AC
= circonférence BC X — •
CUBATURE DES SOLIDES DE RÉVOLUTION. flG5
De la cubature des solides de révolution.
3Sq. Soit v le volume engendré par la révolution de l’aire mixtiligne ABPM autour de l’axe AX (fig. 5i) ; si l’abscisse AP = x' devient AP' = x -f- h , le solide de révolution s’accroîtra du corps engendré par la rotation du tApèze mixtiligne PMM'P' autour du même axe. Le volume engendré par ABMP étant une fonction de x, puisqu’il augmente ou diminue en même temps que x, le volume engendré par AÉM'P' sera une fonction de x h , et aura pour ex-
pression
. dv , dV h*
Fig. 5i.
par conséquent , si on en retranche le volume engendré par ABMP, on aura
dv , . d*v h 1 dï h +tt~ + etc ->
dr a a
pour le volume engendré par PMM'P'. Or, ce volume étant compris entre les cylindres engendrés par les rectangles MP' et M'P, différera moins de l’un de ces cylindres que ces cylindres ne diffèrent entre eux ; donc , si l’on peut prouver que , dans le cas de la limite, le rapport de ces cylindres est l’unité , il en sera à plus forte raison de même du rapport du corps décrit par PMM'P', à l’un de ces cylindres. Cela posé , on a évidemment
le cylindre décrit par PM' = *• Qf(x + kyyh , le cylindre décrit par FM = *• ( fxyh \
donc le rapport de ces cylindres est exprimé par
lf{ x + h)J
®S6 calcul intégral;
En faisant h — o, on voit que ce rapport se réduit à l’unité ; il en sera donc de même du rapport du volume engendré par PMM'P' à celui du cylindre décrit par MP'. Or, ce rapport étant représenté par
— -4-etc
dx + dx* 2 +
dx ‘
dx a a
-f- etc.
r(fxyh
on a, dans le cas de la limite.
d’où l’on tire et enfin,
dt> *
dx
du = *y*àx . . . (80).
370. On parviendrait au même résultat par la considération des infiniment petits : car on peut concevoir le vo-
F%. G$. lume MON (fig. 64) comme partagé en tranches infiniment minces , par des plans perpendiculaires à l’axe de révolution ; l’une de ces tranches , qui est l’élément du corps , peut être considérée comme un cylindre dont la base est le cercle décrit par y , et dont la hauteur est égale à l’épaisseur ab représentée par dx ; par conséquent cet élément a pour expression *-y"dx. \
