On intégrerait par le même moyen les équations
dxdy
dxdj-^ dy~ V ’
dans lesquelles P et Q représentent des fonctions de x , et à cause du diviseur dxdy, on sent que la valeur de 2 ne renfermerait pas des fonctions arbitraires de la même variable.
De la détermination des fonctions arbitraires qui entrent dans les intégrales des équations différentielles partielles du premier ordre.
4 g 4 - Les fonctions arbitraires qui complètent les intégrales des équations différentielles partielles, doivent se déterminer par des conditions qui tiennent à la nature des problèmes qui ont donné .lieu à ces équations, problèmes qui la plupart appartiennent à des questions physico-mathématiques. Ne voulant point nous écarter de notre sujet, nous nous bornerons à des considérations purement analy-
tiques, et nous chercherons d’abord quelles sont les conditions renfermées dans l’équation
• , , àz ,
*fg 5 . Dès que z est une fonction de x et de^, cette équation peut être regardée comme celle d’une surface. Cette surface, d’après la nature de son équation, jouit de la propriété suivante , que doit toujours être une quantité con-
Fig. 87. stante. Il suit de là que toute section EF (fig. 87), de cette surface faite par un plan CD , parallèle à celui des x,z, est une ligne droite. En effet, quelle que soit la nature de cette section, si on Ja partage en un nombre infini de parties mtn', m'm *, m“m“, etc., ces parties, vu leur peu d’étendue , pourront être regardées comme des lignes droites, et représenteront les élémens de la section; l’un de ces élémens mm' faisant, avec une parallèle mn à Tarte dés abscisses, un angle dont la tangente trigonom étriqué est représentée par
— , comme cet angle est constant, il s'ensuit que tons Je*
angles m'mn , in m n', etc. , formés par les élémens
de la courbe, avec des parallèles mn, m'ri , m"n", etc. , à l’axe des abscisses , seront tous égaux ; ce qui prouve que la section EF est une ligne droite.
4 9 6 . On parviendrait au même résultat en considérant dz
l’intégrale de l’équation ^ = a , que nous avons vu être , art. 464.
z=ax -f- fy. . -(199);
car, pour tous les points de la surface qui sont dans le plan CD , l'ordonnée est égale à une Constante c, représentée r, S- 87. dans ] a ggnre gy > p ar AB ; remplaçant donc fy par fc , et faisant çc = C, l’équation (199) deviendra
Rzeafc
TOJïCTIONS ARBITRAIRES DU I ,r ORDRE. ZJifl
# z = ax 4 " C. . .(200) ;
cette équation étant celle d’une droite , appartiendra à la section EF qui, par conséquent, sera une droite.
497. La même chose ayant lieu par rapport aux autre* plans sécans , qu’on mènerait parallèlement à celui des x,z, concluons que tous ces plans couperont la surface suivant des lignes droites , qui seront parallèles, puisqu’elles formeront chacune , avec une parallèle à l’axe des x , un angle dont la tangente trigonométrique sera a.'
498. Si maintenant nous faisons ,-c = o, l’équation (199) se réduira àzr=$>y, et sera celle d’une courbe GHK tracée sur le plan desy,z; cette courbe renfermant tous les points de la surface , dont les coordonnées sont x = o , rencontrera le plan CD en un point m (Gg, 87), qui aura pour l’une de ses coordonnées x = o; et puisqu’on a aussi y — AB= c, la troisième coordonnée , en vertu de l’équation (200), sera *=C, valeur représentée dans la figure par B/n } ce que nous disons du plan CD pouvant s’appliquer à tous les autres plans qui lui sont parallèles , il-en résulte que par tous les points de la courbe dont z est l’équation , et qui est tracée sur le plan des y, 5, partirmÉMes droites parallèles à l’axedes x. Voilà tout ce que nou^Bent les équations (198) et (199); et comme cette condition est toujours remplie, quelle que soit la Egure de la courbe dont s —<fy est l’équation , on voit que cette courbe est arbitraire.
499. Il suit de ce qui précède , que la courbe GHK , dont a =fy est l’équation , peut être composée d’arcs de différentes courbes , qui se joignent le^ms aux autres (*) , comme
(*) Dans «cas, la courbe sera déterminée & l'aide de plusieurs équations , de manière que la première donnera la valeur d’une variable x , par exemple, depuis x — a jusqu'il a = b\ la seconde la donnera depuis x — b jusqu’il * = c , et ainsi de snitc.
dans la figure 88, ou qui laissent entre eux des interruptions, en certaines parties , comme dans la figure 8gT Dans le . premier cas, la courbe est discontinue, et dans le second elle est discontiguë. On peut remarquer que dans ce dernier F'S- 89. cas, deux ordonnées différentes PM et PN (fig. 89) correspondent à la même abscisse AP; enfin, il est possible que sans être discontiguë , la courbe soit composée d’une suite infinie d’arcs infiniment petits , qui appartiennent chacun à des courbes différentes ; dans ce cas , la courbe est irrégulière comme seraient, par exemple , des traits de plume que l’on tracerait au hasard ; mais de quelque manière que soit formée la courbe dont l’équation est z = qy , il suffira pour construire la surface , de faire mouvoir une droite toujours parallèlement à elle-même , avec cette condition , que son point m parcoure la courbe GHK dont z = ç>y est l’équation, et qui est tracée au hasard sur le plan des .y, s.
5 oo. Si , au lieu de l’équation ^ = a , nous avions
celle-ci : — = X, dans laquelle X fût une fonction de x,
8"- alors en menant un plan CD (fig. 87) , parallèle à celui des x,z, la surface coupée suivant une certaine sec-
tion EF, qui ne ser^^His une ligne droite , comme dans le cas précédent* Ef^ÇtFet , pour tout point m, pris sur cette section , la tangente trigonoiliétrique de l’angle n'm'm* formé par le prolongement de l’élément m'm u de la section , avec une {terallèle à l’axe des x, sera égale à une fonction X de l’abscisse x de ce point ; et comme l’abscisse x est différente pour chaque point , il s’ensuit que l’angle n'm'm 11 sera différent à chaque point de la section, ce qui nous montre que EF ne sera plus, comme précédemment, une ligne droite. La surface se construira de même que dans le problème précédent, en faisant mouvoir la section EF parallèlement à elle-même, de manière que son point m
FONCTIONS ARBITRAIRES DU l* r ORDRE. 3Aa
touche continuellement la courbe GHK. dont l’équation est z = çy. •
5oi. Supposons maintenant que, dans l’équation précé- • dente , au lieu de X = o , on ait une fonction P de x et de
y t l’équation =P, contenant trois variables , appartiendra encore à une surface courbe. Si nous coupons cette surface par un plan parallèle à celui des x, z, nous aurons une section dans laquelle y sera constant ; et comme dans
tous ses points, — égalera une fonction de la variable x, il >
faudra donc, ainsi que dans le cas précédent, que cette section
clz
soit une courbe. L’équation P étant intégrée, nous aurons, pour celle de la surface ,
»=/Pdx -f- çy,
si dans cette équation nous donnons successivement les valeurs croissantes y , y", y 0 , y ' 1 , etc. , et que nous appelions P', P", P*, P 1T , etc. , ce que devient alors la fonction P , nous aurons les équations
z=/P'dx + <pÿ, z=/P' 7 dx-f-<p/' |
zz=fP m àx-\- $y m , z=f'P ,y àx-^-^y , ' , , etc.) ” * *' ‘
et l’on voit que ces équations appartiendront à des courbes <
de même nature, mais différentes de forme, puisque les valeurs de la constante^ n’y sont pas les mêmes. Ces courbes ne seront autre chose que les sections de la surface par des plans parallèles à celui des x,z , et , en rencontrant le plan des y, z , elles formeront une courbe dont l’équation s'obtiendra en égalant à zéro la valeur de x dans celle de la surface. Appelons /Pdx, ce que devient Y; dans ce cas, nous aurons
z = Y -f- çy. ..(non);
et l'on voit qu'à cause de fy, la courbe , déterminée par
35o • CALCUL INTÉGRAI .
eette équation , doit être arbitraire ; amsi , ayant tracé à Fig. 9a volonté (fig. 90) la courbe QRS sur le plan des y,z, si nous représentons par RL la section dont z— fV'dx -f- <py' est l’équation, on fera mouvoir cette section , en tenant son extrémité R toujours appliquée à la courbe QRSj mais de manière que , dans ce mouvement , cette section RL prenne les formes successives déterminées par les équations (soi) , et l’on construira la surface à laquelle appartiendra l’équa*
tion ÿ- — P.
dx
5 oa. Considérons enfin l’équation générale
dz
dx
dont l’intégrale est U = <pV, art. 482. Dès que nous avons U = a et Y — b , ces équations existant chacune entre trois coordonnées, nous pouvons les regarder comme celles de deux surfaces ; et puisque ces coordonnées sont communes, elles doivent appartenir à la courbe d’interseqtion de ces deux surfaces. Cela posé , a et b étant des constantes arbitraires , si dans U —a nous donnons à x et à y les valeurs x' et y', nous obtiendrons pour z une fonction de x', dey' et de a, qui déterminera un point de la surface dont ü = c est l’équation. Ce point quelconque variera de position ai nous donnons successivement diverses valeurs à la constante arbitraire a, ce qui revient à dire qu’en faisant varier a, nous ferons' passer la surface ddnttJ = a est l’équation, par un nouveau système de points. Ce que nous disons de U z=a , pouvant s’appliquer à V— b , concluons que la courbe d’intersection des deux surfaces changera continuellement de position, et par conséquent décrira une surface courbe, dans laquelle a et b pourront être considérés comme deux coordonnées ; et puisque la relation a—çb, qui lie entre elles ces deux coordonnées , est arbitraire, on sent que k détermina-*
FONCTIONS ARBITRAIRES DU I er ORDRE. 35 t
lion de la fonction ç revient au problème de faire passer une surface par une courbe tracée arbitrairement.
5o3. Pour moiürer comment ces sortes de problèmes peuvent conduire a des conditions analytiques, examinons quelle est la surface dont l'équation est
ds
dx dy"
Nous avons vu, art. 4 7 3, que cette équation avait pour intégrale
*==f(x»+jr*)...(ao4);
réciproquement on tire de cette intégrale x* + y* = ;
si l’on coupe la «urftce par un plan parallèle à celui des x,y, la section aura pour équation
xî '+.y* = <t>c; * • '■ *•'
et en, représentant par a a la constance 4>c , on aura
Cette équation appartient^!)- cercle ; par conséquent, la sur- *1 factf jouira de cette propriété, que toute section faite par «in plan parallèle à celui des x,y, sera un cercle.
604 . Cette propriété est encore- indiquée par l’équation (ao3) , car, en vertu de l'article 2 4 , on en tire '
Cette équation nous apprend que la sous-normale doit être toujours égale à l'abscisse, ce qui est la propriété du cercla, 5o5. L’équatjon (ao4) ne, noms disant d<wc autre chose.
35a calcul intégral.
si ce n’est que toutes les sections parallèles au plan des x,y • sont des cercles, il s’ensuit que la loi Suivant laquelle les
rayons de ces sections doivent s’augmenlir , n’est pas comprise.dans l’équation (ao/Q, et que , par conséquent, toute 0 surface de révolution satisfera au problème ; car on sait que dans ces sortes de surfaces , les sections parallèles au plan des x,y sont toujours des cercles , et il n’est pas besoin de dire que la génératrice qui, dans une révolution , décrit la surface, peut être une courbe discontinue , discontiguë, régulière ou irrégulière,
5 o 6 . Cherchons donc la surface poür laquelle cette géné- Fig. 9 «. ratrice serait une parabole AN (fig. 91) , et supposons que , dans cette hypothèse , la surface soit coupée par un plan AB, qui passerait par l’axe des a; la trace de ce plan sur celui des x,y sera une droite AL qui, menée par l’origine, aura pour équation y = ax\ si nous représentons par t l’hypox ténus e AQ du triangle rectangle APQ , construit sur le plan
des x,y, nous aurons
mais t étant l’abscisse AQ de la parabole AN, dont QM = â est l’ordonnée, nous avons par la nature de cette courbe
gjf o v * =
mettant pour t* sa valeur x>+f, il nous viendra *
+ ou + **) = ***(«*+ O 5
et en faisant i (a* + 1) = m, noüs obtiendrons z = mi’ ;
de sorte que la condition prescrite dans l’hypothèse où la génératrice est une parabole, est que l’on doiye avoir
z — mx % lorsque y = ax.
«FONCTIONS ARBITRAIRES DU l ,r ORDRE. 353 507. Cherchons maintenant à déterminer, au moyen de ces conditions, la fonction arbitraire qui entre dans l’équation (ao 4 ). Pour cet effet, nous représenterons par U la quantité x 1 -f-y 1 qui est affectée du signe <p , et l’équation (flo 4 ) deviendra
t— pU . , .(ao 5 )j 1
et nous aurons les trois équations
x*-f-y* = U, y=ax, z — mx\
Au moyen des deux premières nous éliminerons y, et nous obtiendrons la valeur de a* qui , étant mise dans la troisième! nous donnera
% — tu 11 1 % a* -f- 1
équation qui se réduit à
par ce qu’on a vu que nous §Nΰ ns supposé g (a 2 -f- 1) — m ;
la valeur de 2 étant substituée dans l’équation (ao 5 ), la changera en •
mettant la valeur dî U dans cette équation , nous trou-
et l’on voit que la fonction est déterminée; substituant cette valeur de ?( x*+y*) dans l’équation (204), nous aurons pour l’intégrale cherchée ,
équation qui jouit de la propriété requise , puisque l’hypothèse de y = eu: nous donne
z — mx*.
5 o 8 . Ce procédé est général; car supposons que les conditions qui doivent déterminer la constante arbitraire , soient que l’intégrale donne F(x l y,i)=o > lorsqu’on a f (x,y,z)=o , nous nous procurerons une troisième équation en égalant à U la quantité qui est précédée de f , et alors , en éliminant successivement deux des variables ce , y, z , on obtiendra chacune de ces variables en fonction de U ; mettant ces valeurs dans l’intégrale , on parviendra à une équation dont le premier membre sera <pV, et dont le second membre sera une expression composée en U; remettant la valeur de U en fonction des variables , la fonction arbitraire se trouver» déterminée.
Des fonctions arbitraires qui entrent dans les intégrales des équations différentielles partielles du second ordre. s
5 og. Les' équations différentielles partielles du second ordre, conduisent à des intégrales qui renferment deux fonctions arbitraires ; la détermination de ces fonctions revient à faire passer la surface par deux courbes qui peuvent être discontinues et discontiguè f s. Pour en donner un
exemple, prenons l’équation = o : on a vu art. 4^7 , que l’intégrale de cette équation était
z = xçy -f- 4 y • • • (ao6).
Soient Ax , A y et A z (fig. 92) , les axes coordonnés ; si l’on mène un plan KL parallèlement à celui des x,z, la section de la surface, par ce plan, sera une ligne droite ;
FONCTIONS ARBITRAIRES DU a* ORDRE. 355 car , pour tous les points de cette section , y étant égal à A p, si nous représentons A p par une constante c , les quantités q>y et\J/y deviendront <pc et^c, et par conséquent pourront être remplacées par deux constantes a et b, de sorte que l’équation (206) deviendra
z — ax-\-b., .(207) ,
et sera celle de la section faite par le pl^n KL.
5 10. Pour connaître le point où cette section rencontre le plan des y,z, faisons x — o , l’équation (ao6) nous donne dans cette hypothèse, z — ^y, ce qui nous indique une courbe amb, tracée sur le plan des y,z. Il nous serait facile de démontrer, comme dans l’art. 498* que la section rencontre la courbe amb en un point m; et comme cette section est une ligne droite, il ne s’agit, pour en déterminer la position , que de trouver un second point par leqiîel passe cette ligne. Pour cet effet, observons que lorsque x est égal à zéro l’équation (206) sè réduit à
tandis que lorsque a: est égal à l’unité, la même équation se réduit à *
faisant , comme, précédemment , yziA/)=c, ces deu* valeurs de z deviennent
et déterminent deux points m etr pris sur la même section mr que nous avons vue être en ligne droite. Pour construire ces points on opérera de la manière suivante : on tracera arbitrairement sur le plan dessala courbe amb, et par le point p , où le plan sécant KL rencontre l’axe des y, on élevera la perpendiculaire pmxzb , qui sera une ordonnée à la courbe; on prendra ensuite à l’intersection IIL du plan
sécant et de celui des x,y , la partie pp égale à l’unité , et par le point p' on mènera un plan parallèle à celui des y, z, et dans ce plan on construira la courbe dm b' , sur le modèle de la courbe amb, et de manière quelle soit semblablement disposée ; alors l’ordonnée m'p' sera égale à mp ; et si l’on prolonge m'p’ d’une quantité arbitraire mr, qui représentera a , on déterminera le point r de la section.
Si l’on prolonge ensuite , par le même procédé, toutes les ordonnées de la courbe dm b' , on construira une nouvelle courbe a'rb' qui sera telle, qu’en menant par cette courbe et par amb, un plan parallèle à celui des x,z , les deux points où les courbes seront rencontrées appartiendront à la même section de la sufface.
5i i. Il suit de ce qui précède , que la surface peut être construite , en faisant mouvoir la droite mr, de manière qu elle touche continuellement les deux courbes amb, a’rb'.
5m. Cet exemple suffit pour faire entrevoir comment la détermination des fonctions arbitraires, qui complètent les intégrales des équations différentielles partielles du second ordre revient à faire passer la surface par deux courbes qui , ainsi que les fonctions arbitrâmes* qui servent à les construire , peuvent être discontinues , discontiguës , régulières ou irrégulières.
