Pour donner une application de ce théorème , soit

dz dz .

Après avoir divisé par zx , nous comparerons cette équation à l’éqüation (178) , ce qui nous donnera 1 < '

et les équations (182) deviendront

dz — dx = o , dv 4 --- dx = o , zx J x

•t'Ilf f. —

txÔB-*‘y*àx~o, xdy+j>dx=o} . '* ’• •••» i

la première de ces équations contenant trois variahles , nous ne chercherons pas à l’intégrer en cet état; mais si l’on y substitue la valeur degdx, tirée de la seconde, elle acquiert un facteur commun x qnf» étant supprimé , la réduit à

zàz + yày = o,

®t l’on toit qu’en la multipliant par 2 , elle devient in té-*

grable ; l’autre équation l’étant aussi, on trouvera, en le#

intégrant,

z * — a.,i xy = o;

d’où l’on conclura que

a* -+->* = p xy . .

484. Nous terminerons ce que nous avons à dire sur le 9 équations différentielles partielles du premier ordre , par la solution de ce problème : Une équation qui contient une fonction arbitraire d'une ou de plusieurs variables étant donnée, trouver l’équation différentielle partielle qui la produite.

Supposons donc que l’on ait

nous ferons

et notre équation deviendra

z=Fu;

la différentielle de Fu devant être, en général, une fonction de u multipliée par du , nous pourrons écrire

ds ss tpudu ;

si nous prenons la différentielle de z, par rapport à x seulement, c’est-à-dire en regardant^- comme une constante , nous devrons prendre aussi la différentielle de u dans la même hypothèse j par conséquent, en divisant par dx l’équation ptécédente, nous aurons " 1 .

dz du di = <pu di”-

si nous regardons ensuite x comme constant , et y comme variable, nous trouverons, par un procédé analogue,

ÊQCÀT. DIFFÉR. PARTIELLES DU 1 er ORDRE. 34»

dz du

les valeurs des coefficiens différentiels ^ et ^ , qui entrent

dans les équations (190) et (191), s’obtiendront en différenciant successivement l’équation (189), par rapport à x et iy, ce qui nous donnera

dx aX ’ dy -8 ^’

substituant ces valeurs dans les équations (190) et (191) , nous aurons

dz • dz a - = a x^u,

éliminant fu entre ces équations , nous trouverons enfin

■^dx X dy*

485 . Prenons encore pour exemple l’équation z* + a ax = F(x — y) ;

faisant

x— y = u. ..(tga), . - ...

cette équation devient ‘ ’

z‘-f-aex =F u\

et en différenciant, on a , , ,

d(z* -4- 3 ax) =s ipudu \

prenant, par rapport à x, la différentielle indiquée, noua regarderons z comme variable , en vertu de x qui y est contenu ,• et divisant par dx , nous aurons

+ aa = çiu^|...(ig 3 );

CALCUL INTÉGRA*..

opérant d'une manière analogue, par rapport à y, en regarr dant z comme une fonction qui ne varie qu’à cause de y, et divisant par dy, nous trouverons

ds du

pour éliminer les coelliciens différentiels de du, l’équation O92) nous donne •

du du

dx 1 ’ dy 1 ’

substituant ces valeurs dans les équations (ig5) et (194) , nous aurons

dz . dz

aZ dx "^* Sa ~ ^ U> az

éliminant çu entre ces équations , nous obtiendrons

dz , dz . a

di + d jÿ+;*=°~

Des équations différentielles partielles du second ordre.

48 G. Une équation différentielle partielle du second ordre , # dans laquelle z est une fonction de deux variables xety', doit toujours contenir un ou plusieurs des coelliciens différentiels , indépendamment des coelliciens dif-

férentiels du premier ordre qu’elle peut renfermer.

487. Nous nous bornerons à intégrer les plus simples des équations différentielles partielles du second ordre , et nous commencerons par celle-ci :

ÉQUAT. DIFFÉR. PARTIELLES DU n» ÔRDRE. 343

dr :

multipliant par dx, et intégrant par rapport à x, nous ajouterons à l'intégrale une constante arbitraire fonction d*

y, et nous aurons > ■

multipliant de nouveau par dx, et désignant par «jy un» fonction de y , qu’on doit ajouter à l’intégrale, nous trouverons •

z. — x<py + 4 -y.