CUBATURE PAR LES INTÉGRALES DOUBLES
Nous avons déjà fait assez connatire les deux me'thodes des limites et des infiniment petits , pour que nous ne craignions pas d’employer ici quelques considérations tire’cs de cette dernière^ afin de jeter plus de jour sur cette matière ; on pourra ensuite, sans difficulté , revenir aux limites. L'équation (81) nous montre que est le coefficient différentiel qui dé-
X dV
termine le volume j par^ronséquent la différentielle est ^ dr : celte différentielle n’est autre chose qu’une tranche infiniment mince DD'CC'FG, dont dr serait l’épaisseur. Si dans cette tranche on fait varier y, elle deviendra infiniment mince dans le sens des y, comme elle l’est dtjit dans celui des ar , et , par conséquent , elle se réduira à un petit prisme
élémentaire ID'KF, dont z sera la hauteur, et qui aura pour base
FGK.L ==da:dy ; nous aurons donc
^dardy = zd*dy,
équation qui nous donnera
d»V dxdÿ "
remplaçant z par sa valeur tirée de l’équation de la courbe, celte valeur sera , çn général , une fonction de * et de y, que nous représenterons par M, et nous aurons
d’V dxdjr
3 ç 3 . Pour déterminer le volume , au moyen de cette expression , écrivons-la ainsi :
= Mdy;
la notation qui est dans le premier membre , nons montre qu’on est parvenu & l’expression de la différentielle de ^ — , en regardant y comme
variable et a; comme constant ; la même* hypothèse devra donc avoir lieu lorsque par une opération inverse nons intégrerons; mais alors x étant traité comme une quantité constante, pourra se trouver dans la constante qu’on doit ajonter h l’intégrale. Nous regarderons donc , en général , cette constante comme une fonction de ar ; et en la représentant par X, nous aurons, par une première intégration,
g^/Mdy + X..,(8a).
Pour exécuter la seconde intégration, nous remarquerons que la notation
dV
— montre que la différentielle du volume doit être prise en regardant x comme la sente variable ; nous devons donc conserver la même hypothèse dans l’intégration ; ainsi , en représentant par Y la fonction de y, qui remplacera la constante, et en multipliant préliminairement pam dx, pour changer le coefficient différentiel en différentielle, nous trouverons
V = /dx(/Mdy 4-X)-f-t.
374 * L’ordre des intégrations citant arbitraire, on peut indiquer ainsi les operations que nous venons d'cxccutcr :
V =//adydx. vC «3>.
3^5. Pour donner nne application de cette méthode, proposons nous de trouver le volume de la sphère : l’équation de la aphère étant
on tirera de cette équation la valeur de z , et la mettant dans la formule (83) , ou aura
//adxdy ou /dy/zdx =2 /dy/dx^/r 1 — x* — y*.. .( 84 );
regardant y comme constant , et appelant A* fâ différence r* — y\ qui est essentiellement positive , puisque r surpasse toujours y, nous trouverons d’abord , en intégrant par-rapport & x ,
/ dx V x* — y* = /dx l/A» — x* j
or , d’après l’article 182 , nous avons »
/dx V^A» — x* = ^ }/ A' — x*+ * A 1 arc ^sin = ^^ -f-Y, et en mettant la valeur de A*, on trouve
/dx V r ’—x “■/*= r. V^x’-y'-b rc f sin— -- . * ■ ) +Y . . .(85; .
Pour prendre l’intégrale definie , observons que la constante y étant 8(5, représentée par AP (fig. 86) , tous les points que nous allons déterminer par cette intégrale, doivent avoir leurs projections sur la direction de PM ; car l’un quelconque de ces points ayant la variable z pour ordonnée, aura AQ et QN pour autres coordonnées, et alors QN sera
quadratuke par les intégrales doubles. 571
égal h la constante AP, et l'autre coordonnée AQ , dirigée dans le sens ■des x, pourra être remp'acée par P N ; de sorte qu’en comptant les x sur la droite PM, les y seront consunSj prenant donc l'intégrale de P en M , c’est-à-dire depuis x = o jusqu’à x = PM = \/ r* — 7 * , nous substituerons successivement à x , dans le second membre de l’equalion (85) , les valeurs x = yr> — y* et x — o, et retranchant le second résultat du premier, nous trouverons , pour l'intégrale définie.
- (r* —7*) arc (sin = 1) ;
et observant qne l’arc dont le sinns est l’nnite', vaut le quart de la circonférence représentée , suivant l’nsage , par a ir , cette intégrale de'finie devient
celte valeur de fdxÿr* — x* — y* étant substituée dans l’équation (84) > on aura
fftAx&y = ^ x/(r* —7*) d7 = ^ x(r*7 — Ç ^ X ;
et , en inte'grant depuis 7 = o jnsqu’à7 = r, on trouvera ffrdxdy ^ (r* -
Tel sera le volume qui reposera sur le quart de cercle BAC, et qui sera par conséquent le huitième de la sphère, ( Note quatrième).
De la quadrature des surfaces courbes, au moyen des intégrales doubles.
3 ^ 6 . Soit (fig. 85 ) EDCB = S , une surface courbe , et supposons que
l’abscisse x s'accroisse de h : cette surface deviendra S-H 7— h*t — : f-etc .:
Ux dx* a
et , dans le cas de la limite , le rapport de l’accroissement de la fonction
dS
S à celui de la variable x , se réduira à j- ; d’où l'on concluent que la difdS
féremielle est — dx : cette différentielle sera représentée , dans la figure , par la bande DD'CC' d’une largeur infiniment petite. SidansDD'CC' on fait maintenant varier 7, et que 7 devienne encore infiniment petit , la bande DD'CC' se réduira à DD'Il', et aura pour expression — j-dxdy. Or, celte surface DD'Ii' étant infiniment petite, on peut la ccmidérer
Fig. 80 .
Fig. 85.
Zy* CALCUL INTÉGRAL. '
comme plane; par conséquent, en la multipliant par le cosinus de son inclinaison^ sur le plan des xy, elle égalera dxdjr- (note cinquième] nous
aurons donc
Fig. 85.
d’où nous tirerons
DD'II' cos y = drdy, 2ïd/
d r~ d * d r c0 » y — àxày-.
dardjr'
" cos y
Pour déterminer la valeur de y, soit Ax -f- By -f- Cz -f~ D = o , l’équation du plan tangent ; nous savons que ce plan fait avec le plan des xy, un angle qui est donné par l’équation ( note sixième)
v'-dMèy
Si nous considérons donc Ax -f- By *+• Cz •+- D = o comme lYquaiioii du plan tangent au point de la surface courbe dont la projection est tixdy, nous aurons
Ponr déterminer les coefücicns différentiels qui entrent dans cette expression , nous remarquerons qn’au point que l’on considère ', le plau tangent se confond avec la surface courbe, dont nous représenterons
dx
l’équation par z =f(xy) ; par conséquent , les valeurs de et de -j- , qui entrent dans l’expressio* de cos y, doivent être regardées , art. ç5, comme les mêmes qne celles que l’on déduirait immédiatement de l’équation z—f(x,y). Ayant donc fait ces substitutions, on intégrera ensuite deux fois l’éqnation (86) , multipliée par dady, opération que nous indiquerons, comme précédemment, par un double signe d’intégration, et nous aurons
c S =ffàxAy y/, + (^.)‘ + (£)*•
377 . Ponr donner une application de cette formule , cherchons h déterminer l’expression de la surface de la sphère. Son équation étant
ar* -f- s* = r» . . . (87) ,
nous la différencierons , et nous trouverons , après avoir divisé par 3 ,
- xdar ydy -f- zdz — O ;
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QUADRATURE par LES INTÉGRALES DOUBLES* d’où nous tirerons
di =— 1. - djr — -£dr:
par conséquent ♦ •
x àz - = -Z.
dz
Substituant ces valenrs dans l’expression t/i + ÆV + /'df V nous la changerons en v V^V ^ Vd ) ‘
et par cOnséqqpnt nou% aurons
mettant la valeur de a, on aura
378. Pour effectuer les intégrations indiquées , nous écrirons
et par. là, nous marquerons que nous devons commencer par intégrer l’expression -p=^^ === , en considérant x comme la seule vanoble; faisant donc, comme précédemment, r*-jr« = Aî,
et intégrant, d’après l’art. 374, nous aurons, en ajoutant nne constant, «onction de r* ,
sarcrfti î -f.y }
mettant la valeur de A, et prenant ensuite l’intégral, définie depuié * — o jusqu’à *= [/r'—y, il viendra
f dj
: arc (sia = 1) — - circonférence sa " ,
CALClt INTÉGRAL.'
cette valeur étant substitue dans l'cqualion (88), nous donnera
en appelant X la constante, qn’ondoit regarder comme une fonction de x ; prenant ensuite l’integiale definie entre les limites y = o et / =ar, nous trouverons enfin
Telle sera la partie de la surface sphérique comprise dans l'angle formé par les axes des coordonnées rectangulaires *, ^^c’est-h^ire 1a huitième partie de la sphère. ,
De l’intégration des fonctions de deux variables.
3jq. Les deux méthodes principales que l’on emploie pour parvenir à intégrer les équations différentielles, qui contiennent deux qu un plus grand nombre de variables , consistent, i°. dans la séparation des variables, pour pouvoir leur appliquer ensuite les procédés usités pour une seule variable; a°. dans la recherche des factenrs propres à rendre une différentielle exacte. C’est pourquoi nous allons nous occuper successivement de ces deux méthodes.
De la séparation des variables , de l’équation linéaire du premier ordre , et des propriétés des
fonctions homogènes. ,
38o. Nous avons vu que toute différentielle, pour être intégrable, devait être de la forme çxdx ; ainsi, on serait arreté dans*l’intégration d’une équation, si elle .renfermait
des termes tels que^’dx , xydx, —, etc. Cependant il ne
faudrait pas conclure quejl’intégrationest impraticable ; car, si par des opérations algébriques , on pouvait faire en sorte
DE LA SÉPARATION DES VARIABLES. 2y5
que chaqueterme necontînt plus qu’une seule variable, l'intégration pourrait s’effectuer ensuite. L’équation xdy-f-ydx=o est dans ce ca3. En effet, si on divise cette équation par xy, elle devient •
dy , dx
et en intégrant , elle donne log^ -f log x s= C ; et en représentant par A le nombre dont C est le logarithme, on peut écrire log^ -f log x = log A , et par conséquent
, ■* - . tv
log xy = log A ;
passant aux nombres , on a
xy=A. *
, 38 1. Soit l’équation plus générale
çx.dy + Fy.ar = 0)
pour séparer les variables on divisera cette équation par spx . Fy, et l’on trouvera
■ - F y+çx-°>
équation dans laquelle les variables sont séparées.
38a. Pour en donner un exemple , proposons-nous d’intégrer * ^
(i -f- x a ) dy=dx^/y :
en divisai# par (î +X*){/y, on aura
- ' * ày — dx - -î
et en intégrant cette équation , on obtiendra a Vy = arc tang x -f- G.
