choisit pour calculer ses tables de logarithmes

Comme la série î i — I — - — h etc. , est assez converti .a

gente , on peut se borner à pendre les dix premiers termes de cette suite , et alors on trouve que e vaut environ 3,7182818. Si nous représentons par La le logarithme de a dansle système népérien, nous aurons dope a=(a, 7 1 828 1 8)^ a , ou plus simplement a — donc log a=loge L ‘‘ et

log a — La log e ; d’où nous tirerons — Lcr, ce qui

réduit l'équation (ai) à A=sL a, et par conséquent l’ équation (19) donne

da x — o^dx. La (22).

Des différentielles logarithmiques.

38. Soit x le log dey dans le système dont la base est a ; ona^yrra*; donc (art. .36) dy = Aa*dx, d'où l’on tire

. c !y à y __. d .y lQ g c .

Au* log a x a* log a * log e

*t comme a* —y, et que x =s log y, l’équation précédent*

24 ' CALCt’L DIFFÉRENTIEI.

devient

Dans le cas où l’on prend les logarithmes dans le système.

= 1 , donc alors d. log^ = — .

nepenen

’ log a log e

Des différentielles des sinus, cosinus et antres lignes trigononiétriffues , ou des différentielles des fonctions circulaires.

3g. L'arc et plus grand que le sinus, et plus petit que la. tangente.

Pour le démontrer, soit AB , Gg. a, un arc qui a BE pour sinus et DA pour tangente, et prenons l’arc AB' égal à l’arc. AB. En considérant la cordaiBB' connue une ligne droite, BB' est plus courte que l’arc BAB'. Doi.c la droite BE, qui est la moitié de la corde BB', est plus courte que l’arc BA, moitié de l’arc BAB'; d’où il résulte que le sinus est moindre que l’arc.

Pour démontrer que la tangente est plus grande que l’arc, nous avons-

Aire du triangle DTVC^> aire du secteur BAB'C ; ou en mettant les expressions géométriques de ces aires , DD' X 5 AC> arc BAB' X i AC; supprimant [ AC de part et d’autre , il reste DD'> arc BAB', qt en prenant la moitié , on a

DA> arc BA.

4o. II résulte de ce qui précède, que la limite du rapport, du sinus à l’arc est l’unité ; car lorsque l’arc h représenté par AB deyieut nul , le sinus se confondant avec la taa-

DIFFÉRENCIATION DES FONCTIONS CIRCULAIRES. BD gente, à plus forte raison le sinus se confond avec Pare qui est compris entre la tangente et le sinus; par conséquent on

j « -, , . sin h . . sin fi

a. dans le cas de la limite, , ou plutôt — , — = 1.

arc/» - A

4 *. Pour trouver la différentielle du sinus dont l’arc esta ? , supposons donc que cet arc reçoive un accroissement fi% nous savons par la Trigonométrie que

sin (i -f- A) = sin x cos fi sin fi cos x . . . (a3).

Retranchant de cette fonction son état primitif, et divisant

par l’accroissement A de la variable , nous aurons

sin (.r -[-h) — sin x sin x cos A -|- sin A cos x — sin x

Rassemblant entre des parenthèses l'es termes multipliés par sin x dans le deuxième membre , on trouvera

sin (x -f A) — sin .r sin.r(cosA — i) sin fi cos x ....

Quand A devient o , cos h — 1 devient aussi nul et

cos fi — i , , . , o . . ,

; se réduit a - ; il convient donc de mettre ce

terme sous une autre forme : pour cela l’équation cos* fi -fsin a A = i me donne cos* A — i = — sin* A , ou (cos A — i )

(cos A -f- O = — sin* A; d’où je tire cos A — 1= S ’” ^ ■ :

, cosA + i

substituant cette valeur dans l’équation (24) , cette équar tion devient

sin(x-f-A) — sin jc

sm A sin A . sin A • rv

-sinx j— ; . — f-cosx— , — ..,(25).

cos A-f-i « h

sin A

Dans, le cas de A — o , — = 1 et

sin A

cos 1

c!« sin oc

Véquation (« 5 ) se réduit donc à — — = cosx; d’où l’on,

i^dnit d. sin x = «ix cos x.

aS CALCUL DIFFÉRENTIEL.

4a. Dans cette démonstration , le rayon des tables a été pris pour unité ; india si l’on voulait la différentielle d’un sinus dont le rayon serait a, au lieu d’employer l’équation (o3), on se servirait de celle-ci :

Fig- 3*

. , , sin ’.r cos h -+- sin h cos x

Dans le résultat précédent, il faudrait donc restituer la

' QX COS 3C

constante a , ce qui donnerait d. sin x= — — pour la

différentielle du sinus d’un arc dont le rayon est a.

43. On peut parvenir à la différentielle «le sin x par des considérations géométriques ; car soit AB, fig. 3, l’arc a:; BM, l’arc h-, la perpendiculaire BP sera donc sin x , et la perpendiculaire MQ sera sin (x-f-A) ; cela posé , plus l’arc BM = h diminue , plus l’angle M fit. tend devenir droit ; par conséquent, dans le cas de la limite, on peut considérer l’angle MBC comme droit; alors le triangle MB O dc\ lent semblable au. triangle BCP, puisque dans ectte circonstance ces triangles ont leur», côtés perpendiculaires ; d’où il suit qu’on a la proportion

ou

donc