Si l’on intègre par ce moyen l’équation àz ds

nous avons dans ce cas M = — y, N = x,*et par conséquent l’équation ( 174 ) deviendra

ds = A(xdx -f- ydy).

11 est visible que le facteur A, propre à rendre intégrable le second membre de cette équation , est a. Substituant cette valeur à A et intégrant, on a

mettant cette valeur dans l’équation ( 176 ), nous aurons pour l’intégrale de l’équation ( 176 ),

4 ( 74 . Soit maintenant l'équation

dans laquelle P , Q et R sont des fonctions des variables x ,

y et a; en divisant par P , et en faisant p- = M , — =N, bous pourrons la mettre sous cette forme : * ,

ÉQÜAT. DIFFÉRè PARTIELLES DU ORDRE, 335

et en faisant ^ = p, — = q, elle deviendra P + Mq -f N = o.' . .(179).

Cette équation établit une relation entre les coefficiens p et q de la formule générale

dz = pàx + qdy. . . (180) ;

sans cette relation , p et q seraient entièrement arbitraires dans cette formule ; car , comme cela a déjà été observé , elle n’a d’autre sens que d’indiquer que z est une fonction de deux variables x et y; et cette fonction peut être quelconque ; ainsi, nous devons regarder, dans l’équation (180), p et q comme deux indéterminées ; éliminant p au moyen de l’équation (179), nous obtiendrons

dz -f- Ndx = q (dy — Mdx). . .(181),

et q restesa toujours indéterminé ; mais l’on sqit (voyez la note seconde) que lorsqu’une équation de ce genre a lieu , quel que soit q, il fout que l’on ait séparément

. dz + Ndx=o, dy : — Mdx = o. . .(182).

475. Si P, Q et R ne contiennent pas la variable z, il en ' sera de même de M et de N; alors la seconde des équations (182) sera Une équation à deux variables x et y, et pourra devenir une différentielle exacte à l’aide d’un facteur a, de sorte qu’en appelant dr cette différentielle exacte, nous aurons

ds = A(dy — M dx). . ,(i 83 ).

Tirant de cette équation la valeur de dy — Mdx, et la sub-

stitiifcnt , ainsi que celle de q, dans l’équation (181) . nous

trouverons

d*s=ë.- — Ndx. . . (184). '

dy A '

D’une antre part, l’équation (i 83 ) , qui ne contient dans son second membre que des x et des.y, étant intégrée, donnera

j=FCx,jy);

la valeur de y, tirée de cette équation , étant mise dans l’équation (184) , en réduira le second membre à une fonction des variables x et s. Intégrant , par rapport à x , d’après l’art. 470 , nous appliquerons le signe d’intégration au terme qui contient la différentielle dx, et ajoutant une constante fonction de l’autre variable s, nous aurons

■J z — — /"Ndx + çs. • • (i 85 ).

47 S. Pour donner un exemple de cette intégration , prenons l’équation

nous avons, dans ce cas.

la valeur de M étant substituée dans l’équation (180) , la changera eu 1

ds = A^djr--|dx^,

ou plutôt en

dj = ^ïfcËî), . ' ... .

équation intégrable si l’on fait - > art- ! 9 > ce

ÊQUAT. DIFFÉR. PARTIELLES DU l" ORDRE. 335 donnera

cette valeur de s et celle de N , étant substituées dans l’équation (i 85 ) , on obtiendra

J OC JC

ou plutôt

z = a f àx \/ l+ (ï)'+* y i-

Dans le cas plus général , où les coefïiciens P, Q , R , de l'équation (177), contiennent les trois variables x, y, z , il peut arriver que les équations (182) ne renferment chacune que les deux variables qui sont en évidence, et que, par conséquent, on puisse les mettre sous les formes

dz =/ (x,z) dx = o , dy = F (x,y) dx.

On ne peut intégrer isolément ces équations , en écrivant , comme dans l’art. 470 ,

*=// 0 «Ô*) àx+çz, y = /F(x,y) dx -f ®y,

car alors on voit qu’il faudrait supposer z constant dans la première équation, ety constant dans la seconde; hypothèses contradictoires , puisque l’une des trois coordonnées x , y, z , ne peut être supposée constante dans la première équation sans qu’elle ne le soit dans la seconde.

478. Voici donc de quelle manière on intégrera les équations (182) , dans le cas où elles ne renferment chacune que les deux variables qui sont en évidence ; soient /s et A le» facteurs qui rendent les équations (i 8a) des différentielles exactes ; si nous représentons ces différentielles par dU et par

Calcul intégral.

dV, nous aurons

A(dz -f- Ndx) = dU, ^«(dy — Mdx) = dV;

au moyen de ces valeurs, l’équation (181) deviendra dU = o-dV...(i86).

Comme le premier membre de cette équation est une différentielle exacte , il faut qu’il en soit de même du second , ce A

qui exige que q - soit une fonction de Y; représentant cette A*

fonction par pV, l’équation (186) deviendra

•dU = <pV.dV;

d’où l’on tirera, en intégrant,