On déterminerait de même la différentielle de la co

aéçante ; car coséc x = — : différenciant on a

sm x

d. coséc x —• —

cos x dx cos x 1

du?

tau&x

sin’ x sin x sm x coséç x dr == cot x çoséc x dx.

*8 CALCUL DIFFÉRENTIFX.’

. A l'égard du sinus verse, en différenciant l'équation sin verse x Cos x — 1 , on trouve d. sin verse x ~ d. (1 — cosx), et en effectuant la différenciation, d. sin verse x

r= sin x dx.

De la différenciation de quelques fondions transcendantes compliquées. »>

5 0. Les principes précédens suffiraient pour pouvoir différencier toute expression affecté» de quantités transcendantes.

Soit y — al'* ; faisons b* = u , noos aurons y = a* ; différencions par l’art. (37), nous trouverons

p.=a'‘La = a bT La,^=b*Lbï

du ci je

donc (art. 24) T-°i'f' = a br b r LaLb.

du dx dx

5 1. Soit encore y = z v ; prenant les logarithmes, on » log y c= v log z •, donc d. log y . =s vd. log z -f- log zdv^ mettant pour les différentielles logarithmiques leurs valeurs (art.'SS), nous trouverons

^ = v — + log zdv, et par conséquent dy —y (v — -f-logzdv), ou plutôt dy = z v (v^- + log zdv).

Au moyen de cette différentielle, on trouvera facilement celle de y = z‘“ ; car soit t u ■=■ v , l’équation se réduit à y =; z v ; or , les équations y = z v et v — t u , qui sont de même forme que l’équation dont nous venons de trouvée la différentielle, donneront

dy = z v (v-^ + logzdv),

dv = t“ (u^ -j- log fdn),.

TkÉORÈME DE TÀYIOft. 229

Substituant dans la valeur de dy donnée par cette avant-

dernière équation celles de du et de v, nous aurons

dy— z 1 " Q“ — -f- log z l u .{u y -}- log t du)^J = z t 'h a

-f- u log z — + logalpg t du^.

Théorème de Taylor .

5a. Ayant quq d’aller plus loin , nous remarquerons que dans le Calcul, différentiel une expression telle que ^ £

signifie qu’une fonction y d’une ou de plusieurs variables a été différenciée par rapport à la variable x et divisée par dx; par exemple, si l’on avait y = ax*u 3 e 4 , l’expression à x se trouverait en regardant u et z comme constans . d c ,

et en différenciant par rapport à x et divisant ensuite par dx :

ainsi on aurait ^ — 2 axu 3 z 4 . On trouverait de même 4^ = dx dx

i^ax'zV.e t == Zax'iïu*. Si l’on avait y = x a -f- z a , &

serait ax.

53. Si dans une fonction y déx, la variable x se change en x -f- b , on a le même coefficient différentiel lorsque x est variable et h constant , que lorsque h est variable et x constant. . ,

Pour le démontrer, si dans l’équation y —fx , nous mettons x-f -h — x' à la place de x, nous aurons y —fx' ; la différentielle de fx' sera égale à une autre fopction de x' représentée par <px' et multipliée par dx', par conséquent dy' — çx'dx', ou en mettant pour x' sa valeur x -f- h , on aura

dy' = <p (x -f- h) d (x + h).

Or, le seul changement qu’apporte dans cette différentielle

So fcALCOL DIFFÉS.ENTÎÊL»

l’hypotbèse de x variable et de h constant , n'est que dans le facteur d(x -f* h ) , qui se réduit à dx ; l'on a doue alors

dy = ^(x+A)dx,

d’où l’on tire

Si, au contraire, on fait x constant et h variable, le facteur d(x -f- h) se réduit à d h , et l’on a

dy = <p (x + h) àh ,

et par conséquent »

^ = 9 (x 4- *0* • • • (* 7 ) î * égalant ces deux valeurs de <p (x -f- h), il nous vient

dx ci/f

Par exemple , si l’on avait y = ex 3 , en mettant x h à la place de x on trouverait

et par conséquent

dy' dy' dx “ d/i *

54. Les équations (36) et (37) étant différenciées par rapport àx + li, donnent encore les résultats égaux

Tgjjf- = <P' (* + *) d (X-M),

Faisons h constant dans la première équation, et x constant dans la seconde, nous aurons

Tjjr = 9 ' (* + h) dx, = <p' (x + //) d/i j

*JL

dx

THÉpRÈME DE TAYLOR.

d’où noua tirerons

dx» “ dÀ*'

On conclura par le même raisonnement que et

dx* ah 1

que #£ = *£ , et ainsi de suite.

dx+ d/d

55 . Cela posé, soit y' une fonction de x 4- h ; cette fonction étant développée par rapport aux puissances de h, supposons qu’on ait

y =zy + Ah + Bh' + Ch 3 -f etc. . . . (28),

A, B, C, etc. étant des fonctions inconnues» de x qn’il s’agit de déterminer. Pour cet effet, en différenciant par rapporta h, et en divisant par dft , on aura

-jy-* — A 4* a B/i 4 - 3CA 4 -f- etc. ; ah

différenciant ensuite par rapport à x et divisant par dx, nous aurons

Ü h 4. fl? A» 4 etc dx — dx + k dx + dx + *

Les premiers membres de ces équations étant égauxj en vertu de l’art. 53, les seconds membres seront identiques; égalant donc entre eux les coefficiens des mêmes puissances d eh, on trouvera

dC

-, etc.

A dy T> dA ^ dB TV

A — àï ’ ü ~ u — W» “ 4dx 1

Substituant la valeur de A , donnée par la première de ce»

équations , dans la seconde , oii aura B = — - ; substi-

tuant cette valeur dans celle de C, on aura C= =