessus , on sera conduit aux deux
,. fioo i a :: i : x]
d'où Ton déduit 100 : a Xt :: ilX^
eC par conséquent,
^ aXf Xt ait
Cette Jormule X= , comprend sous une forme facile à
retenir, la manière de déterminer l'intérêt d'une somme quelconque placée pendant un certain temps, et d'après un certain taux.
^ langage ordii^ire , elle signifie iju'il laut muk^flief k
somme proposée par le taux d^ intérêt pour un an, puU par fe temps pendant lequel la somme est placée , et diuiser k résuU tat par loo. C'est dans celte opération que consiste la ngîe d'intérêt simple.
SUS. On peut d'ailleurs parvenir à cette formule sans le se* cours des proportions , et par un moyen qu'il est bon de faire connaître.
Puisque loo francs rapportent, dans l'unité de temps on dans un an, un nombre de francs marque' par i% il est clair
qu'un seul franc doit rapporter . Donc une somme quel-
, i ^ ai conque rapportera, dans un an, — X^t ou : et cette
* * '^'^ lOO lOO ■
même somme, au bout de t années , devra rapporter — -Xi»
ait m
on .
N. B. — La fraction qui exprime l'inte'rêt d'un franc pour
un an , se présente, dans certains cas particuliers, sous une forme très simple.
Soit, par exemple, i = 5y ce qui veut dire qu'une somme
est placée à 5 p. loo par an ; il en résulte s= = — ,
' '^ ■■ ^ *^ 100 lOO 20
d'où = — ; ce qui fait voir que l'intérêt d*un capital
placé à 5 p. 100 par an y est égal au vingtième du capital.
Soit encore 1=10: il en résulte = = — . Donc
= — ; c'est-à-dire que Tintérêt d'un capital placé à 10
p. 100, est égal au dixième de ce capital.
On dit que le capital est placé , dans le premier cas, au de^ mer 20, et, dans le second , au denier 10.
Enfin , dire qu'une personne a placé ses fonds au denier ^0^
f c'est Bupposef qu'elle retire par an , ëti ititërél, lè 4<^**'d^sbn g capital ; ou , en d'autres termes , que le taux d^ihtérét est de â | t p; loo par an ; car on a
100 200 4®' loo""" loo "~4^*
,' Ces aënominatioiis sont usitéeà dans le commerce.
295. Quelquefois , le taux d'intérêt est donné , non pouir un 2 an , mais pour i mois ou 3o jours. {Voyez n® 221.) Dans ce cas, : on prend le mois pour unité de temps ; mais la manière d'opérer est toujours la même.
Second exemple. — On demande F intérêt de 5ooo franeà
pour 3i5 jours, ou lo mois i5 Jours ^ à raison de -r p. loo par
nrûis ?
Faisant, dans la formule Xss , <is=sâooo, ^ =% io"*4,
loo '
et .2=7, on obtient
* loo 24"
Ainsi, l'intérêt demandé est 898 francs 76 centimes.
TEoisxàME EXEMPLE. — Une somme de 8750 francs a rojp^ porté 5 1 g francs 25 centimes, en intérêt, au bout de 2 ans 6 mois; on demande le taux d intérêt auquel la somme a été placée ?
En raisonnant comme dans le premier exeinple ^ on pttr*
viendra aux deux proportions <'^,, , , ... y i
d'où l'on déduit 8750 X a i : 100 :: 719,25 : X.
-.. -- . 7iq.25xioo 71025 . e 9 ^i j."
Donc X = -^sè^^ rr— = ^^ s= 7 ,672 ; c'est-à-dire
que le taux d'intérêt est 7^)67 p. 100 par an, à 1 centime
près»
8o4 BÊGLE D'ESGOMrrÈ.
pital ; oa^ ce qni revient au même , qu'tih billet de loGiniics, payable dans i an, équivaut à loo fr. payables attuelleitietit. Donc, pour trouver la valeur actuelle du billet de 36c(6 francs, il suffit d'établir la proportion
io6 : 100 :: Sooo i Xj
et le quatrième terme représentera la somme que le banquier doit donner.
On peut dire encore : si pour to6 fr. payables âani i an le banquier doit retenir 6 fr., combien , pour Sooo tt,^ doit-il retenir? c'est-â-dire
io6 : 6 :: Sooo : x'\
et le quatrième terme exprimera la retenue que le banquier doit faire^ ou V escompte du billet.
, La première proportion donne x = — -g— = a83o^, ijf ; et la seconde x'= — -^ s=: i6g ,8i.
La valeur actuelle du billet est donc 2880', 19*^; ou bienle banquier doit retenir 169' 8i*^.
En effet , le capital 2880^ 19*^, réuni à son intérêt \6^fi\% reproduit 3ooo', montant du billet. On voit d'ailleurs ici que lés deux opérations se servent mutuellement de vérification.
Désignons, en général, par a le montant d'un billet, par lie temps qui doit s'écouler jusqu'à son échéance , et par t le taux de l'intérêt pour Tunité de temps.
Comme 100' rapportent i' dans l'unité de temps, ils doivent rapporter, au bout du temps f, une somme ^X^, ou it\ et par conséquent, 100 + it exprime ce que devient le capital loo' au bout du temps r, y compris l'intérêt; ce qui revient à dire que 100+/^ payable au bout d'un temps t, équivaut à 100' payables actuellement.
Donc, pour trouver la valeur actuelh du billet a y 11 faut
RÈGLE D'fiSGOMl^E. "305
établir la proportion
' lOO-f-lf '
et pour obtenir l'escompte du billet y on écrira
loo + i' t it. \\ a\ X) d'où a: =
ioo-|-t(*
En langage ordinaire, la valeur actuelle iTun billet s'obtient en multipliant le montant du billet par loo^ et divisant le pro» Huit par 100^ augmenté de V intérêt de loo', calculé pour le temps qui doit s'écouler jusqu^à Véchéance,
Qn trouve l'escompte lui-même, ou la retenue , en multi^ pliant le montant du billet par F intérêt de loo francs, calculé pour le temps proposé, et divisant le produit pa r iwf aug-^ mente de son intérêt pour ce même temps.
Si l'opération est exacte , les deux résultats ajoutés entre eux, doivent reproduire le montant du billet.
Premier exemple. — On demande la valeur actuelle dun billet de [fi5cf payable dans iZ*^^^* \ y en supposant le taux
d'intérêt à £ pour lOo par mois ?
On a a=485o, ^ssiS"-;, ^*=7;
d'où eX^=7X i3- = -^ = 10,125,
Donc la formule x = ————.- devient
485ooo 485oooooo ,, ,f
On a de même pour la deuxième formule ,
485o XI 0,125 49'Q625o I ..p,
dft6* Cette manière d'escompter n'est pas celle qu'emploient
Zp6 wàOiM d'E8G01OTE.
les banquiers et les commerçans. OrdinairemeRt, ib escomptait à tant pour loo par an on par mois ; c'est-à-dire qu'ils éta- ^Missent un taux iTescompie comme ils ont établi des taux dintérét.
Reprenons l'exemple ci^dessus, pourletiaiter par cette autre méthode.
On demande ttescompter un billet de 485o^^ payable dam j3in«ix ^^ ^ raison de \pour lOO par mois?
Anàdfàè, -—Comme, d'après Ténoncë, on est censé devoir r^
tenir pour loo', y par mois, il s'ensuit que pour 13*"^ i, onre-
3 - I 8i tiendra 7 x |3-9 ou-^, c'est-à-dire^ en réduisant en dëci-
mates, lo', ii5. Ainsi, pour savoir ce qull iiaut retenir sur
485o', on devra établir la proportion
loo : io,i25 :: 485o : ar;
j» Al» ^- 485o X 10,125 fax .V
d ou 1 on tire x s= ■^ =49^ >oo, à un centime^rh.
Or, si de 485o on 6 te 491 >o6, on obtient le reste 4358^,9^ qui représente alors la valeur actuelle du billet.
En comparant ce résultat 4358', g4*^, à celui qu'on a obtenu d'après la première méthode, on reconnaît que la 44^4'^ personne reçoit 45', 15*^ de moins par la seconde 4^58,94 méthode que par la première 1 45, i5
Pour expliquer cette diflférencç, il faut observer que les banquiers, en prélevant 491^,06 sur 485o', prélèvent l'intérêt que cette dernière somme rapporterait au bout de 13*""'^, tandis qu'ils ne devraient rigoureusement retenir que l'intérêt de la somme qui revient actuellement au possesseur du billet; et cette condition est remplie par la première méthode.
Ce nombre 49*5^6 que le banquier retient d'après la seconde méthode, se compose réellement de deux parties l'intérêt de la valeur actuelle du billet, c'est-à-dire 44^9919 plus Vintérét de cet intérêt, comme il est aisé de le vérifier.
KÊGLte D'ESCOMiPIt. 367
En eSet^ la proportion loo : ib^k^S :: 44^99* • ^ âc^àîie
44iî9L^12d^=45,, 483875,
c^est-à-dire 45>i5, à i//i cenf /me près.
Il résulte de là que ces 45'» i5° souf en pure perte peiur le possesseur du billet ; c'est un bénéfice que s'attribue le Imi-^ quier, indépendamment de celui qui lui appartient de droit en raison de l'anticipation du paiement.
Qiioi' qu'il en soit, la seconde méthode est généralement reçue dans le commercé , parce qu'elle est plus expéaitive et pliis commode sous le rapport des calculs.
En effet, désignons toujours par a le montant du billet, par / le temps qui doit s'écouler jusqu'à son échéance , et pâi* ilk taux d'intérêt, ou plutôt le taux d'escompte ^ ce qui donne / X ^ pour la somme à retenir sur loo francs prêtés pendant le temps t.
Gela posé, afin d'obtenir l'escompte du billet a, il ne s'agit que d'établir la proportion \
100 l it II a l Xj dou a: =
formule semblable à celle de la règle d'intérêt ; elle ne renferme que des multiplications et une simple division à effectuer, . tandis que les deux formules relatives à la première méthode donnent lieu à des divisions qui sont ménïe asèet compliquées.
Il y aurait bien un moyen de concilier les deux méthodes : ce serait d'établir un taux d'escompte un peu moins fort que le taux d'mtérêt. Mais la difficulté serait de les proportionner Tun à l'autre dans toutes les circonstances habituelles. Aussi s'en tient-on à la méthode la plus simple , ce qui d'ailleurs, n'est qu'une affaire de convention entre le possesseur du billet et le banquier qui le lui escompte.
N.B. '^ Pour distinguer les deux manières d'escompter, on
ao.^
3oS mÈcLE d'escompte.
désigne la première sous le nom d^ escompte en Jleâans, et h seconde sons celui di escompte en dehors.
Ces dénominations sont vicieuses ; et il y aurait peut-^ire plus de raison d'appeler la première, escompte en dehors, et la seconde , escompte en dedans : c'est l'opinion de plusieurs arithméticiens ; mais l'usage contraire a prévalu.
M7, Yoici quelques exemples traités par l'une et par l'autre méthode :
Second exemple. — On demande la valeur actuelle iun billet de a85o',45% payable dans a**' 8**^, en suppàsaot le taux d^intérêt à 8', 76* pour 1 00 par an ?
Escompte en dedans.'^ D^abord, puique 100 fr. rapportent 8^76* dans i"» , l'intérêt^ au bout de 2"' 8""«'' , doit être ^à
8,75 X a"* 8'"«",ou 8,75x 2»pn^. Ainsi la valeur actuelle
du billet est exprimée par
Li somme à retenir est d'ailleurs, exprimée par
Effectuant les deux divisions indiquées ^ on trouve
1® —5 =23ii,i8 -
Donc la valeur actuelle du billet est 23 1 1', 18^ ; et la retenue à faire est 539',27'.
Escompte en dehors. — La somme à retenir snr 100' pour
2«"' S*"*'' étant —, V escompte de 285o',45* sera
REGLE d'escompte. 30()
3^95o>i5X7o^665Sio5,
lOO 100
La valeur actuelle du billet estdoncégaleà 285o,45— -665^1 o, ou bien à 21 85, 35.
Ainsi, le possesseur du billet reçoit 1 25^83'' de 23 1 1 , 1 8 moins par la seconde nie'thode (jue parla pre- 2i85,35 mière. i25,83
Cette perte qu'il éprouve est d'ailleurs, comme nous l'avons déjà fait observer, l'intérêt de 539^,27.
TO
£^ effet, on a pour cet intérêt, à raison de -3- p. 100 pour
100 3oo ^
Troisième exemple. — XJn banquier a payé pour un billet de 56oo^ , pajrable dans 14 mois, une somme de 5 12g', 45*. On de^ mande d*après quel taux d'intérêt par mois le billet a été «compté?
Escompte en rferfaw^.— Puisque 5 1 29^,45*^ expriment la valeur actuelle de 56oo^, on obtiendra d'abord la somme dont 100' représente la valeur actuelle , par la proportion
5129,45 \ 56oo :: 100 : x;
Ainsi , l'intérêt de 100' pendant i4 mois , est 109', 1735.
Divisant cette expression par i4, on a o',6552 pour le taux d'intérêt par mois : résultat qu'on peut aisément vérifier en escomptant le billet de56oo^ d'après ce taux d'intérêt.
(Nous avons poussé jusqu'aux 10000^"" la valeur de ce taux d'intérêt , afin que la vérification fut plus exacte.)
Escompte en dehors. — Si Ton retranche 5 1 29,45 de 56oo, on obtient 4?^^^^ pour la somme que le banquier retient sur 56oo.
3lO RÈGLE DE SOCIÉTÉ.
Maintenant, afin de savoir ce qu'il retient sur loo^pour n mois y on e'tablit la proportion
^00 l 47^>55 :* 100 l XI
d'où :r = ^=8,4o.
oooo ^
Divisant ce résultat par 149 on a 0^,60 pour la somme qu'il rétient par mois sur 1 00' j c est, à proprement parler, le taux cTescbmpte par mois.
Ce taux est, coinme on le voit, plus faible que le taux de'ter* miné par l'autre moyen ; et cela doit être.
S!^8. L'exemple suivant tient à la-fois de la règle d'intérêt et de la règle d'escompte en dedans.
QiTATRièHE EXEMPLE. — Un marchand a acheté à un fabricant, pour SSSg'^îS dt une certaine étoffe; mais, ne pouvant k pajrer sur-le-champ , il lui fait un billet pajrable dans 18 mois» On demande la somme qui doit être portée sur le billet. Vintéréi étant à | pour 1 00 par mois ?
Analjrse.'^ On conçoit d'abord que le billet doit se composer de la somme due au moment de l'achat^ augmentée de son intérêt pendant les 18 mois.
Cela posé, puisque y exprime l'intérêt de 100^ pour un mois,
il s'ensuit que -^ X 18, ou i3,5o, représentera l'intérêt pour 18
mois.
Donc , pour obtenir l'intérêt de 3859,25, il suffit d'établir la proportion
loo : x3,5o :: 3859,25 : x-,
d ou ar= 2J = Dao.qqono ou 02 1\
100 vxr-i
Ajoutant cet intérêt à 3859,25, on obtient 438o,25 pour le montant du billet.
Là vérification de cette opération s'effectuerait d'après a Irègle d^escompte en dedans*
RÈGLE DE SOCIÉTÉ. 3ft
On établirait la proportion
ii3;5o : loo :: 4380,25 : Xy
et le quatrième terme , exprimant la valeur actuelle du billet de 4380^,25% devrait être égal à 3859',25«.
Nous renvoyons à la fin du huitième chapitre, les règles d'intérêt et d'escompte composés,
