APPLICATIONS DO THÉORÈME DE TAYLOR
substituant dans la formule de Taylot*, on trouve •
sin (x-f-n) = sin x -f- cos x- — «n x cos x — -
• i • hK h *
faisant x — o, alors sinxs=o etdbsx = i , et ce développement se réduit à
+ etc
Si l’on prenait y' =e cos (x -f- h), on trouverait, en opérant comme dans l’exemple précédent , que »
sin h h •
ços/l==1 tl + .
etc.
ï. n ir,
58. Développons encore log (x*4~A) ; nous avons y'— log C^c A), donc = logx;
dy ==d. logx==— , donc^==-.
J 0 X QX X
On obtiendra ensuite , par des différenciations successives ;
dx“ x a ’ «dx 3 x i> 6tC ' *
substituant ces valeurs dans la formule de Taylor, on a
log (x + A) =log x + - - + —, etc.
5g. On pourrait facilement, au moyen de cette formule,' trouver la différentielle d’un logarithme, si cette formule n’eût pas été trouvée par la différenciation, mais par la seule Algèbre [noie première (*)]. En effet , cette formule donne
log(x-j-h)— log x i h
h x ax“
(*) Voyez les notes à lu fin de l’Ouvrage.
54, CALCUL différentiel;
passant à la limite ,on a
d.logx 1
ou
dr d.logx=
dx
Connaissant la différentielle d’nn logarithme, il serait aisé de trouver celle de a* ; car en faisant y = a *, et en prenant les logarithmes dans le système ftépérien , on a
Ly = La* pu Ly = xLa,
et en différenciant 0
^ ~ dx Le ;
d’où l’on tire
t.\ - ; , < dy xxyàjcLa = c I dxLa. ,
6o. On peut déduire le théorème de Maclaurin de celui de Taylor, de la manière suivante : on a, par le théorème de Taylor ,
d'.fx h • ■ d s ./x h s ,
dx 3 a.3 + etC ’
Jlx+h : ,=fx+^h- Appelons (/x) ce que devient fx quand on y fait x = o ,
0~5x0 Ce ^ Ue ^ ev ‘ ent ^~dx < l uan< * on y ar — o , ainsi
de suite pour les autres coefficiens différentiels ; la formule de Taylor , quand on fera x = o , deviendra donc
Dans cette équation , h entre dans fh comme x entrait dans fx , de sorte que si on change h en x , fh deviendra fx\ et comme il ne reste plus de traces de x, ce changement est permis , puisqu’il importe peu de substituer une
toîFFÉRENClAT.DES ÉQÜAT. A DEUX VARIABLES. 35 lettre ou une autre à A : en faisant donc ce changement on tro'uve *
Ce qui est le théorème de Maclaurin.
De la différenciation des équations à deux variables,
6t. Soit
une équation entre deux variables. En résolvant cette équation par rapport à y , on trouvera^ = <pr; imaginons que l’on ait substitué cette valeur dans l’équation (ag) , celle-ci deviendra F (x,<px) = o , ou pour plus de simplicité
équation identique , et dans laquelle tous les termes doivent se détruire , quelque valeur que l’on donne à x. Par exemple, si cette équation ne monte qu’au troisième degré , on pourra la représenter par
Ax 3 -fBx*-fCx-f-D = o,
et en mettant une valeur quelconque pour x, elle sera toujours satisfaite ; donc, en mettant x -f- h à la place dex, on aura encore
A (x + h) 3 + B (x -f hy + C (x + h) -f D = o ,
c’est-à-dire que si l’on a/x = o , quel que soit x, on aura encore/(x-f-A) =o; retranchant de cette équation celle-ci
fx x=o, il restera f (x -f- h) — fx = o ; donc aussi
/•(X^) — fx >
3s CALCUL différentiel;
Or,
f(x + A) =fx -f- AA -f- Bh x -f- etc. , d’où l'on tire
/<*+&=fr = A + BM-étc.;
le premier membre de cette équation étant nul , on a donc
d fx
A + BA -{- etc. = o ; et passant à la limite = A =± o ,
et par conséquent d.fx— Adx=o, ou en restituant y , d . F (x,y) = Adx =: o.
. Ceci nous apprend qu’en regardant y comme une fonction de x, si l’on différencie l’équation F(x,y)=:o, on pourra égaler le résultat à zéro; ce qui servira à déterminer la
valeur du coefficient différentiel ty-, comme nous allons la
voir dans l’exemple suivant.
Soit donc
F (x,y) =x*-+-3ay — y % ~o... (3o);
différenciant par les procédés ordinaires , et observant que par la démonstration précédente on doit égaler ce résultat à zérq , on a ,<
axdx -f- Zady — 2 j'dy=o... (3i) ; de cette équation on tire
Ça. Si l’on compare le procédé , qui nous a fait obtenir cette valeur avec celui que nou3 avons employé jusqu’à présent, on verra qu’en opérant d’après cette première méthode, il aurait fallu d’abord ne^ l’équation (3o) sous la forme y s=/x, et par conséquent résoudre l’équation par
DIFFÉRENCIÂT. DESÉQUAT. A- DEUX VARIABLES. 5? rapport à. y, pour en déduire ensuite par la différenciation
(jy
la valeur de . En suivant cette marché nous trouverions d’abord
et ensuite, par la différenciation ,
Cette valeur de ^ se présente sous une forme différente de
celle qui nous est offerte par l’équation (3a) ; mais en mettant dans l’équation (3a) la valeur de y , cette équation deviendra
comme nous venons de le trouver. L’équation (3i) est la différentielle première de l’équation (3o).
Pour obtenir l’équation qui donne le coefficient différentiel du second ordre , c’est-à-dire en divisant l’équation (3i)pardx, et faisant , cette équation deviendra
zx + 3 ap — zyp = o ;
regardant y et p comme des fonctions de x, nous aurons, en. différenciant ,
ad X -f- 3adp — zydp — - zpdy = o ;
divisant par dx et mettant p à la place de ^ , il viendra.
dx
d’où nous tirerons
dp ap 1 — a
dx 3 a — a iy'"
dp __ d*y
mettant ce»
Or, puisque p => nous aurons ,
Valeurs dans l’équation (33) , et faisant évanouir les dénominateurs, nous obtiendrons
dy (3 a — a y) = ady * — adx* . . . (34) ; telle sera la différentielle seconde de l’équation (3o).
Pour avoir la différentielle troisième , on fera ~~q , et
l’équation (33) deviendra, après avoir fait évanouir le dénominateur ,
Zaq — a ÿq = ap* — a;
on différenciera en regardant y, p, q comme des fonctions de x, et l’on trouvera la différentielle troisième , ainsi de suite/
63. Au lieu d’employer les lettres p, q, r, etc. , pour effectuer les opérations , on parviendrait au même résultat en différenciant l’équation (3i) et en mettant dy pour la différentielle de y, d'y pour celle de dy, d s y pourcellede d a y,etc., ft en regardant dx comme constant ; on trouverait de cette manière
adx 1 -t- 3 g d y — ady“ — oyd'y =o ,
a * » ' - tf
équation qui est la même que l’équation (34).
6 4- Donnons maintenant l’expression générale de la dif-, férentielle de l’équation f(x, y) —ç. Pour cela représentons f (x,y) par W, nous aurons , en différenciant cette fonction
>ar rapport à x, le terme ^ dx, et en la différenciant
par rapport afy , nous aurons ce second terme
du
dy;en
DIFFÉRENCIÂT . DES ÉQVAT. A DEÜX VARIABLES. 3g,
sorte que à.f (x,y) ou du == ^ dx -+- ^ dy ; mais si y est
considéré comme use fonction de x , nous aurons, en la différenciant,
dyarjjZdx;
substituant cette valeur , nous trouverons ’ • «,
j du , dudy
d “=c dx + ^s dx -
65 . Si l’on se rappelle le théorèm’e démontré article (a^), on verra que u étant considéré connue une fonction de y ,
et y comme une fonction de x, le produit ^ dx n'est
dy dx
antre chose que la différentielle de u prise par rapport à x renfermé dans y .
66. La différentielle totale d’une fonction de x et dey étant donnée par l’équation du = dx ^ dy , on a
nommé les expressions dx, ^ dy les différentielles partielles de u.
De même, si uest une fonction de trois variables , x ,y, z, indépendantes , nous aurons ,
du
dx
dur^dx-f^dy + ^dz,.
du
di l
et les termes ^ dx , ~ dy , ^ dz seront les différentielles partielles de u.
67. Nous avons vu (art. 5 a), qu’une expression telle que dy . .
— , indiquait que la fonction y avait été différenciée par rapport à la variable x* et divisée ensuite par dx; il suit
4o . CALCUL DIFFÉRENTIEL.'
de là que si l'on a l’équation & = A, et qu’on en tire
on ne peut, sans démonstration , en conclure que
dv
car, dans cette nouvçlle équation, la différenciation n’est plus faite par rapport à x , mais par rapport ky\ et l’on ne sait pas si dans cette nouvelle hypothèse de différenciation le résultat est le même»
Pour lever cette difficulté, on a démontré (art. 24) que
dv dv ày
dr i dy <tr*
Si dans cette équation on fait v = x , elle devient
d’où l’on tire
dx dy
’ “ dy dï»
àx
ce qui fait voir que le changement d’hypothèse de différenciation s’accorde avec l’Algèbre.
68. Voici comment on pourrait démontrer directement, que dans la, nouvelle acception que donne le signe de la division à "la fraction l’dquation suivante a lieu
dx 1
dy
Soit.
dy
A-f-BA-fjCét* -f-etc.
Donc
MÉTHOD^ DES TANGENTES.
ÿ—y A -f- BA -f- Ch' -+. etc.
Effectuant la division , on développant à l’aide du Théorème de Maclauçin , on obtient * “
Passant h la limite , on a
Ar
■ -t h ■+. etc.
dx t A :
et comme ^- = A , il en résnlte que
<hr? i ày~ cly
, De la méthode des tangentes.
6g. On appelle ainsi la méthode qui donne les expressions différentielles des tangentes, sous-tangentes, normales et sous-normales. Soient x et^ les coordonnées d’un point M , fig. 4, pris sur une courbe; augmentons l'abcissse. . . . Fig. 4- AP = x d’une quantité PP' = h , menons l’ordonnée P'M' , et par les points M et M' faisons passer une sécante M'S. Il est certain que plus PP' diminuera , plus PS tendra à se conf'uidrf avec la sous-tangente PT, jusqu’à ce qu’enfio PP' = h devienne nul ; PT sera donc la limite vers laquelle tendra PS.
Cherchons maintenant l’expression analytique de PS pour en prendre la limite : les triangles semblables M'MQ, MSP. donnent la proportion ,
M'Q : mq :: mp : PS, J
ou M'Q : h :: y : PS;
donc
PS
■. rj i'i S
calcul cirrÉiyERtiEt;
Pour déterminer M'Q, nous avons
