DIFFÉRENCIATION DES QUANTITÉS- TRANSCEND

tipliés par la première puissance de h , nous remarquerons, que si dans un produit tel que A ( h — : ) (A — a) (A — 3 ), etc., la partie ( A — 1 ) ( A — 2) ( A — 3 ) etc. , est composée de n facteurs, son développement, d’après la théorie des équations , sera de la forme A“ -J- A h n ~ l -J- BA* - Mfr-f- N , et que le terme N se composera du produit des- secondes parties — 1, — a , — 3 , etc. des binômes A — 1 , A — a , A — 3 , etc.; or puisque h (A — 1) (A — a) (h — 3 ), etc.

= A (A* -|- Ah n ~ l -j-MA-}-N), il est bien évident'

que le terme qui contient la première puissance de A dans ce produit sera NA ou , d’après ce qui précède, sera (-^iX — a X — 3 , etc. ) A , d’où l’on peut conclure que pour trouver dans le développement 18, les termes affectés de la première puissance de A , dans les termes compliqués de ce développement , c’est-à-dire à partir du troisième, on formera ainsi les différens coefficiens de A : le coefficient de A se composera du produit des nombres soustraits de A par

y-y dans le troisième terme , çu (par dans le quatrième,

«t ainsi de suite.’

Il suit de là que

a h =: 1 -f» (A — — -f- -g- — etc.) ^ + termes en A*, en A 3 , etc.

Représentons (A — — -f- y , etc.) par A, nous aurons

a h — 1 -f- AA + termes en A 9 , en h 3 , etc.;

substituant cette valeur dans l’équation y' =. u I a h , cette équation deviendra

y' z= a* Aa x h -j- termes en A 4 , en A 3 , etc.

Si nous retranchons l’équation primitive y — a x , il restera^ — y = Aa x h -f* termes en A* , en A 1 , etc. , passant

dy

à la limite, ^ —A a x \ et en mettant la valenr de^,

“3^= Aa*. . • (19). .

La constante A dépend de a\ car si dans l'équation 5 “ b 3

A = (6 — — -f-g- — etc.), on met pour b sa valeur a — 1 , on trouvera

A =(a — 1) — — + - — etc.

37. Pour déterminer la valeur de la constante A, cherchons, par le théorème de Maclaurin, le développement dtj a x ; nous avons donc

§ = A 3 a x , etc. .

GJir 5

Faisons x = o , nous trouverons (y) = o° = 1 , ^ ^ = A,

^ j-^^=3s A* , (3^1) = A 3 , etc. Substituant ces valeurs dans.

l’équation (17), nous trouvons

„ , Ax A 1 .!* AV

a* = i.-f h — — 5 + etc. ;

faisons x = 4- , cette équation deviendra

+- etc .y

DES DIFFÉRENTIELLES LOGARITHMIQUES. 23 nommons e le second membre de cette équation, elle so

change en a A = e, d’où l’on tire a = e A ‘, prenant les logarithmes , on a

log a = log e A = AJog e ;

donc

A = . . . (ai).'

log e

Le nombre e, dont la valeur est donnée par l’équation

-f- etc., est la base que Néper