INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES EXACTES
dÿ d'd/Mdx) , ,
et en changeant l’ordre des différenciations, la seconde partie de ce lté expression deviendra
' • flQ 1 /Mdx) A dj J
Ardjr dy ^
» * ‘ Or , l’intégrale /"Mdx ayant e'té prise par rapport à x, la différentielle dé
/Mdx , relativement à la même variable x , sera Mdx; donc — • — = M,
ce qui réduit l’expression
. V dx J . dM ,on d,: à dn'*
substituant cette- valeur
dN dM
dans l’expression (100), nous aurons — — ; or, celte quantité est
nulle d’après l'équation de condition d’integrabilité , d’où il suit que la différentielle de N — par rapport à x, est nulle, ce qui prouva
que cette expression ne rcnfeitne pas x.
4o6. Aü moyen, de la formule (g8) , on peut intégrer, toute fonction de deux variables qui satisfait à la condition d’intégrabilité. Prenons pour exemple,
(Sxy — y a ) dx -j- (Sx 1 — 2xy)dy. . . (tôt).
En comparant cette expression à la formule Mdx + Ndy , nous avons ' H .
6 xy — 3 x * — zjcy = N. . . (102).
Par conséquent, la condition d’intégrabilité est remplie/ puisque l’on trouve
dM „ ’ dN
d,-= 6l - ! «'=di !
intégrant l’eypression (Sx)’ — y a )dx , dans l’hypothèse de y constant, nous aurons
/Mdx =/(6xy — y 1 ) dx = 3x^y — y x ;
«§2 CAtCÜL INTÉGRAI,. ' *
substituant cette yaleur et celle de N dans l’équation (93) y nous obtiendrons
u = 3 x*y — y*x -J- jf |^ 3 x*-— ixy — - -fe
La partie affectée du signe d’intégration , en exécutant la différenciation indiquée, se réduit à
/(Sx* — 2 Xy — Sx* -f- 2yx) dy -,
et , en ôtant le signe d’intégration , on a une différentielle dont les termes se détruisent : il résulte de là que l’expression représentée par
p^Zx' — 2xy — X ~2 à y ,
est constante , vu que toute, quantité dont la différentielle est nulle, est constante; d’où il suit que l’intégrale cherchée est 3 x*y — y*x •+• constante. *
407. Si l’on n’eût pas voulu employer la formule trouvée par l’article précédent , on aurait pu faire directement le calcul de la manière suivante :
On intégrera l’expression (101), en regardant y comme constant, et l’on aura
/Mdx = /(6xy — y*)dx + Y, ou
it = 3 x“y — y’x-f-Y. . .(io 3 ); •
différenciant cette équation par rapport à y, on obtiendra
du
àÿ
, dY
-Ç- n’étant autre chose que le coefficient de dy dans l’expression (101), nous avons aussi
INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES EXACTES. a<$
< '• du
dy
= 3x“ — axy ;
comparant ces valeurs , nous trouverons ^ = o , et par
conséquent Y = constante ; mettant cette valeur dans l’équation (io3) , nous trouverons
u — 3x a y — >y % x -f- constante,
4o8. Soit encore la fonction
(p.y'x -f- 3 y 3 ) dx + (fix*y -f - gxy* + 8 y 3 ) dy ; si on la compare à l’expression Mdx + Ndy, on trouvera M = zy'x -f- 3 y 3 , N = ax°y + gxy* + 8y 3 ; et comme l’on a
dM , , dW
la fonction proposée est une différentielle exacte. Intégrant par rapport à x , nous aurons * '
/Mdx — ^X* + 3^x -j- Y,
différenciant cette expression par rapport à^, on obtiendra
du d(y*x î 4-3y 3 x) ", dY
^ + dj ;
d’une autre part ^ représentant le coefficient de dy dans, l’équation proposée , nous aurons encore • du
ou
^^.2X 3 J/ + 9xy‘4-8y;
CALCUL INTÉGRAL, du
fi 94
de ces deux valeurs de ^ on tire cette équation
+ S = 3 <y + Vÿ + 8/,
et en effectuant la différenciation indiquée par rapport à y,
on * dY
zx*y + 9 y*x + — a x*y + gry» 4- 8/, (
équation qui se réduit à
donc
dY
tfy'
et par conséquent l’intégrale cherchée est
4 cg. On a vu , art. 4 o 3 , que l’équation y$x — xdy=o^ M’était pas une différentielle exacte ,‘ parce que cette équation avait p^rdu le facteur commun ^ ; on sent donc qu’i|
peut exister des équations qui , telles que celles-ci, ne sont pas immédiatement intégrables, mais qui le deviendraient si on pouvait restituer ce facteur.
• 4 1 o. Soit eù général l’équation Pda? -f- Qdy» = o, qui
est une différentielle exacte , et z le facteur commun , que , pour plus de généralité, nous supposerons une fonction de cç et de y\ nous aurons
. j P = Mz , Q=Ns.
Si l’on substitue ces valeurs dans.l’équation précédente, Je facteur commun z disparaîtra , et l’on aura
Mdx Ndy =’o . , . (1 o 5 X
INTÉGRATION DES DIFFERENTIELLES EXACTES. mp.
L’équation. Pdx -f- Qdy = o étant une différéntieUfe exactef par hypothèse , on aura
dP çK>
âÿ— dî>' :: - i: • -i
mettant pour P et pour Q leurs valeurs, cette équation de-
fiendça • '
* dMz dNz .
~ày —~dx> , . . *
et en développant, on trouvera
Mds zdM Ndz. zdP?' Y
-àÿ + -ày = -àï + ^” (,o6) -
4 i i. Lorsque le facteur commun z est constaut, t— et
dy ax
étant nuis , l’équation (10S) devient
dM
.dS
“ dx’
et par conséquent la condition nécessaire pour que l’équa- tion (io 5 ) $oit une différentielle exacte , est remplie. Mais lorsque z est une fonction de x et de y , la détermination de ■ z dépend de l’équation (10S) ; or , cette équation est plus difficile à intégrer que la proposée , qui ne renferme que
le seul coefficient différentiel ^.tandis que l'équation (106)
renferme les deux coefficiens différentiels et et con-
dx dy
tient trois variables x /y, z.
4 12. Si l’équation est homogène , il est très facile de déterminer ce facteur ; car soit Mdx-+- Ndy = o , une équation homogène, qui devienne intégrable par la multipli- » cation d’une fonction homogène z, de x et dejr, appelant it
agS " • CALCUL INTÉGRAL;
l'intégrale de l'équation zMdx-f-zNdy = o, on a
zMdx -f zNdy = du . . . (107) ;
Cette équation étant homogène, on en déduit, art. 3 94.
, jMx + îNy=:mi — (108);
or, si la dimension de M est représentée par m, et celle, de z par k , la dimension de l’un dès termes zMx , zNy, sera donc m + k 1 ; cette valeur étant mise à la place de» n , dans l’équation précédente , nous aurons
zMx+zNy = (m + i+ i)u ;
divisant l’équation (107) par celle-ci, nous trouverons
Mdx -J- Ndy du 1
* Mx-f-Ny ^ u ^ m + l t + x*
Le second membre de cette équation étant une difierentielle.
exacte , il en doit être de même du premier ; d'où il suit que.
doit être un facteur propre à rendre intégrable.
Mr + Ny l’équation homogène Mdx -f- Ndy = o.
4 » 3 . Si le facteur commun z , qui doit rendre homogène la
• àz»
proposée , n’est fonction que de x , on a = o , ce qui ré-
duit l’équation (io6)à
d’où l’on tire
zdM d X ‘
Ndz dN dx * dx *
— /^Ë M dN< \
Z \dy ' dx/
dx
s dy
et par conséquent
/dM dN\ , dz î dy dx ).
INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES EXACTES. 397 intégrant , on a •
/?dM dN\
multipliant par loge, changeant le coefficient de loge en exposant, et passant aux nombres, on trouve
/ ifdM «K.
Il ne s’agira donc plus que de multiplier l’équation proposée par ce facteur z , pour qu’elle devienne une différentielle exacte.
4\4- Soit, par exemple, jdx xdj'nro; on obtient
dM dN àÿ àx~~ a>
ce qui réduit la formule ( 109 ) à
/ dz radx
d’où l’on tire, en intégrant,
logz=— alogx -f- log C=— log -f logC= lpg — ;
et en passant aux nombres , on trouve z = — : par conséquent l’expression ■ ' TC ^ sera une différentielle
exacte.
4i5. On peut trouver une infinité de facteurs qui jouissent de la même propriété. En effet, soitz un facteur qui rende exacte l’équation Mzda:-)- Nzdy 5 =ro; en représentant par y l’intégrale de cette équation , nous aurons
MzdLc -J- Nzdy = du ;
multipliant les deux membres par qu, nous obtiendrons Qu (Mzdx -f- Nzdy) = 9udu.
La forme de Qu étant arbitraire , nous pouvons faire , par • exemple, Qu=au 2 , et alors aa 2 du étant une différentielle exacte
au’ (Mzdx + Nzdy) = 2u 9 du
en sera aussi une ; donc le facteur aza 1 aura la propriété de rendre intégrable l’expression •
Mdx -4-Ndy =• o.
Oh voit qu’on peut faire une infinité d’autres hypothèses sur çu.
Des conditions d'intégrabilité des fondions de trois et tf un plus grand nombre de variables. Intégration des équations de trois variables qui y satisfont. De l’équation de condition qui a lieu pour que l'intégration des équations différentielles à trois variables dépende d’un facteur commun, et des moyens de satisfaire n la proposée , lorsqu e cette équation de condition n J existe pas.
4i6. Proposons-nous de déterminer lés conditions d'intégrabilité de I» différentielle d’une fonction de trois variables cette fonction étant
représentée par u, noos aurons
par conséquent
di*:= Md* -+■ Nd/ -f- Pd: . . .(il »);
du
dit
On peut combiner deux à deux ces équations, de trois manières di®rentes :
<lr
du lia
dfu
1°. -T- = M et clr
s‘.. r ssM et ~ = ni as
du T du
*•■3 r = N cl Tü = p -
INTÉGRATION DES FONCT. DE TRQIS VARIABLES. 393 417. Par une démonstration analogue à celle que nous avon^lonnég précédemment, on déduira de ces équations celles-ci :
dM dlV dM dP dN dP .
<ly dx ’ de dx ’ de dy*
En général , s’il y in variables , on aura autant d’équations de condition que ccs variables peuvent donner de produits distincts deux à deux,
et par conséquent — — — équations de condition.
4 t 8 . Lorsque la différentielle du est nulle, l’équation (lit) se réduit. A •*
Mdx + Nd/+Pde = 0 j
mettons la sous la forme
en faisant
dz = mdx -f- ndjr . . . (n 3 ),
P = - ra
Or, si nous regardons s comme une fonction de x et de y-, nous pourrons traiter l’équation (1 13 ) comme ^ elle ne renfermait que ccs deux variables ; par conséquent , la condition d’inlégrabilité se réduira à celle de l’ait. 401 , r’csl-A dire qu’il faudra que la différentielle de ni , prise par rapport Ji y, ctdivisée par cette variable, soit égale à la différentielle de n par rapport à x r ct divisée par x. Pour obtenir ccs expressions, nous remarquerons que la première ne sera pas seulement , mais devra avoir un
second terme provenant de la différenciation de la variable z, regardée comme fonction ce tciurc sefa donc représenté, art. aj, par
p — . Ce que nous disons de la différentielle totale, prise par .rapport A y, devant s’appliquer A la différentielle totale, prise par rapporta ar, l’équation de condition (97), art. 401 , sera , dans le cas présent,
dm dm dz dn di? dz
djr dz df ilx d» dx ’ » . .
transposant et observant que, d'après l'équation (u 3 ), — tn , et qne
r- — u, on a
dm (m dm. dn •« . ,
■^ rx +n
3oo • CALCUL intégral:
Or, cnStliffércnciant tes équations (u4)> d’après l’art, ig, on a
dm
P d /-M^ dy <ly
dN dP
dx dx
p^-mS *
N dz dz
M dz dz
dm
dn
dz
m Tz
Substituant ces valeurs dans l’équation (n5), réduisant les deux der? niers termes et supprimant le dénominateur commun P*, nous trouverons , en changeant tous les signes , ,
„dM nl dP n dN «J dP „dM , ..dN , P ^- M ^- P di +N dï- N dr+ M ai= o -(”6)- ,
Telle est l’ëqualion de condition qui doit avoir lieu pour que i puisse être considéré comme une fonction de deux variables indépendantes x et y, c’est-à-dire pour qu’il puisse exister une équation finie entre. ces trois variables ; par conséquent , si l'on prend au hasard , une équation Mdx ■+■ Ndj' -f- Pdz z= o , entre trois variables, avant que de savoir si l'équation (n 6 ) est remplie, on ne pourra pas affirmer que l’une des variables est fonction des deux ai^es ; c’est-à-dire que l'équation difierentielle proposée nécessite l’existence d’une certaine équation entre x , y et z, on, en d’antres termes, que cette équation différentielle ait. nue équation unique pour intégrale.
4tg. Une équation différentielle à trois variables , ponr laquelle l’éqnation (r 16 ) ne se réalise pas , était autrefois regardée comme absurde, ou dn moins comme insignifiante ; M. Monge, ainsi que nous allons bientôt le faire voir, prouva qne l’on était dans l’erreur.
4ao. Lorsque Ica équations (1 ta) ne sont pas satisfaites , si nons représentons par x le facteur propre à rendre Mdx -f- Ndy -+■ Pdz une diffé-> rentielle exacte, les équations de condition (lia) deviendront
dxM dxN dxM dxP dxN rbJP
dje dx ’ dz djr ’ dz dy ’ effectuant les différenciations indiquées , on obtient
INTÉGRATION DES FONCT. DE TROIS VARIABLES. 3oi‘
Si l’on. multiplie la première de ces équations par P, la seconde par — - N, et la troisième par M , et qu’on les ajoute , les termes qui ne sont pas entre les parenthèses se détruiront; l’équation étant divisible par X, ce facteur disparaîtra , et il restera
pÜM.pdN
Ay dx
.dM , „dP , „<IN ,dP
- M d7 +N di + M d ï-* l Ty =
ce qui est l’équation de condition (i 16 J, que nous avons vu être néces- Hire pour que l’onedes variables soit fonction de* deux autres : résultat qui s’accorde avec ccttc hypothèse ; car si la proposée pouvait devenir intégrable parla restitution d’un facteur, elle conduirait h une équation uniqne entre .r , y et z, équation qni serait contradictoire avec ce qui précède , puisque l’un< des Tariables serait fonction des deux autres.
4'ii. Examinons de quelle manière on peut déterminer l’intégrale lorsque l’équation ( 116 ) est satisfaite. Pour cet effet, regardons d’abord z comme constant dans l’équation Mdx4-Ndy4- Pdz =*o , et nommons \ le facteur propre à rendre cette équation une différentielle exacte ; nous en représenterons l'intégrale par V, « alors V sera , en général, une fonction de trois variables x, y, z; cette intégrale. devra être complétée par une constante arbitraire fonction de s , que nous désignerons pas fz , de sorte que noos aurons
Le coefficient différentiel de cette équation, pris par rapport h î, devant être identique au terme qui multiplie dz dans l» proposée, il faudra que l'on ait
dV d.z •. . *
rtJ + dT = P ’
d’où l’on tirera
Comme le premier membre de cette équation ne contient que z, le second doit sc réduire \ une fonction de z, qui étant intégrée, donnera la valeur de pz.
4>x Soit, par exemple, l’équation
^■zdx 4- xzAy 4 - xydz = o ;
intégrant yzix 4 - xzdy, en regardant z comme constant, on trouvera **y + fzz=oj
éoa
cALtUL intégral;
cette équation, différenciée par rapport h s,. divisée par ds et égalée ad coefficient de c h de la proposée, nous donnera
dts
•dT = ^ J
der
et par conséquent tz = constante ; d’oit nous déduirons xyz + C pou* l’intégrale de la proposée , comme on deTait s’y attendre.
4 * 3 . Soit maintenant l’équation Mda: -+• Ndy -h Pds = o , une équation différentielle , pour laqncUe l’équation de condition (| tff) ne se réalise pas ; désignons par * le facteur propre seulem«.it à rendre intégrable la partie Mdx -h î% , prise en regardant a comme constant, cl multiplions la proposée par ce facteur ; nous aurons
*Mdx + xNdy -f- xPda = o. . .(117) ; __
intégrant la partie xMdr + xNdy dans l’hypothèse de a constant , l’intégrale que nous obtiendrons pourra être représentée , comme dans 1 «-
ticle 4 al > P ar V +
La différentielle de cette équation étant prise par rapport aux trois variables , nous ne pourrons en conclure son identité avec 1 équation (1 17) , puisque Celle-ci ne peut provenir de la différenciation d’une autre; d oi.
à suit que l'équation •
dV dj»z dï + "d * =
: xP...(ll8)
„« -peut subsister que par une condition indépendante de l’bypothese danT laquelle l’équation <tf 7 ) provienne d’une seule équation différenciée.
Comme nous n’avons pour but que de satisfaire à l’equation (n 7 ), nous
Sortirons de celte hypothèse et nous établirons arbitra, rement entre le. «ariablcs x , y et A la relation (n8); alors les, équations
V + ?s = o et
dV
di
^f =I vP.
dz r
• ■ .s rMinniîna tnd en différenciant la première
«atisferont conjointement i 1 équation ■ en u “‘ ‘
>Mdx -4- xNdr , et la seconde des équations (t 19) , mulupl.ee par * , donnera la valeur du terme Xpdz*
INTÉGRATIONDES FONCT. DE TROIS VARIABLES. 3 o 3 Prenons pour exemple l'ofuation
yt\y -f- zdx = dz j
si Pon regarde * comme constant, le facteur propre h rendre intégrable U partie yày -f- zdx , est 2, par conséquent nous aurons
aydy + azdx — adz = o. ..(tao) ;
cette équation sera satisfaite par le système des deux suivantes :
. de* . , \
y* +UX + çz — o , ax-f- -jjj -+- 2 = 0. . .(tai).
En effet, la première étant différenciée par rapport à toutes les variables , donnera
aydy -I- azdx -+- axd z - 4 - d* = o ;
tirant de cette équation la valeur de ayd y + azdx , et la subtituant dans r équation II 20), on réduira celle-ci 1
— ■ axd* — ^- Z dz — ad* = 0, d z
équation satisfaite d’clle-méme, en vertu de la seconde des équations (iar).
4 a 5 . Les équations (tat) nous'montrent qne la forme de la fonction ÿz est abselnment arbitraire, et que, par conséquent , si l’on fait, par exemple , fz — z 1 , le système des équations
y* -f-azx -f-z 5 = o, ax + îz* — 2 = 0. ..(122) y satisfera aussi.
426. Au moyen de ccs deux équations entre trois variables, on pourra construire ( note septième) une courbe à double courbure qui , dais tons ses points, satisfera à la proposée j mais si au lieu de prendre fz zztz 5 on prenait pour pz une autre fonction de z , on déterminerait une autre courbe h double courbure , qui satisferait également i la proposée; d’où il suit que les équations (i»t) représentent une suite de •Courbes à douille courbure qui satisfont h la proposée , et qui sont lices entre elles par la propriété commune que leurs équations ne diffèrent
.1 - . dez
outre elles que par les termes représentes par »z et par
Théorie des constantes arbitraires.
427 . Une équation étant donnée entre les variables x, y et des constantes , on obtiendra , en la différenciant , une équation qui devra renfermer le coefficient différentiel
^ , de sorte qu’on pourra représenter ainsi ces deux équations :
F(*O0 = o> K*tf>lD= 0 ---( ia3 )-
• Les variables et les constantes ayant les mêmes valeurs dans ces équations , je puis , en général , éliminer entre elles l’une des constantes ; je dis en général , car il y a tel cas particulier où cette élimination deviendrait impraticable ; par exemple , si l’on avait l’équation y=.ax-\-b, et
par conséquent a , on pourrait bien éliminer la constante a\ mais , à moins de supposer une relation donnée & part entre a et b , il serait impossible d’éliminer b entre ces équations. Cette remarque suffit pour faire concevoir le sens général que l’on doit donner à toute cette théorie des constantes arbitraires. Pour revenir à notre objet, en éliminant donc une constante entre les équations (iu3) , on obtiendra une équation du premier ordre , qui renfermera une constante de moins que l’équation F(x,y) = o; si l’on différencie deux fois de suite l’équation F (x,y) = o, en y comprenant celle-ci , on aura les équations suivantes :
On peut, entre ces trois équations, éliminer deux constantes; et comme les équations auront toutes été employées à cette
THÉORIE DEfc CÔNSTANtES ARBITRAIRES. '3Ô5
Opération, celle qui en résultera devra contenir les mêmes coefficiens différentiels , et par conséquent sera du second ordre; mais elle aura deux constantes de moins que l’équation F(.r,y)=ro; et, en général, on voit que l’équation ■différentielle de l’ordre n ne peut contenir que n constantes de moins que l’équation F(a;,j) = o , de laquelle elle dérive.
4 a 8 . Soient a et b les constantes qu’on peut éliminer au moyen des équations (124)» et q uon nomme des constantes arbitraires (*) ; si l’on élimine b entre F(.r,y) = o et
l’équation F^r,y,^j^ = o, qu’on déduit de cette dernière
par la différenciation , on obtiendra une équation différen-» tielle du premier ordre , que nous représenterons par
. . (la 5 ).
D’une autre part , le résultat de l’élimination de a, entre les mêmes équations F(r < y) = o et F (x,y, == o , nous
donne
429. Si, par un moyen quelconque, on parvenait à trouver les équations ia 5 etia 6 , on voit qu’il suffirait d’éliminer
entre elles ^ pour obtenir l’équation Ÿ{x,y) =1 o. Si l’on
(*) Elles sont ainsi appelles, parce que Tune quelconque de ces con-* staates peut être regurdcc comme celle qui dérivé de l'intégration d’ùoa
équation différentielle du premier ordre. En effet, soit l'équation.
ftx ,jr, a, b, etc.) = o; on en tire p(jr, y, b, etc.) ip a , et en différenciant on a d y, b, etc.)=: o; par conséquent a peut être considéré rom mû la constante arbitraire qu'on ajouterait A l’intrgrale de d«(ar, y, />, etc.). De méme^deux quelconques de ces constantes peuvent être regar iêes comme jirr^Siant de l’intégration d’une équation différentielle du second Ordre, ePaiusr de suite.
%5o6 r. • CALCOt INTÉGRAL.
élimine la constante a entre l’équation (ia 5 ) et celle qu'oa en déduirait par la différenciation, et qu’on éli-r mine de même b entre l'équation (ia6) et celle qu’on en déduirait par la différenciation , on obtiendra deux équations du second ordre, qui ne contiendront plus les Constantes arbitraires a et b, et qui , par conséquent , devront “coïncider , autrement les valeurs de x et de y ne seraient pas les mêmes dans l’une et dans l’autre; il suit de là qu’une équation différentielle du second ordre peut provenir de deux équations différentielles du premier ordre, qui sont nécessairement différentes , puisque la constante arbitraire de l’une n’est pas la même que la constante arbitraire dé l’autre.
Y dy d 2 y \ ,
Représentons par f (x.y, — ) — 0 cette équation
'différentielle du second ordre, qui provient de l’élimination des constantes arbitraires a et b) les équations (ial>) et (126) Cn sont appelées les intégrales premières , l’équation primitive F(x,y) = 6 en est l’intégrale seconde.
43 o. Appliquons les mêmes considérations à l’équation différentielle du troisième ordre : en différenciant trois fois de suite l’équation F (x,y) = 0, nous aurons , en y comprenant cette équation , «
T(x,ÿ) = 0, / dy d 5 v \
St\ -
V^’dx’dx^’dxV —
oi -
Ces équations admettant les mêmes valeurs pour chacuns des trois constantes arbitraires que renferme F(j,%y) = Oj on peut en général éliminer ces constantes entre ces équa-4 tious, et obtenir un résultat que nous représenterons par
dy n »
' •K'o'.fe. àè* • Cla 7> 3 ' ••
THÉORIE DES CONSTANTES ARBITRAIRES. Zoj
ce sera l’équation différentielle du troisième ordre de. . .
F(x,y,) — O, et de laquelle les trois constantes arbitraires seront éliminées; réciproquement, F(*r,^) =o sera l’intégrale troisième de l’équation (127).
43 1 . Si l’on élimine successivementChacunedesconstantes arbitraires entre l’équation F(x,y) = o et celle que l’on eu tirerait par la différenciation, on obtiendra trois équations du premier ordre, qui seront les intégrales secondes de l’équation (137). •
Enfin , si l’on éliminé deux des trois constantes arbitraires, à l’aide de l’équation F(r,y) =a*o et des équations que l’on en déduira, par deux différenciations successives , c’est-à-dir# si l’on élimine ces constantes entre les équations
F(xj)=o, F(x,j,g)=o, F (x^^,g) ==0 ...( ia 8),
on. pourra conserver successivement dans l’équation qui proviendra de l’élimination, l’une des trois constantes arbitraires; par conséquent aura autant d’équations que de constantes arbitraires. Soient donc a ; b, c ces constantes arbitraires; les équations dont nous parlons, considérées seulement sous le rapport des constantes arbitraires qu elles renferment , pourront être représentées ainsi :
Çc = o, çb = o, ça =0. . .(129).
Comme les équations (128) concourent toutes à l’élimina- ' tion qui nous donne l’une de ces dernières, il suit de là-que les équations (129) seront chacune du second ordre; on les appelle les intégrales premières dé l’équation (127).
43 a. En général, uneeéquation différentielle d’un ordre n aura un nombre n d’intégrales premières, qui contiendront par conséquent les coelficiens différentiels depuis
— jusqp’à^-^ inclusivement, c’est-à-dire un nombre •
ao, .
Sc8 CALCUL intégral.
n — i de coelliciens différentiels ; et l’on voit que lorsque ces équations sont toutes connues, il suffit d’éliminer entre elles ces coelliciens» différentiels pour obtenir l’équation -primitive. • <
Des solutions particulières des équations différentielles du premier ordre.
433. Nous av<5ns vu , art. 355, qu’une intégrale particulière pouvait toujours se déduire de l’intégrale Complète, en donnant une valetff convenable à la constante arbitraire que renferme cette dernière •, il ne faut pas croire cependant que, pour toute équation différentielle proposée, là valeur qui peut y satisfaire doive toujours se trouver comprise dans l’une de oes intégrales particulières. Par exemple t si l’on avait l’équation
» dy f/ ** -+-y ,a — a* = xàx -|-ydjt. . .(i3o),
dont l’intégrale complète est
«t qui , par conséquent , étant élevée au carré , devient scy cî — a: 1 -f- o a = o . . , (tôt) , ,
il e3t certain qp en donnant à c une valeur constante arbitraire, on obtiendra une intégrale particulière, qui aurait la propriété de satisfaire à la proposée. On y peut .encore
satisfaire par l’équation •
ar*-}-y i: = c a . . .(i3a);
car cette équation étant différenciée , donne xdx==-*-ydy; ,
SOLUTIONS PARTIC. DES ÉQUAT. DIFFÉRENT. 3à(y
<wtte valeur et celle de x“ -f-y* étant substituées dans l’équation (i3o), en font détruire tous les termes ; et néanmoins l’équation (r3s) n’est pas comprise dans l’intégrale complète, car, qjÉelque valeur constante que l’on donne à c dans l'équation' (i3i), jamais cette équation ne pourra amener l’équation (i3a), puisque la première étant celle d’une parabole , ne peut, dans aucun cas, devenir l’équation (i3a) , qui est celle d’un cercle.
Cette équation (i3s), qui satisfait à la proposée sans être renfermée dans l’intégrale complète, s’appelle une solution particulière ou singulière de la proposée. Clairaut, dès 1734 , avait remarqué ce fait, et l’on crut long-temps que ces sortes d’équations n’étaient pas liées à l’intégrâle complète; Lagrange fit voir qu’elles en dépendaient, et à ce sujet, exposa la théorie que nous allons développer.™ ^
434. Soit Pdx -f- Qdyr = o , une équation différentielle du premier ordre. On peut concevoir cette équation comme provenant de l’élimination d’une constante c entre une certaine équation du même ordre , que nous représenterons par Mdr-|-Ndy=o, et l’intégrale complète F(x,y,c)= ode cette éqyation. Or, dès que tout se réduit à prendre la constante c de manière que l’équation Pdx- -f- Qdy = o , soit le résultat de l’élimination , on sent qu’il est même permis d*
faire varier cette constante pourvu que l’équation
Pdx -f- Qdy r= o ait lieu s dans ce cas , l’intégrale complète F(r,y,c) — o prendra une plus grande généralité, et représentera une infinité de courbes de même genre, différant les unes des autres par un paramètre , c’est-à-dire par une constante. Cette hypothèse est admissible , puisque , lorsque l’équation Pdx -f- Qdy' =3= o est donnée , il est dans l’esprit de l’analyse de ne rejeter aucun des moyens qui •ont pu amener cette équation.
