Lorsque l'equation (i 65 )ne renferme a*ec , que

l’une des trois quantités , 1 ety, nous avons, dans le premier cas ,

faisant ^ •= p , et par conséquent ^ , on substi-

tuera ces valeurs dans l’équatioft (169), et l’on aura

On tire de cette équation

et par conséquent

D’une autre part , l’équation ^ — P nous donne y — fpàx- t

et eç y substituaut la valeur de d^r, donnée par l’équation (170) , on obtient

INTÉGR. DES ÉQÜAT. DIFFÉR. DU 3* ORDRE. Zvf

Lorsqu’on aura intégré les équations (171 et 17a), on éliminera entre elles la quantité p, pour avoir une équation en x et en y.

4 S 1. Dans le cas où ne se trouve combiné qu’avec une fonction de x , on a

±t = Xi

dx*

multipliant par dx et intégrant , on trouve

= /Xdx+C t

représentant par X' l’intégrale indiquée dans cette équation, on a

multipliant de nouveau par dx, et intégrant, on obtient y = fX'dx + Cx + C.

46a. Enfin, lorsque -jgj est donné on fonction dey, il s’agit cf intégrer l’équation

Sz=r.

ds*

Pour y parvenir, on la multipliera par ady, ce qui donnera 2 ^-^ = aYd J'i '

le premier membre étant composé comme la différentielle de x*, on trouvera , en intégrant ,

g=/aYdy + C ;

3u8 . CALCUL INTÉGRAL,

çt en tirant Ta racine carrée , on obtiendra

K^c + a/ïdy;

d’où l’on tirera , par une nouvelle intégration ,

^C + a/Ydy

Des équations différentielles partielles du premier ordre.

4 63. Une équation qui subsiste entre des coefliciens différentiels, combinés, selon le cas, avec des variables et des constantes , est , en général , une équation différentielle partielle, ou, suivant l’ancienne dénomination, est une équation aux différences partielles. On a appelé ainsi ces équations , parce que la notation des coefliciens différentiels qu’elles renferment indiqqe, comme nous l’avons vu art. 5a , que la différenciation ne peut être effectuée que partiellement , c'est-à-dire en regardant certaines variables comme constantes. Cela suppose donc que la fonction proposée ne contienne pas qu’nne seule variable. Pour plus de simplicité, nous n’en supposerons que deux , et nous considérerons d’abord les équations différentielles partielles du premier ordre , qui sont celles qui ne renferment qu’un ou plusieurs coefliciens différentiels du premier ordre.

464- La première équation que nous commencerons à intégrer est la suivante : •*

Si , contre notre hypothèse , z au lieu d’être fonction de

EQÜAT. DIFFÉR. PARTIELLES DU 1 er ORDRE. 3a$ deux variables x et y, ne contenait que x , on aurait une équation différentielle ordinaire qui, étant intégrée , donnerait z=ox-f-c; mais , dans le cas présent, a étant une fonction de x et de y, les y renfermés dans a ont dû disparaître à la différenciation, puisqu'en différenciant par rapport à x , nous avons regardé y comme constant. Nous devons dbnc en intégrant, conserver la même hypothèse, et supposer que la constante arbitraire est en général une fonction de y \ par conséquent nous aurons pour l’intégrale de l'équation proposée,

ï=oi + fy.

465. Cherchons encore à intégrer l’équation différentielle partielle

dans laquelle X est une fonction de x; multipliant par djc et intégrant , nous trouverons . - *

a ±= /Xdx + <py.

466. Par exemple, si la fonction représentée par X, était x* -f- a*, l’intégrale serait

Va? 1 ~ .

Z = g- + Û 3 X ■+■ <py.

467 . On ne trouvera pas plus de difficulté à ihtégrer l’équation

et l’on aura ,

z = Yx+çy.

468 . On intégrera de la niême manière toute équation dans laquelle ^ égalera, une fonction de deux variables

Ko calcul intégral.

x et y. Si l’on a, par exemple,

' v àz

en regardant y comme constant-, on intégrera d'après l’article a 7 ,, apres avoir multiplié par dx; et en nommant la constante qu on doit ajouter à l’intégrale , on aura •

2= i/ày + ^ + çy.

4 %. Enfin, si l'on veut intégrer l’équation

ds= àx

où regardera toujours^ comme constant, et l’on aura, article 374,

z = aro(sin=p + < p y .

470» En général , pour intégrer l’équation da = F(xj)dx ,

on prendra l’intégrale par rapport à x, et ajoutant ensuit» une constante fonction de y , pour la compléter ; on trouvera

* — /F (x,y)dx -17 <py.

j 7 1 ‘ D ’ a près ce qui précède, on voit qu’à part l’hypothese^de l’une des variables constante, et de l’introduction, dans 1 intégrale, d’une constante fonction de cette variable* on suit le même procédé que dans l’intégration des équations différentielles ordinaires.

47 2 - Considérons maintenant les équations différentielles partielles qui contiennent deux coefficiens différentiels du premier ordre ; et soit l’équation

EQUÀT. DIFFÉR. PARTIELLES Dü l w ORDRE. 33 l dans laquelle M et N représentent des fonctions données de x et de y ; on en tire

dz Mdz

dy N 4r'

substituant cette valeur dans la formule

qui n’a d’autre sens que d’exprimer la condition que z est fonction de x et dey», on obtient

^=è( dj: -R d >)'

Mdi

, dz Ndx —

Soit A le facteur propre a rendre Ndx — Mdy une différentielle exacte ds ; nous aurons , * • ■ r ..

A(Ndx — Mdy) = dr : , . ( i 74) .

Au moyen de cette équation, nous éliminerons Ndx -“Mdy de la précédente, et nous obtiendrons

j 1 dz , az = — -5— .a?.

aN dx <

Enfin, si l’on remarque que la valeur de ~ n’est point déterminée , on peut la prendre telle que ^ ds puisse s’inté- . ‘ 1 dz

grer , ce qui exige que — — - soit une fonction de s; car on sait que' la différentielle de toute fonction donnée de s , doit

53a CALCUL INTÉGRAL.

être de la forme Fs .dr. 11 suit donc de là qu’on doit avoir

1 àz — Fc

équation qui changera la précédente en dz = Fs.ds ;

d’où l’on tirera