DE LA 6 ÉPARATI 0 N DES VARIABLE

* zdX -J- X(ds + Pzdx) = Qdx.

X étan/ arbitraire , on déterminera cette fonction en égalant entre eux les termes qui ne sont pas sous la parenthèse , ce qui décomposera l’équation précédente en ces deux-ci :

X (dz -f- Pzdx) = o , zdX = Qdx ; la première donne .

— Pdx,

logz=— /Pdsg, ou , en observant que log e équivaut à l’unité , log z — — fpàx log e = log ;

passant aux nombres , on a

on tire de la seconde

dX = = Qe/ p,br dx ;

donc

X=/Qe /Pdx dx-f-C; mettant ces valeurs de z et de X dans l’équation

on obtient

y = e -/ pdjr (yQ/ pdr dx + c)...^o).

Cette équation porte le nom à' équation linéaire du premier ordre; nous enverrons la raison, art. 44 1 •

386. La séparation des variables peut toujours s'effectuer dans les équations différentielles du premier ordre à deux variables , lorsqu’elles sont homogènes. Une équation homogène est celle dans laquelle tous les termes, considérés par rapport aux variables, sont de mêmes dimensions : ainsi l’équation

ux 2 y 3 + èxjd -f. cy 3 x* = o

est une équation homogène , puisque la somme des diposans de a: et de y étant égale à 5 dans chaque terme , tous lès produits x*y\ xy 1 , etc., sont chacun de cinq dimensions.

L’équation

. ax B y a — bx b y 3 -f- ey* = o

est aussi homogène, puisque la sommç des exposans des variables dans chaque terme est 8. La variable x n’entre pas dans le dernier terme de l’équation , mais cette variable peut être considérée comme élevée à la puissance zéro.

387. Soit , en général , z une fonction de x et de y, composée de termes homogènes , tel» que Ax?y, B xf'yi', CxPy 1 , etc. Si nous représentons par n la somme des exposans de x et de y, dans un de ces termes , nous aurons , en vertu de l’homogénéité , *

p-j-qz=zn, p'-+-q'=n, p" + q" = n, etc.

Cela posé , si nous* divisons t.ous les termes par r", l’égalité subsistera encore , et le terme A x r yi deviendra

‘ Ay . m»,

X a x n ~P 3$ \xj ’

ce que nous disons de ce terme pouvant s’appliquer à tous les autres, nous aurons donc

et en faisant-^ = q, cette équation deviendra

x*Fq = z,

équation qu’on peut écrire ainsi :

Qx"~z,

en appelant Q la fonction représentée par Fq.

DES ÉQUATIONS DIFFÉRENT. HOMOGÈNES. 27$ 388. Considérons maintenant l’éqaation différentielle

Mdx-fNdy = o,

danS laquelle les coeflicierfs M et*N sont des fonctions homogènes de deux variables x et y d’une dimension n.

En divisant cette équation par x", elle pourra donc se mettre sous la forme .

*(S> te+, (9^= oî

et si nous faisons ^ = z, cette équation deviendra -

ou plutôt

dxpz -}- dyFz = o, dv

+ = o...(gi).

Pour achever d’éliminer^ au moyen de l’équation -^=z, ou

plutôt^ = zx , nous différencierons cette dernière équation et nous obtiendrons

dy , xdz . dx- Z+ àï'

cette valeur réduit l’équation ( 91 ) à

tpz

d’où l’on tire

+ Fz ^z +

xdz'

xdz çz (^zJ^Fz)

dx ' Fz Z *""" *

et, en séparant les variables,

dx » dzFz

if z 4 - zFz*

a8o CALCUL INTÉGRAL,

et par conséquent

lo 8* = -/-

dzFz

<Sz + zFz

Lorsqu’on aura intégré, il ne s’agira plus que de mettre dans le résultat la valeur de z.

389 . Prenons pour exemple l’équation x’dy==y*dx+Æycb: : en faisant^ xszx, nous trouverons

dy = zàx -J- xdz ,

et, en substituant ces valeurs, l’équation deviendra x“zdx -4- xMz — z*x’dx -}- zx’dx ; réduisant et divisant par x“, facteur commun , on obtiendra

±dz = z*dx ;

cette équation étant divisée par z* et par x, donn?

dx dz

et en intégrant, on aura

logx = — i-f C = — - +C = — X +C.

5 go. Prenons pour second exemple l’équation

x 1 -f-yx ~T^-y

ày=yàx-

en faisant disparaître le dénominatenr, on voit que tous le* termes de cette ^^ation sont de deux dimensions; ainsi, nous supposerons^^ = zx ; et en réduisant , cette équation bous donnera *

dy (1 — z) .

dx (1 -j- z) ’

DES ÉQUATIONS DIFFÉRENT. HOMOGÈNES. a8l

mettant pour ^ sa valeur tirée Se l’équation y — zx, on

aura ' •

, . xàz *0 — O

dx x -f- z ’

transposant 2 dans le second membre , et réduisant au même dénominateur, on trouvera

* dx (i-f*).

et enfin

-dz,

log X = -f | = i à Hz + C

3gi. Lorsque lVqnation proposée, outre les termes Aar Pyf,

ter'j'l'-b etc., contient des polynômes tels que

(Mjrey* -f- Nx^y' -f» etc.)*dx, (Px'f + Qx‘'jr‘' -f- ete.ydy,

les variables seront encore séparables si l’on a

P + q = ÿ 4 - <f — (r + s) A= (r 7 -f 1 ’ ) k =i (r + u) l = (t' -f- u!) I .. .(ga).

Pour le démontrer, faisons

et divisons par *» tous les termes du polynôme

(M*y + Nxr'y' + etc.)», ce polynôme deviendra

( Mx-y> -4- q- etc. \ » f M r « + Ny*' ( # \ ».

or , les équations (q3) nous donnent » n

sSz CALCUL INTÉGRAL.

substituant cas valeurs dans Impression précédente, nous trouverons

ce qui prouve que lorsque les équations fgü) Ont lieu , les polynômes élevés à des puissances, se réduisent, comme les autres termes, à des

fonctions de -• .

Par conséquent, en faisant 1 - = z, on plutôt y = zx , l’équation peut

se réduire à une fonction de z. Pour en donner un exAple, soit

xdjr — ydar = di y x‘ — y*. . . (94)-

Cette équation écrite ainsi , -

x’jr'dy — y’xodx — djr(jr»yoï— j 0 y»)’ ,

on voit que lés équations ( 91 ) sont satisfaites ; ainsi , nous ferons y =s zjr , et par conséquent

dy . dz r

substituant ces valeurs dans l’équation ( 94 ) , réduisant et divisant par le facteur commun , on obtiendra

et par conséquent

<lxj

*~yi

intégrant , on trouvera , art. 9j3 ,

log x = arc (sin = z) -f- C ,

on , en remettant la valeur de z ,

logx = arc^sin = •Q+c.

3ga. En général , lorsqu’on a ufle fonction homogène des variables x,y, z, etc., on peut toujours séparer l’une fies variables, par exemple x, en faisant^ = tx, z — ux, etc. (*).

(*) Voici ce calcul : soit M <Lr -f- Ndy -f; Pdz = o,une équation homogène, dans laquelle M , N , P, soient des fonctions des trois variables

DES ÉQUATIONS DIFFERENT. HOMOGÈNES. a83

3g3. On emploie quelquefois des exposans indéterminés pour rendre une équation homogène : soit, par exemple, l'équation

ay m x n dx -f- bx’’ dx -f- cx^dy s= o ;

on supposera et comme l’exposant k n’est pas une

variable , mais une constante inconnue, on différenciera par l’art, ai , et l’on aura

dy = kz k ~'dz et y m = z k "';

en substituant , on obtiendra

' az km x*dx 4- b0dx -+* ckx*z k ~'àz es o ;

cette équation sera homogène si l’on a ,

km -f- n —p, q + k — l=zp;

x,y, z ; ces fonctions M, N , P contiendront des termes tels que Axfylz', üxr'yl'z'', C. xr"yl“z r ", et l’on aura p-bq-br—p'-b(]'-br'—p'-bq"-y.r''=n. Si dans l’un de ces termes , par cieinple , dans Axfylz', on substitue les valeurs y zx.tx , zzxux, ce terme deviendra

Axrtùlu r x' = xr+i+f X AtUi'zszx’Atlu' ;

la même chose ayant lieu pour les autres termes, si l’on y substitue les valeurs de y et de z, l’équatiog Mdx -f- Ndy -f- Pda = o aura x" pour

facteur commun ; supprimant et facteur elle psendra la forme -(- F (r,u)d . Ix -bf(t,u)&.tix =Qj et , en exécutant les différenciations indiquées , on aura

#(l,u)dr + F (t,u) (tdx + xdt) ) (udx xAu) = o ;

d’où l’on tirera t ' . *

[f (t,u) -b tF(t,u) -h u/[t,u)) dx — —x [F(t,i^dt +J[l,u)du] i et par conséquent

dx F(t,u)dt-bfit,n)àu 1

X ~~ p(t,u) -b tF(t,u) + ÛjltiuY

éliminant l'indéterminée h , on trouvera

équation de condition qui doit avoir lieu pour que la proposée puisse être homogène par la # substitution de.....

3q4. Il existe, sur les fonctions homogènes, un théorème important que nous allons démontrer de la manière suivante :

Soit Mdx + Ndy la différentielle d'une fonction homogène z entre deux variables x et nous représentons par n

la somme des exposans des variables , dans l’un des termes qtfi composent cette fonction , nous aurons dope l’équation

*Mdx -f- Ndy=dz. . .(^5).

Faisant - = q, on trouvera , art. 387 ,

Qx"s=z; - .

remplaçant , dans l’équation (g5) , y par sa valeur qx , et appelant M' et N' ce que deviennent alors M et N , l’équation ( 9 5) se transforme en

M'dr -4- N'd . qx = dz ;

et , ep substituant la valeur de z , on aura

M'dx -f- N'd . qx xx d(Qx") ... (9 6 ) ;

la différentielle de qx étant qdx -f- xàq , si nous mettons cette valeur à la place de d . qx , nous obtiendrons ,

(M' +N'q)dx+N'a:dq = d(Qx n ) ;

or , (M' - 1 - N'q)dx étant la différentielle de Qx*, prise par rapport à x , on a

DÈS ÉQUATIONS DIFFÉRENT. HOMOGÈNES. a85 M' -f- N '<7 = nQx' 1- ' -,

sî dans cette équation on remets au lieu de qx , elle deviendra

M + N^ = nQx*-‘,

ou *

Mx + Ny e= ns.

3g5. Ce théorème peut s'appliquer à des fonctions homogènes d’un nombre quelconque de variables; car, si l'on avait, par exemple, l’équation

Mdx + Mdy + Pdf = dz,

dans laquelle la dimension fût toujours n , il suffirait de faire 2-x^q, -=r, pour prouver, par un raisonnement

analogue à celui que nous avons employé , qu’on doit avoir * = x"F (q,r), et par suite

Rly + Nx-f- Pf=zna. •

Des conditions d’ intégral ilité ’ des fonctions de deux variables . — Intégration des fonctions qui ♦ remplissent ces conditions . — Recherche des fac-

teurs propres à rendre intégrables les équations qui ne le sont pas immédiatement.

3q6. Lorsqu’on a une différentielle Mdx -f- Ndy = o , on ne peut pas affirmer qu’il existe toujours une équation qui, étant différenciée, donne la proposée; car, si l’on différenciait, par exemple, l’équation/(x ; y) = o , et qu’on en tirât mdx -j- ndy» o, on pourrait multiplier cette équation par une fonction de x , et obtenir une équation Mdx -j- IVdj» = o dont les coefiiciens M et N seraient

a86 CALCUL INTÉCRAL.

différens de m et de n; par conséquent, l’équation...

Mdx + Ndy = o , ne résulterait plus du seul procédé de

la différenciation de *

Il en serait de même si l’on combinait arbitrairement mdx -J- ndy = o , avec l’équation primitive ffx,ÿ) — o : par exemple, en éliminant un ou plusieurs termes entre mdx -f ndjt = o etffx,y) = q, on pourrait obtenir une

équation * i

M'dx -f- N'dy = o ,

dans laquelle les coeflïciens différentiels M' et N' seraient différens de m et de n.

597. Une équation qui telle que mdx -f- ndy = o , a été obtenue par le seul procédé de la différenciation , se noniihe une différentielle exacte; il en est de même de toute fonction différentielle qui ne serait pas égale à zéro , mais qu’on aurait trouvée par le seul moyen de la différenciation. Lorsqu’une équation différentielle

Mdx -f' Ndy = o , n’est pas une différentielle exacte, on ne peut songer à l’intégrer que lçrsqu’on l’a rendue une différentielle ‘exacte par quelque opération préparatoire.

3 g 8 . Euler résolut le premier ce problème important : t°. Une équation différentielle étant donnée , déterminer comment on peut reconnaître lorsquelle est une différentielle - exacte ? * 4

2®. Quel est le moyen d’intégrer cette équation ?

Avant de donner une solution de ce problème , je rappellerai que , d’après notre convention , article 5 a , l’expres-

fi* ,

sion ^ nous indique que la fonction z de x de y, a été différenciée par rapport à x , et divisée par dx (*) ; si en-

(*) Soit de = Alix 4- Bdy -h Cilt , etc. , la différentielle totale de z ;

INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES EXACTES. 287 dz

suite cette fonction ^ est différenciée par rapport à une

autre variable y et divisée par dy, nous écrirons ainsi le

résultat de cette opération : Si, au contraire, on

eût pris d’abord le coefficient différentiel de z par rapport

à y, et ensuite par rapport à x, 011 aurait écrit ainsi le

résultat de cette operation : -y ^.

Lorsque z est une fonction de trois variables x,y,u‘, une tPz

expression telle que indique qu’on a pris d’abord

le coefficient différentiel de z par rapport à x , et ensuite le

ûz

coefficient différentiel de — par rapport à^, et enfin, le

coefficient différentiel de

-j— -p par rapport a u. Pareule-

àh • ; *

ment l’expression J^jy5> indique qu’on a effectué ciqq

différenciations successives sur z ? les deux premières paf rapport à x, et les trois autres par rapport à. y,

399. Cela posé , le théorème d’Euler repose sur la propo-» sition suivante, qui a été démontrée , art. 172.

SiC on a une fonction z de deux variables x et y, et qu'on prenne le coefficient différentiel de z , d'abord par rapport à x , et qu’on prenne ensuite le coefficient diffé-?

le rapport n’est autre chose que le coefficient différentiel A. Si l’on demandait le rapport de Adjr -f- Bd/.+ Cdf , etc. , à dr, il ne faudrait donc pas le représenter par 'p- j dans ce cas , le rapport de la différentielle totale A dx s’écrira de l’une des manières suivantes :

t- de ou -j—-

d* dx

2 b8 Calcul intégral.'

rentiel de ~ , par rapport à y , on aura le même résultat

que si Von eût d'abord pris le coefficient différentiel de % par rapport d y, et ensuite le coefficient différentiel de

par rapport à x •• c’est ce qu’on exprime en disant que

dxdy dydx’

4oo. Si l’on a, par exemple, z = x* -f- x y> on trouve

àz

et par conséquent

S = fla?+ -* dy =x ’

dxdy

' dydx'

4oi. Cela ^>sé, soit z la fonction dont la différentielle est Mdr + Ndy; on a

dz „ dz

La première de ces équations, différenciée par rapport à

y, donnera

dM d*z

dy dxdy * • r - .

la seconde, différenciée par rapport à x, donnera dN d a z

dx dydx *

Les seconds termes de ces équations étant identiques , il en résulte que

dM dN , .

dÿ— di-*’ (97);

Intégration des différentielles exactes. a8g

tontes les fois que cette équation de condition aura lieu, la différentielle proposée sera exacte.

4oa. Je reconnais, par exemple , que l’expression .{. a (a.r — y) dx — xd y est une différentielle exacte , parce que

dM dN . •

d y 1 dx '

L’expression

(y + 3x a )dx + Ç5y* + axy)&y,

est aussi une différentielle exacte, car

dM dN

dy 2 *^ dx'

4o3. L’équation y<dx — xdy = o n’est pas une diffédM dN

rentielle exacte , puisque ^ = i et que = — i. En effet , cette équation dérive de celle-ci :

yd.r — xdy

trouvée immédiatement par la différenciation , et dans laquelle on a supprimé le diviseur commun y a ; en le resti-

1 JC

tuant, on aura M=-,N = -, et la condition :

dM dN

-t— = sera remplie, dy dx

’ 404 . Proposons-nous maintenant d’intégrer une différen- -tielle à deux variables , lorsqu’il a été reconnu qu’elle est exacte. Pour cet effet , nous remarquerons d’abord que lorsqu’une fonction z de x et de .y, par la différenciation, a donné Mdx-f- Ndy, le terme Mdx a été obtenu, en regardant y comme constant. Par conséquent , lorsque nous

âgo CALCUL intégral.

•“intégrerons la partie Mdx , la constante que nous a) ou téterons , pourra renfermer^, et en la représentant par Y, , sauf, si le cas l’exige , à regarder Y f comme une constante ordinaire ,=nous écrirons I >

u = /Mdx + Y = o. . .(98).

Cette équation étant oelle qui , par la différenciation , a dù nous donner Mdx 4 * Ndy = 0, il suit de là que IV n’est autre chose que le coefficient différentiel de /Mdx -}- Y, par rapport ky.

En effectuant cette différenciation, nous aurons d/Md*. dY.

on tire de cette équation

dY d/Mdx

et en intégrant,

cette -valeur de Y étant mise dans l’équation (98), nous obtiendrons • *

u=/Mdx+ /(N- d Æ')d 7 ...( 99 ).

Il est à observer que N ■

d/Mdx

ne renferme pas x

puisque cette expressioil , multipliée par dj , doitdonnerpour intégrable une fonction Y de la seule variable

4°5. Pour démontrer que l’expression ?! — n ’ e ,t pas un o

fonction de x , nom en prendrons le coefficient différentiel par rapport 4 k x , et nous aurons