Appliquons cette formule à la détermination du

volume de l’ellipsoïde allongé , qui est le volume engendré par la révolution de l’ellipse autour de son grand axe : l’équation de l’ellipse rapportée au centre ét^it

y* — — (a a — x a ) , on substituera cette valeur de^‘ dans la.

formule ?ry 5 dx, et l’on aura

CVBATURE DES SOLIDES DE RÉVOLITION. 267 b *

*y*dx — 7 t— (a 2 — x *) dx ;

et en intégrant , on trouvera

/Vy 2 dx = sr^^a*x — -f C...( 8l).

Supposons qué l’intégrale soit nulle au point A (fig. 56), Fig. 56. où x = — a ; nous aurons

et en substituant catte valeur de C, l’équation (8i) devient fry'dx ==»^(a‘x-^+| û’).

Fabons ensuite x — a, pour avoir l’intégrale définie comprise entre les limites x= — a et x = -f- a ; nous obtiendrons

/bydx = *■-.£ a 3 :

tel sera le volume de’l’ellipsoïde allongé. Si b — a , ce volume deviendra celui de la sphère, et aura pour expression

tü 2 X a a — ^ du cylindre circonscrit.

Déterminons encore le volume du paraboloïde de révolution. Pour cet effet, prenons la parabole de tous les ordre* pour génératrice ; l’équation de cette parabole nous donnera

y = ax”‘ ;

substituait cette valeur dans la formule (80) , nous ob-

tiendrons

v = fira*x m dx =

tn+m

mircPx m i an -f- m

Pour déterminer la constante , nous supposerons que le volume soit nul à l'origine ou x = o; alors nous aurons C=o. Dans le cas de la parabole ordinaire, m = a, n = 1 ; donc *

hrO*

— ita'x- =*y’, -,

Fig. 65. Or , étant l’aire du cercle dont PM (fig. 65) est le rayon , l'expression | jry 1 . x représente fa moitié du cylindre décrit par APMB autour de l’axe des abscisses : donc le volume de la parabole ordinaire est la moitié de celui du cylindre circonscrit. ( Note cinquième). >

De la cubature des corps terminés par des surfaces courbes , au moyen des intégrales doubles.

3;a. Proposons-nous de déterminer l'expression de la différentielle d’un- Tolume terminé par nne snrface dont l’équation est donnée. Soit Fig. 85. EDCB (fig. 85) un volume compris dans l'angle des axes coordonnés Ax, Ay et A z, et termiaé par un plan DCG, parallèle à celui des si x devient x + h, ce volume s’accroîtra d’nne tranche DiyCC', dont l’épaisseur sera A } et en nommant V' ce que devient alors le volume , on aura

V' = V + T" n+-j— r b-v -;— 5 + etc.,

dx dx’ i.a dx 5 a. 3

et la tranche DD'CCTGsera représentée par

• m v dv . ^ d.V A* d*V A3 , dx dx* i.a dx* a. 3

dans le cas de la limite, celte équation nous donne