am ^ m - - cos (m — 4)x+ etc.] . . .04)- 1 . a

Ce développement provenant de Celui de (b -f- v ) m > contient m-f- 1 termes; si l’on fait successivement rasa, m=3, m = 4, etc., et que l’on change les cosinus d’arcs négatif» en positifs , en vertu de l’équation cos — Ç = cos f , on formera le tableau suivant :

cos*x = y cosax + 5 ,

, cos 3x 3cos 3x

cos 3 x = — 1 -, — /

, cos Le . , , •

cos*x = ■ — g h J cosax -f- f.

~ On pAt abréger ces calculs, car les tertnes également distans des extrémités de la série, sont égaux. Pour le démontrer, nous remarquerons que les cosinus qui entrent

364 note troisième.

dans l’équation ( 14 ) étant

cos mx, 00s (m— a)x, cos(/n — 4 ) x > cos(m— ax 3 )x, etc., ou plutôt

cosmr, cos(/n — 2 X 0 r « cos (m — ax»)x, cos (m — 2 X 3 )r , etc.,

en considérant les nombres qui suivent le signe X dans chaque terme de la série , on voit que l’un de ces nombres indique celui des termes précédens. Ainsi, le terme qui en a n avant lui, sera affecté de cos(m — ari)x. A l’égard du terme qui en a n après lui, comme le nombre total des termes de la série est m -f- 1 , celui qui en a n après lui , tiendra le rang m + 1 — n , et par conséquent , aura m — n termes avant lui ; donc il renfermera l’e«pression

cos [[m — 2 (m — n)]x = cas ( — m -f 2n)x ;

et comme nous avons vu qu’on avait le droit de changer le signe de l’arc dont on a le cosinus , on aura

cos ( — m + 2 ri)x =s cos (m — 2 n)x ;

donc les termes également distans des extrémités de la série , .ont les mêmes cosinus ; et comme ils ont aussi les mêmes coefficiens (* ) , puisque ces coefficiens sont ceux de la formule du binôme;, il -en résulte que ces termes sont égaux. Ainsi, lorsque m est impair le nombre 1 çles termes

TTl-f- l

de la série sera pair , et il suffira de doubler les — - — premiers termes, pour avoir la totalité des termes de la série; si m est pair , m + 1 sera impair , alors on ajoutera au terme du milieu , le double de ceux qui le précéderont. Ce terme

tiendra le rang ^ -f- 1 dans la série, et, par conséquent, il

( On peut le reconnaître en comparant le développement de (a + à celui de ( b -H a) m , écrit à rebonrs.

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