Lorsque X n'est pas nul dans l'équation

A - r + B dï +C d;; + D d7>~' X '”

si l’on peut trouver trois valeurs particulières p, q, r, qui , mises successivement à la place dej-, satisfassent chacune à l’équation

DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 3 l 7

Ar+ B £+ c g+ng = o...(»^,

l'intégrale finie complète de l'équation {i}a) sera jersup-f iq-f cr.. .(i44);

fn, iis alors <1 , b, c, au lien d’étre des constantes, seront des fonctions «le x, que nous apprendrons bientôt h déterminer.

’ >444. Pour démontrer ce théorème, différencions l’équation f 1 tj 4 ") » cl dit isons-la par dx j nous aurons

dr dp , , do . dr du

d-ï= a di +i d-i +c di +;, d:r'

d 5 de

Disposons des radeteraiinécs a, b, c, par trois conditions : par 1 a première, faisons

du di de , ... ,

P di + ‘ 7 di +r &* =0 ” (,45} ’

il restera • t

dy dp Aq dr

dx dx dx dx

L'nc nouvelle difFércnciation nous donnera

d*r d*p . d*n d’r du dp AhAq de dr , ...

d r.= a ar. + 1 dT. + c 37. + As di+di dï + Âk E* • ' (,46) -

Pour remplir h seconde condition , posons r

il restera

du dp di dq de dr

dxdx dxdx"^”dxdx ' 4/ ’

dx* a dx* di‘

difFéfrncijmt encore et divisant par dx , il viendra

d*/> .dVy d J r d/|d*p d// <\*q de d’r

(1t j a d-x-* ^dx* tlx du . 2 "^"cLc dx a dx dx**

Four remplir la troisième condition, nous supposerons

dtid’p d b <\*q - de d*r X /Q .

r dx Jx» (il dx* + 4 x JI» D' : ' . ’

3t8 CALCUL INTÉGRAL,

et l'équation précédente deviendra

J V 8 5 p , . «ïV . , d^ = fl d7» +i Ær> + <

d’r , X dx* 4 'D'

Je dis maintenant que la valeur yr=.ap -\-bq -f - cr, satisfait à l'équation (i4î) j car mettant dans cette équation la valeur de y, et par couse* quent celles de ses coeflkicns différentiels , que nous venons de déterminer, et effaçant les termes en X, qui se détruisent, on trouve

44>. Comme on ne sr.it pas si la valeur donnée ky fait détruire mutuellement tous les termes de l’équation 149, il s’agit maintenant de dé-* montrer que celle équation est identiquement nulle. Pour cet effet, p, q, r satisfaisant 1) l’équation ( 1 4-i) , on a

*v+»g+ c ë+pg=«-

dr d 3 r

A '- +B di + C ,^-

IV ,1,r

qmllipliant la première de ces équations par a , la deuxième par b et la troisième parc, et ajoutant les résultats, on trouvera une équatioii identiquement nulle , qui sera la même que l’équntiou ( 1 4qJ ■

440. Pour déterminer a, b, c, les cocfficiens différentiels ,

de .

-j- n’entrant qu’au premier degré dans les équations de condition (i45)

(1 47) et (148) , nous pouvons éliminer deux de ces coefliciens différentiels , et nous trouverons l’autre en fonction des expressions ~ , etc., qui sont des fonctions de x déterminées, puisqu'on connaît p, <7, r, etc.} nous aurons donc des éqnations de la forme

du

dx

de Y

dfl = X,èr, dA=X„dx, dex^X^dàr, et en intégrant, on déterminera <1 , b et c.

44;. Ce théorème est applicable au cas oh l’équation linéaire serait d’on

DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 3ltJ

ordre quelconque , par conséquent l'intégration de ce» équations se réduit h celle de i’équatÿin

Ar + »|+'eg-+Ng=....

448. Lorsque l’équation linéaire de l’ordre n a des coefficiens constans, il est facile d’en déterminer l’intégrale. Eu effet , si dans l’équation (i5o) oa fait y j=e «“*, on trouvera, en différenciant,

dy d’y d’y

— — e mx m. ~ — e™ r m', ~ — e* x m', etc.:

dx ' dx* dx» ’

substituant ces valeurs dans l’équation (i5o), on obtiendra f

e mx ( A ■+• B m +Oi»’.. .-f-Nm*) = o. . .( 1 5i) j

soient m', m“, m", etc. , les racines de l’équation

A4- Bm-f-On* . . .-f-Nm" = 0 . . .(i5a),

l’équation (i5o) sera satisfaite par ces valeurs •

X = X — e m " x , X — c m "*, etc. }

et comme on a n valeurs de y, l’intégrale finie complète de l'équation (i5o) sera

y =i <te“'* ■+■ bff*"* 4- ce"*** -f- etc.

44g. Lorsque m' = m ", les termes ae m,x et be m " x se réduisent & (a 4- b) e m ' x , et alors la somme a -f- b devant être considérée comme une seule constante, on ne trouve plus un nombre n de constantes arbé* traires dans l’expression de y. Dans ce cas, il est démontré que si y — e*** satisfait h la proposée , la valeur y = xe m ' x doit aussi y satisfaire. En effet, en différenciant cette derniéte équation on trouve

t lr*: o

dr ri,. /

3— =e= xe» x m! «f- e m x dx

iï = xe~'»m'* 4-3 K*«', dx»

-y-, =re*''m' ! -f- 3e"*'*m / *, etc.:

dx» r

tes valeurs réduisent l’équation (t5o) A

xe**'* (À 4- Tîm' -f. Cm'* -f- Dm'' -f- etc.)

<B 4- uCm' -f- 3Dm'* -f- etc.). . .(i53).

Or, l’équation (i5a) ayant par hypothèse deux racines égales, on sait,

5 ao CALCUL INTÉGRAL.

par la théorie ries équations , que l’expression B ■+• iCm *f» 3 fini* -f. etc . 4 en > enfermera nne de moins que la proposée, et s’anéantira lorsqu’on fera tti — m', d’où il suit que l'expression (t53) est identiquement nulle. Par conséquent , 1\ quation ’lHo) sera salisfafle par la valeur y := je 1 *'*, et aura pour intégrale complète

y = ae“' x -+• bre m ’* -f- ce"** -f- etc.

45o. S’il y avait trois racines égales km, on prouverait do même que IVquation (i5o) serait satisfaite en faisant

y — e»'* + xe m '- t -f- x>e«'- r ;

ainsi de suite.

45# Lorsque l’équation (i5x) A des racines imaginaires, si l’nne do ses racines est h -4- h \J — 1 , l’autre seta h — A </ — 1 , et l’on aura, dans la valeur de j-, ces deux termes ^

fljSi+tiV 4 - 1 .f.lgir-hy’-t f

on

’ -f-Ae-‘vP—]..,(i54). ,

Or on sait qn’on a, en general, note troisième, la formule

e == cos « -+- sm t y' — 1, « = cosj — smp y — t;

en romparant l’expression (i54) A ces formules, nous pourrons remplacer • -i.

e**!'' - 1 par cosAx-f. sin ksc</ — I, et

par co» hx — sin hx yj — 1, et la formule (t54) deviendra

e**[acosAr -f- a sin kx y / — 1 + beos fa — b sin fa y/'— 1],

expression qui peut s ccnrc ainsi :

e hm [£a •+. b) cos hx -f- (a — b) sin fa V— 1 ] . . . (i55).

Quand X est nul dans l’équatiou (140) , a, b,c étant des constantes arbitraires, art. 4 4a, nous pouvons supposer a +b = c, a — b — v' y/ — ■ l j alors la partie imaginaire qui est dans l’expression (lSq) s’évanouira.

De ï intégration des équations simultanées.

45î. Proposons nous maintenant d’intc'grer & la fois deux ou plusieurs

équations différentielles.

INTÉGRATION DES ÉQUAT. SIMULTANÉES. 3ai

Soient

dr d* J----056)»

Wy +Nx + + <? 2g e=T'j

les (‘quations le» plus ^générales du premier degré entre x et y, et le* coetficiens différentiels et dans lesqnelles les coefficiens M, N,

P, etc. , sont des fonctions de la variable indépendante f ; on peut (écrire ainsi ces équations :

(My 4* Nx)dt Pdr 4- Qdr= Tdf ;

(M'jr + N'arjdr 4- P'd> 4- Q'd* = T'dt ,

si l’on multiplie la seconde par une fonction fl de t , et qu’on ajoute les résultats, on obtiendra .» *

[(M4-M%4<ïï4-N'fl)a:]dt4-<P4-P'fl;d r 4^Q4.Q(fl)dx = (T+T'fl)d*:

en représentant les quantités qui sont entre les parenthèses par une senle lettre, cette équation pent s’écrire ainsi t

Hj-dt 4 » ILrdr 4 - RJy 4 - Sdx = Td/ :

on en tire

H (r + a^) d * + R(dr 4-|<lr) = Tdé.. .(, 57 ),

aquation qui sera de même forme que l’équation dy 4- Pyd* ses Qdx . . . (i58) , que nous avons intégrée art. 385 , si

r . • v -Tl ••-(.• ' ' ''

parce qu’alors en faisant

y4-g*=*. ••( , So) t

l’équation (l5j) deviendra

Htdt 4 » Rds *: Tdt f ’

ou > > .

di 4 -g*d<ss=^d/. ..(i 6 i)j ,

ai

Sa» CALCUL INTÉGRAL.

et l’on vou (pie cette équation est de même forme que l'équation (i 58 ), puisque g et g- sont dis fonctions de la variable indépendante t.

453 . Pour satisfaire & l'équation (i 5 g), il suffit que l’on ait

et en exécutant ia rera

différenciation indiquée , d’après l’article 14, on troo-

gtlr-^ard.g t= gdxj

pour que cette équation soit satisfaite, il faut, en général , que les multiplicateurs de dr soient égaux , et que, par couséquent, le terme... ar.d.g soit nul j c'est-à-dire que l’on ait

On remettra dans ces équations les valeurs des expressions K, H, S et R, et ayant effectué la différenciation indiquée, on éliminitrà ô. renfermé dans ces équations, et l’on anra la relation qui doit subsister entre les coeffieiens, pour que l’équation de condition soit satisfaite.

454 -Danslc cas où les coeffieiens des premiers membres des équations' 1 36 ) sont consians, la différentielle d’nne constante étant égale à zéro il ne reste que la première des équations (i6j) ; elle suffira pour déterminer le facteur fl, qui alors sera constant puisqu’il sera égal à une fonction de constantes. En remettant pour K , H, R , S : leuts valeurs , on a "

N±N'fl

v « f+fâ »

et en faisant évanouir les dénominateurs, on voit qne fl doit être déterminé par une équation du second degréj'notamaut fl' et 8“ ces valeurs de fl, et supposons qu’àprès les avoir substituées successivement dan. 1 équation (161) les coeffieiens de zdr et de dt deviennent, dans le premier cas, p' et q'j et dans le second p u et g", on aura

, de.-f. p'sdt st ç'dt , de - f - p"zàt — (/"dt j

intégrant d’après la formule (90) , page 377, on trouvent

* =e At Lfg'e^ P ' àr dt -p C', ' to

[fç°é /p " d ‘dt] + G'.

INTÉGRATION DES ÉQUAT. SIMULTANEES. 3a3

On substituera dans ces valeurs celle de z, tirée de 1’cquation (t 6 o), et l’on aura deux équations en x , enjret en t.

455. Si , excepté T, T' et T", que nous regarderons toujours comme des fonctions de t, les coefficiens M, K, P, Q, etc., sont coustans, et qu’on ait les trois équations

djp 4- (Mjr 4 . N.r 4- Ps)dt = Tdf, dx 4- (M'/ 4- N'x' 4- P'tjdf = T'df , dz 4 - (M'y 4 - N'x 4- P**)dt = TMf,

on multipliera la seconde par une constante fl , et la troisième par une autre constante 6 ' ; et ajoutant les résultats, on aura une équation que nous pourrons représenter par

d y 4- fidx 4- fi'dz 4- Q(f 4- R* 4- S*)df = Lidf.

Or , pour que cette équation soit de la forme