Supposons donc que l’intégrale complète étant
3lO CALCUL INTÉGRAL.
différenciée, en considérant c comme variable , on ait
obtenu
Mdr + Ndjr -f- Cdc = o...^.(i33), équation qui peut se mettre sous ces deux formes :
dx + M d .y + 5î dc = ::o > ^ d ' c +^ + ^ d < ? =°-
Il est certain que si M et N restant finis, Cdc est nul, le . résultat de l’élimination dé c entre F(;r,y,c) = o , et l’équation (i33) , sera le même quç celui de c entre F(x,y,r) =0 et. l’équation Mda? + Ndj = o, résultat qui, par hypothèse , est Pdx Qdy s= o ; car, dans ce cas, l’équation 015), par la raison que Cdc est nul, ne diffère pas de ^Idx -f- Ndy = o ; mais pour qu’on puisse avoir Cdc = o, il faut que l’un des facteurs de cette équation soit nul , c’est-à-dire que l’on ait
de = o ou C — o.
Dans le premier cas , dc = o donne c — constante, comme cela a lieu pour les intégrales particulières ; dans le second cas, l’équation C= o renfermera c ou en sera indépendante ; si elle renferme c, il peut arriver deux cas, ou l’équation C~o ne contiendra que des constantes , ou cette équation contiendra c avec des variables ; dans le premier cas, l’ équation C=o donnera encore c= constante , er dans le second cas, elle donnera c=f (x,y) (+) ; cette valeur, étant substituée dans l’équation F(jtyy,c) — o, la changera en une autre fonction de x et de^, qui satisfera à la proposée sans
(*) Bien entendu que cette équation renferme comme cas particuliers, ceux où l'on aurait
tc/l ou c == jy.
SOLUTIONS PARTIC. DES ÉQUA*. BIFFERENT. 3lt ïtre comprise dans son intégrale complète , et par conséquent en sera une solution singulière ; mais on aura une intégrale particulière si l'équation c=f (x.y») , au moyen de l’intégrale complète, se réduit à une constante. ''
43S. Lorsque le facteur C = o de l’équation Cdc= o rife • contient pasla constante arbitrairec, on connaîtra si l’équation C =0 donne lieu à une solution particulière , en combinant cette équation avec l’intégrale complète. Par exemple, si de 0 -== o on tire x == M , et qu’on mette cette valeur
dans l’intégrale complète F(x,y,c) = o , on obtiendra.
c = constante — B , oq c ~fy ;
dans le premier cas, C = o sera une intégrale particulière* et dans le second , une solution particulière. Voici de quelle manière je crois qu’on peut le démontrer : considérons . d’abord le premier cas ; c étant une constante arbitraire mettons B à la place de c , , dans l’intégrale complète, cette * intégrale deviendra F(x,y,B) = o ; par conséquent puisque x = M réduirait F(x,y,r) = ojà c = B, x— M changera, Ffx.y^B) = oen B = B; ce qui annonce que les x et lesyr se détruiront mutuellement; mais, au lieu de tirer xr=M , de C== o pour en mettre la valeur dans F(x, y,B) = o , ou * peut égaler entre elles les va'eurs x = M et x = N, tirées •es équations C = o etF(x,y',B)=o; et, comme ces valeurs de x doivent être identiques , nous pouvons en conclure que C=o n’est autre chose que ce que deviendrait F(x,y,c) = 0 , en y changeant c et B ; c’est-à-dire que C = o est une intégrale particulière.
Dans le second cas où la valeur x=M réduit l’intégrale complète à c-==fy, si, dans cette intégrale, on change c en fy, on aura F(x,y^) = o, équation qui deviendra identique en remplaçant x par M, puisque cette valeur réduit F(x,y,c) = o à c=.fy. Il suit de là que les valeurs de ± Ki
3l : *; v; CALCUL INTÉGRAI*,
données par les équations x — M et F(c,y,fy')=0 , doivent; être identiques, et que, par conséquent, il en est de même, de ce$ équations; la première étant la même que G = o, cette équation est donc, dans le cas présent, ce que detjjent F(i,Y,0=o, lorsqu’on y change la constante c en én fy \ d’où l’on peut conclure que C — o est une solution par''Cti!îèré»
4^7- Appliquons maintenant cette théorie à la recherches dès solutions particulières, lorsque l’intégrale complète est donnée* '
Soit l’équation
ydc — xdy = a [/dx‘ -f- dy*. . .(i34).
dont l’intégrale complète se détermine par le moyen suivant :
Si l’on divise cette équation par dx, et que l’os fasse
on obtient d’abord
y — pxz=a\/ i +p a . ...(t35)i
différenciant par rapport à x et à p, on a
dy — pdx — xdp = —y~~— observant que dy = pdx, cette équation se réduit à
; , r.pAp
xdp -j — — — = o .
et l’on y satisfait en faisant dp — o. Cette hypothèse donno p — < oiiôtitfite = c , valeur, qui étant mise dans l’équation (i35), la ci:a.*ge en
y — ex = ay' i -t - c*... .(i36).
Cette équation renfermait une constante arbitraire c, qui
SOLUTIONS PARTIC. DES ÉQUAT, DIFFÉRENT. 5l5 n’était pas dans la proposée (i34) , en est donc l’intégral# complète.
438. Cela posé, la partie Cdc de l’équation (i33) s’obtiendra en, différenciant l’équation (1 36) par rapport a c,
regardé comme seule variable ; en opérant ainsi, on aura
, , ac A c
1 xdc -f —— =■ = o ;
par conséquent, le coefficient de de, égalé à zéro, nous donnera
ac , - 7 . •»
Vi+à* ’ N
Pour dégager la valeur de c , élevons cette équation au carré -, nous trouverons
(a +e*)x* = aV; ~ ' ,
d’où nous tirerons
et V/ 1
au moyen de cette dernière équation , éliminant le radical de l’équation (i3 7) , nous obtiendrons ensuite
Cette valeur et celle l/ 1 -f - c*, étant mises dans l’équation (i36), nous aurons
(■*) Nous n’avons pas affecte l/i 4- c» du double signe , parce que x ^ et e étant de signes contraires , dans l’équation (137} , il faut qu’il eu soit 4c même dans l’équation (t38j.
3l^ CALCUL INTÉGRAL
d'où nous tirerons
=V /fll — ,x * •
équation qui, étant élevée au carré, nous donnera
et l’on voit que cette équation est effectivement une solution
, ardx
particulière, car, en la différenciant, on obtient dy= — ; — — ^
cette valeur et celle de l/ x* +J ,a * étant substituées dans l’équation ( 1 34 ) , la réduisent à a* =«*. i
439. Clairaut remarqua le premier une classe générale d’équations susceptibles d’une solution particulière ; ces équations sont renfermées dans la suivante :
équation que nous pourrons représenter par .y —px + Fp. . . .(i 3 g) ; différenciant, nous trouverons
j jr^ri
dy =pdx -f- xdp + -g^dj 0 ; cette équation , à cause de dj = pàx , se réduit à ■ ‘ i • xàp + ^£àp = o\
et comme dp est facteur commun , elle peut s écrire ainsi :
( x +fp) df, = 0 - '
On satisfait à cette équation en faisant dp — O , ce qui donne p = constante = c ; par conséquent, en substituant cette
DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 3l5
Valeur dans l'équation (i3g) , nous trouverons
y — ex -f- Fc ;
cette équation est l’intégrale complète de la proposée , puisqu’une constante arbitraire c a été introduite par l’intégra-» tion. Si l’on différencie cette équation par rapport à c , on aura - ...
par conséque#, en égalant à zéro le coefficient de de, on a l’équation
, dFc
X + "dc = °’
qui , par la substitution de c dans l’intégrale complète, donnera la solution particulière.
Des équations linéaires.
44° • Une équation différentielle entre deux variables x et y , est tint aire
, . dv tl’v d’r é’r , . ,
lorsque les expressions y, — , -j— ^ ^ — - . . . , — ne sont cle»ees,«i!ans
cette équation, qu’au premier (lèpre : ainsi, en supposant qoe A, B, C, D — N , X, soient des fonctions de x , l’équation linéaire du n em * ordre sera
Ar + B ^ + c ar» +D d?* •• + N gp, = x.. : (. 40 ).
44 1 . Lorsque cette équatiou est du premier degré, elle se réduit A
.Ar + B £=X; '
chassant le dénominateur, et divisant par B , on peut la mettre sous cette forme
d^q-Pj-dxeçQAr,
fl nous avons vu, art. 385, que cette équation avait pour intégrale y = e -/ pd;r [/Q e / pd * dx +C].
3l6 CALCUL intégral;
Lorsque le terme en X est nul dans l’éqnation fitjo) , si un nombre n de valeurs particulières, p, q, r, etc., mises successivement h la place de y , ont chacune la propriété d’y satisfaire , il suffira de multiplier p, q, r$ etc., par des constantes arbitraires a, b, c, etc., pour conclure que l’intégrale finie complète de cette équation est
y — ap + bq-i- cr, etc.
La démonstration de cette proposition étant la même pour tous les degrés, nous ne considérerons que l’équation
Ar •
dv d*y , „ d’v i ...
' B dl + C dT> + D ,17* = 0 • ’ ’ (I ^’
Fin mettant successivement à la place de y les valeffs liypotlictiqu p , r, nous aurons*
A. + Bi + Cg + Dg=, i
dx
multipliant ces trois équations, la première par a, la seconde par b et la troisième par c , et ajoutant les résultats , on trouve
A (ap 4- bq -f-cr) + B -h b ~ + c
/ d*p d»o d’rN /' d J n , d’o dV\
+c (M? +fc d^ +c d?) +D C a d +b à+'srO=°'
Or, il est évident que cette expression , qui est idcutiqnemcnt nulle, est la même que celle qu’on obtiendrait en faisant y = op ■+• bq -+- cr, dans l'équation (njl); donc cette valeur de y satisfait h l'équation (i4<) ; et, comme elle renferme trois constantes arbitraires, elle est l’intégrale finie complète de l'équation ( 14 l).
