SI
3a 4 CALCUL INTÉGRAL.
et en observant que d t est constant , ces équations deviendraient
d p + (My ■+■ Nx -(-P p + Qq)dt = Tdt, > dq + (My -h N'x + P> + Q'q)dt = T'dt J
ces deux équations , avec les équations (iGJ; , forment quatre équation du premier degré , auxquelles on peut appliquer les procédés précédcns.
De l'intégration d’une équation différentielle du second ordre.
45 7 - La formule générale des équations différentielles du «econd ordre à deux variables est
Nous ne chercherons pas à intégrer cette équation dans ce degré de généralité ; mais nous allons examiner comment on en peut trouver l’intégrale dans des cas particuliers.
458. Considérons d’abord l’hypothèse où l’on a pour intégrer cette équation on fera ^ z=p, t et
elle se réduira à
Si cette équation peut s’intégrer , et qu’on en tire p=X, on obtiendra facilement la valeur de y , car l’équation....
^ — p nous donnant y — / pàx, si l’on substitue dan*
cette équation la valeur dep , on aura y = /Xdx; mais si l’équation ( 167 ) , au lieu de donner la valeur de p enr, donnait celle de x ea fonction de p, de manière qu'on eût
1IÎTÉGR. DES ÉQUAT. DIFFÉR. DU 2* ORDRE. 3a5 x=P en intégrant par parties dy=pdx, on aurait d’abord
y—px —fxàp-,
mettant dans cette équation la valeur de x, on trouverait y — px — fPàp.
45 g. Considérons maintenant le cas où l’on a
. . dy . d^ " d p
en faisant = p , on trouverait \ et en rem-
dr , dx 1 ; dx
plaçant dx par sa valeur ^ , cette équation deviendrait
vj * V . - ü
dx a dy "
Mettant ces valeurs de ^ et de dans l’équation (168), on la convertirait en » • - 1
si cette équation peut donner^» = Y, on substituera cette
valeur dans l’équation dx = —, et l’on obtiendra en inté»
grant.
si au contraire^ se détermine en fonction de p, et que Ton ait par conséquent^ = P, pour avoir x, on intégrera par
• . dy
parties l’équation dxfc= -j , et l’on aura
3 ü 5 CALCUL INTÉGRAL.
et en substituant dans cette équation la valeur de y, on
trouvera
et ayant intégré, on éliminera ensuite p au moyen de l’équation y = P.
