AB

Lorsqu’on fait a/ = », ces valeurs se réduisent à

la

liai

AT = — — , AB=~...(35)j an aV«

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donc la courbe sera susceptible d’asymptotes , pourvu , cependant , que n ne soit ni négatif, ni nul ; car si n était négatif , la valeur de AB , donnée par la seconde des équations (35), deviendrait imaginaire; or, dans le cas où n est négatif, l’équation appartient à une ellipse. Cette même équation serait celle d’une parabole si n avait pour valeur zéro ; mais, dans eette hypothèse, les équations (35) nous montrent que AT et AB deviennent infinis, ce qui prouve que la parabole ne peut pas avoir d’asymptotes.

De l’Équation du plan tangent à une surface courbe , et de celle de la normale à cette surface.

^5. Soient f (x,f, *)==«» l'équation d’une surface courbe, et. . Ax H- Br + Cs -H D = o , celle d’un plan. Si le point de tangcnc*

Qigiazed ty.Goflflfe

. ÉQUATION DU PLAN TANGENT. ifr

M a . pour coordonnée x', y*, z\ ces cordonne’es devront satisfaire k l'équation du plan , et l'on aura par conséquent

Ax’ + B/' ■+■ C z 1 -f- D = o.

Éliminant D entre cette équation et la précédente, on trouvera, pour Téquation du plan assujéti A passer par le point x , ,jr'^t',

Menons , par le point de tangence x', y, z’, un plan parallèle au plan des x , z ; ce plan coupera- la surfacè suivant une courbe MC, fig. 8, Fig- 5» et le plan tangent suivant une droite ML ; cette droite ML devra être tangente A la courbe MC , autrement le plan tangent couperait la sut face courbe.

L’équation de la droite HJL peut se déduire de l’équation (36): car cette droite ML étant l’intersection du plan taugent , par un plan parallèle an plan des x , z , a , dans tous ses points , des valeurs égaies pour y ; et comme le poin t M Tst sur cette droite, on a donc/ —y'j ou/ — /'=o. Ce qui réduit l’équation (36) A

Cette éqnation exprimera donc la rélation qui existe entre les coordonnée» z et ar d’un point quelconque pris sur la droite ML , et par conséquent sera l’équation de celte droite. On pourra l’ecrire ainsi:

D’une autre part, l’équation de la courbe MC s’obtiendra de mémo en regardant J- comme constant, dans l’équation de la surface courba /(s.y. a-) =o.

Si l’on veut exprimer maintenant la condition que la droite ML soit tangente A la courbe MC, il faut donc (art. 71 ) que le coefficient do

(x-x')de l’équation ( 37 ) soit égal à la valeur de ^ tirée de l'équar

lion de la courbe MC.

Or , l’équation de cette courbe étant celle de la surface dans laquelle on ferait y constant , il suffit de différencier l’équation de cette surface, et

d’en tirer ^ ; car, d’après l’art. 5a , la notation ~ suppose qu’on a

regardé/ comme constant dans la différenciation.

48 CALCXJL DIFFÉRENTIEL. 1 ; #

U suit de lh , qu’en accentuant z' et après avoir opéré', on a, pont” la condition que ML soit tangente k MC, ■ . j ,

J=g, O. pli.». A=-Cj?j..<38),

Si l’on mène ensuite, parlé point M, nn plan parallèle an plan des g t y f ce plan cotisera la surface suivant une courbe MD , et le pian tangent suivant une droite MN. ^ .

On démontrerait , comme précédemment, que cette droite MN doit Are tangente à la courbe d’intersection MD , et que , pour tous les points de cette droite MN, le^ abscisses étgnt égales , on doit avoir x — x'= o,. ce qui réduit l’équation (36)

d’oii l’on tirera

Cette équation étant celle de la droite MN, on exprimera la condition que cette droite est tangente à la courbe MD , en égalant le coefficient de

de' i

■y — y au coefficient difierentiel jp tiré de l’équation de la surface , et

l’on aura

et par conséquent

z ,iy

Si l’on substitue dans l’éqnation (36), les valeurs de A et de B , données par les équations (38) et (3p) , on trouvera

-Cjp (x-sO-Cgp (y-/) +€ (« -*') = 0, "

d’oii l’on tire , pour l’équation dn plan tangent an point x',y’, z',

76. Cherchons, par exemple, l’équation d’un plan tangent h la sphère. Ls coordonnées du centre étant a, b, c , la sphère aura pour équation

ÉQUATION DU PLAN TANGENT. 4 g

on trouve, en différenciant,

(x — a) dx-+- (y — b)Ay-\-{t — e) dx=o, d’où l’on déduit , d’après la notation Convenue (art. 5 a) ,

dî a — x dx < b — y

dx •— c ’ Ay z — c

Donc l’équation du plan tangent à la splière, au point dont les coordonnées sont x’tÿ, z', sera

77* Si ce plau passait It l’extrémité du diamètre vertical, on aurait

x' = a, y— b, i'ac + r.

Ces valeurs réduiraient l’équation du plan tangent ls = c + r, ce qui est l’équation d’un plan parallèle au plan des x, y.

78. Les équations de la normalo au point x', y', z' peuvent se déduire facilement de l’équation du plan tangent. En effet, par la Géométrie analytique (voyez ma Théorie des Courbes du second ordre , pag. 278) on sait uue si l’on a les équations

* Ax -J-Bj'-I-Cs -f-D = o... (41) ,

x = az -hcc I

y — bz

la première étant celle d’un plan, elles deux autres celles d’nne ligne droite, les conditions necessaires pour que cette droite soit perpendiculaire au pian , sont qu’ou ait